«Математические способности школьников и их развитие»
статья по математике (7 класс)

Маркова Ольга Александровна

учитель математики

ГБОУ СОШ № 547

Красносельского района Санкт-Петербурга

Математические способности школьников и их развитие

Что собой представляют математические способности человека? Какова их структура? Что значит «развивать математические способности», что именно и как развивать?

В психологии различают задатки, способности, одаренность. Каждому из этих понятий психологи дают четкие определения:

Задатки – врожденные, генетические детерминированные особенности центральной нервной системы или отдельных анализаторов, являющиеся предпосылками развития способностей;

Способности – индивидуально-психологические особенности, определяющие успешность выполнения деятельности или ряда деятельностей, несводимых к знаниям, умениям и навыкам.

Математические способности – индивидуально-психологические особенности деятельности человека в изучении и творческом развитии математики.

Одарённость – системное развивающееся в течение жизни качество психики, определяющее возможности достижения человеком исключительно высоких результатов в одном или нескольких видах деятельности по сравнению с другими людьми.

Таким образом, способности и одаренность не даются с рождения, а развиваются в течение жизни. Задатки же являются врожденными. Поэтому в процессе обучения школьников следует развивать задатки учащихся, доводя их до способностей, способности же формируются в деятельности.

В советской психологии наиболее полно математические способности исследовал В.А. Крутецкий. На основе информационного подхода он выделил следующие математические способности при психологическом анализе познавательной деятельности школьников:

• получение математической информации (способность к формализованному восприятию формальной структуры задачи);
• переработка математической информации;
• логическое мышление отношениями, числами, символами;
• обобщение математических объектов, отношений, действий;
• способность мыслить свернутыми структурами;
• гибкость мыслительных процессов;
• ясность, простота, экономичность и рациональность решений;
• обратимость мыслительного процесса;
• математическая память;
• математическая направленность ума.

Таким образом, математические способности не сводятся к общему интеллекту, а представляют собой свойство системы познавательных процессов, проявляющееся в эффективном решении сложных познавательных задач, решение которых требует умственных операций с пространственным и символическим материалом без опоры на наглядность.

Математические способности – сложное структурное психическое образование, представляющее собой качественно своеобразное целое. В понятие «математические способности» входят:

1. Способность получать математическую информацию. То есть способность воспринимать формализованные математические объекты, а именно, математические понятия, их отношения, формулировки аксиом, доказательства математических теорем, содержание математических задач и тому подобное.  Экспериментально установлено, что при решении математических задач ученики различно воспринимают отдельные элементы задачи, их комплексы, роль каждого элемента в комплексе. Средние учащиеся воспринимают отдельные элементы, с трудом – их комплексы. Слабые же – только числовой материал задачи.
2. Способность быть внимательным, а при решении задач и восприятии доказательств – способность к сосредоточенному вниманию. Для восприятия же сложных задач часто нельзя обойтись без концентрированного внимания.
3. Математические способности требуют и развитой математической памяти. Такая память, как и внимание, является структурной составляющей математических способностей. Математическая память является обобщенной памятью на математические отношения, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и подходы к ним. Способные ученики запоминают, в основном, обобщенные и свернутые структуры. Такое запоминание экономично, позволяет не загружать мозг запоминанием мелочей и быстро извлекать из памяти необходимые сведения. В некоторых случаях нет необходимости запоминать все конечные результаты, иногда проще запомнить ход рассуждений.
4. В структуру математических способностей входит способность к воображению.

Воображение – психическая деятельность, состоящая в создании представлений и мысленных ситуаций, никогда в целом не воспринимавшихся человеком в действительности. Главная функция воображения состоит в идеальном представлении результата деятельности до того, как он будет достигнут реально, в предвосхищении того, что еще не существует. Творческое воображение состоит в самостоятельном создании новых образов, воплощаемых в оригинальные продукты научной, технической, художественной деятельности.

5. Воспринятая и хранящая в памяти математическая информация, необходимая для математической деятельности, подвергается при этой деятельности определенной переработке. Именно поэтому в структуру математических способностей входит способность к переработке математической информации. Эта способность сама по себе является достаточно сложным психическим образованием и содержит в своей структуре ряд других способностей:

• способность к логическому мышлению в сфере количественных отношений, пространственных форм, математических понятий, суждений и умозаключений. При мышлении необходимо соблюдать закон тождества (объект мышления должен быть постоянным), закон непротиворечивости, закон исключения третьего и закон достаточного основания. Способность к логическому мышлению заключается в правильном применении приемов мышления, таких как сравнение, анализ и синтез, абстрагирование, обобщение, конкретизация, специализация;
• способность к быстрому и широкому обобщению математических понятий и отношений. Для развития такой способности желательно проводить обобщения как при изучении теории, так и при решении математических задач;
• способность к свёртыванию процесса математических рассуждений и системы соответствующих операций и умственных действий. Эта способность формируется уже на достаточно ранних этапах изучения математики. Так, если при изучении действий с положительными и отрицательными числами первоначально все операции выполняются с подробными записями, то после выполнения нескольких упражнений часть записей пропускается, процесс рассуждения свёртывается. Такое свертывание процесса рассуждений порождает способность мыслить свёрнутыми структурами;
• способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключению с прямого на обратный ход мысли, то есть к обратимости мыслительного процесса и вообще к изменению направления хода мысли. Как обобщение сказанного, переработка математической информации требует гибкости мыслительных процессов и развивает такую гибкость.

6. Существенная и такая способность, как математическая направленность ума. Она включает в себя следующие компоненты:

• потребность в полноценной аргументации. В математике нет «частично доказанных» предложений: предложение (теорема) или доказано, или не доказано. Задача или решена, или не решена. Любое доказательство в математике должно быть аргументировано. Исключения составляют лишь аксиомы, принимаемые без доказательства исходные предложения, система которых должна быть непротиворечивой, полной и независимой, что и гарантирует истинность каждой аксиомы системы;
• потребность в полноте дизъюнкции, в рассмотрении всех возможных вариантов рассматриваемой ситуации. Полнота дизъюнкции необходима как при доказательстве математических предложений, так и при решении различных задач.
• потребность в полноте и выдержанности классификации. Полнота классификации формально аналогична уже рассмотренной полноте дизъюнкции, но отличается от нее по содержанию. Полнота дизъюнкции – обязательное рассмотрение всех возможных вариантов, которые могут возникнуть в той или иной ситуации. Полнота же классификации – полный перебор всех разновидностей некоторого понятия. Выдержанность классификации заключается в обязательном требовании классифицировать объекты по единому признаку. Иногда классификацию можно представить в виде схемы.

7. Математическая направленность ума способствует формированию особого стиля мышления, который характеризуется, во-первых, следованием определенной формально-логической схеме рассуждения. Эта схема строго требует правильности течения мысли, полноты дизъюнкции, верных обобщений и так далее. Во-вторых, для математического стиля мышления характерен лаконизм, стремление находить самый короткий логический путь к цели. В-третьих, четкое расчленение хода рассуждений, мышления. В-четвертых, точность символики.

Надо отметить, что в структуре математических способностей не являются обязательными, хотя и могут оказаться полезными, следующие способности человека, которые нейтральны по отношению к математическим способностям:

• быстрота мыслительных процессов, то есть характеристика времени протекания мыслительных процессов. Но есть и такие профессионалы, которые осмысливают математические объекты и их отношения не очень быстро, зато глубоко и капитально;
• вычислительные способности. Можно встретить людей, которые правильно и быстро выполняют умножение и деление многозначных чисел или извлекание квадратного корня, но они не математики.
• хорошая память на числа и формулы еще не означает, что ее обладатель имеет и хорошие математические способности;
• способность наглядно представлять абстрактные математические понятия и отношения также не свидетельствует о математических способностях;
• способность к пространственным представлениям далеко не всегда присуща математикам-исследователям.

Из преподавательского опыта педагогов, работающих по выявлению и развитию математических способностей учащихся (организация и проведение факультативных занятий по математике, проведение занятий математических кружков, индивидуальные занятия для учащихся, руководство научно-исследовательскими и проектными работами с учащимися, разработка авторских курсов и т.д.) можно выделить некоторые советы по выявлению и развитию математических способностей учащихся.

Развитию способностей учащихся к изучению математики необходимо уделять время на уроках математики. Речь идет о том, что сам ход урока, его содержание и методика проведения должны развивать стремление школьников к пониманию изучаемого, к правильному восприятию содержания курса математики. Для этого учителю математики следует не только излагать теоретический материал и добиваться его усвоения, но и проводить необходимые обобщения, учить мыслить не числами, а величинами, особенно при решении математических задач. Полезно приучать обучаемых к анализу содержания задач, выявляя соотношения между величинами, данными в условии задачи, а также неявно содержащиеся в тексте задачи отношения этих величин и т.д. Важно также обучать свертыванию процесса рассуждения, рекомендуя постепенно сокращать записи, особенно при вычислениях и тождественных преобразованиях. Так же рекомендуется включение в образовательный процесс передовых образовательных технологий, проведение предметных недель, нетрадиционных форм проведения занятий (урок-игру, урок-экскурсию, видео-урок и т.д.), совместная работа над предметной газетой по математике и примерное.

Выявлению учеников, обладающих математическими способностями, служат математические соревнования (олимпиады, турниры, математические «бои», математические КВНы, исследовательская и проектная деятельность и т.д.). Но не все ученики, участвующие в таких соревнованиях, проявляют наклонности, которые могут быть развиты в математические способности. Для участников математических соревнований можно проводить внеклассные занятия по математике, кружки. С особо же выделяющимися учениками желательно проводить индивидуальные занятия. Очень полезны небольшие доклады и сообщения учащихся по отдельным вопросам математики и ее истории. Такие доклады могут состояться как на уроках, так и на внеклассных занятиях. Можно применять творческие задания, такие как составление задач учащимися, шифровки, составление и разгадывание кроссвордов, ребусов и так далее.

Развитию врожденных задатков в математические способности существенно помогает самостоятельное изучение литературы для учащихся по математике. Это, прежде всего, решение занимательных, в том числе и достаточно сложных, математических задач. Можно рекомендовать ученикам многочисленные издания занимательных книг Я. Перельмана «Живая математика», «Занимательная геометрия», «Занимательная алгебра». Книги Б.А. Кордемского «Математическая смекалка», Е.И. Игнатьева «В царстве смекалки», а также «Математическая шкатулка» Ф.Ф. Нагибина окажут помощь учителю и ученикам в развитии математических способностей учащихся.

Что касается математически одаренных учеников, то учителю не обойтись без индивидуальных внеклассных занятий. Систематические занятия способны к математическому творчеству учащихся с математиком-исследователем помогают не только развитию математических способностей, но и выбору направления для самостоятельных занятий математикой.