Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей
презентация к уроку по математике (6 класс)

Слайд 1

Разработано: Учитель математики МБОУ СОШ №8 Исакова Марина Викторовна г. Бердск

Слайд 2

– раздел математики, в котором изучают вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям можно составить из данных объектов.

Слайд 3

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Первоначально комбинаторика возникла в XVI в. в связи с распространением различных азартных игр. известный немецкий учёный Готфрид Вильгельм Лейбниц. (1.07.1646 - 14.11.1716)

Слайд 4

лингвистика учебные заведения сфера общественного питания география спортивные соревнования производство доставка почты

Слайд 5

химия агротехника азартные игры биология криптография астрология экономика криптография

Слайд 6

Перебор возможных вариантов. Таблицей. Дерево возможных вариантов. Правило умножения. Правило треугольника. С помощью графов.

Слайд 7

Сколько существует двухзначных чисел, составленных из цифр: 0, 5, 8 ? Решение. 58, 50, 80, 85. Ответ: 4 числа.

Слайд 8

Алла, Бэла, Валентина и Галина во время майского праздника подарили друг другу по одному цветку. Причём каждая девочка подарила каждой по одному цветку. Сколько всего цветков было подарено ? Решение. Ответ: 12 цветков. А Б В Г А ----- + + + Б + ___ + + В + + ---- + Г + + + ----

Слайд 9

Никита, Борис, Виктор, и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл по 1 партии. Сколько сыграно партий? Решение. Никита Борис Виктор Григорий Виктор Григорий Григорий Ответ. 6 партий.

Слайд 10

В меню в столовой предложены на выбор 3 первых блюда, 5 вторых и 4 третьих блюд. Сколько различных вариантов обедов, состоящих из 1 первого, 1 второго и 1 третьего блюда, можно составить из предложенного меню? Решение. 3*5*4=60 Ответ: 60 блюд. Для того, чтобы найти число всех возможных комбинаций, состоящих из двух составляющих событий A и B, следует перемножить число всех возможных вариантов выбора события A на количество возможных вариантов выбора события B. А* В

Слайд 11

Встретились 5 приятелей и обменялись рукопожатиями. Сколько всего сделано рукопожатий? Решение. 1 2 3 4 5 1 - + + + + 2 - - + + + 3 - - - + + 4 - - - - + 5 - - - - - Ответ: 10 рукопожатий.

Слайд 12

По окончанию деловой встречи 4 специалиста обменялись визитными карточками (каждый вручил свою карточку каждому). Сколько визитных карточек было роздано? Решение. Ответ. 12 визиток 1 2 4 3 1

Слайд 13

Андрей, Борис, Виктор и Григорий после возвращения из спортивного лагеря подарили друг другу на память свои фотографии. Причём каждый мальчик подарил каждому по 1 фотографии. Сколько всего фотографий было подарено?

Слайд 14

Задача 1 Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,4,7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза? Решение: 1 способ: перебор вариантов. Для того, чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем записывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4, и, наконец, с цифры 7: 14, 17, 41, 47, 71, 74. Ответ: 6 чисел.

Слайд 15

** Ответ: 6 чисел.

Слайд 16

Задача 2. Решение: К1=5 –кратное 2 (2,4,16,20,28), К2=4 – кратное 3 (3,15,21,75) К1+К2 = 5+4 = 9 Правило суммы. Сколько существует способов выбрать кратное двум или трем число из множества чисел : 2,3,4,15,16,20,21, 75,28 ?

Слайд 17

Задача 3 Правило произведения а) Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9? б) Сколько среди них чисел, кратных 5? Решение: а) N= 5х5 = 25 ( Если не сказано, что элемент не повторяется, то выборка с повторениями) б) Число кратно 5, если оканчивается цифрой 5 или 0. В нашем случае – 5. На первой позиции фиксируем одну из пяти цифр, на второй – 5. N= 5 х1 =5

Слайд 18

Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех горизонтальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг. Задача 4 а ) Сколько всего стран могут использовать такую символику? Решение : Цвет верхней полосы можно выбрать одним из 4 способов, второй полосы – одним из трех оставшихся, цвет 3 полосы – одним из 2 оставшихся, а 4 – одним способом. По правилу произведения N= 4х3х2х1=24

Слайд 19

б ) Сколько всего стран могут использовать такую символику с нижней белой полосой? Решение : Если фиксировать цвет нижней полосы, то цвета трех расположенных над ней полос можно выбрать 3х2х1 = 6 способами г) Сколько стран могут использовать такую символику с верхней белой полосой? Решение: Если фиксировать цвет белой полосы, то цвета следующих полос можно выбрать 3х2х1 = 6 способами.

Слайд 20

На входной двери дома установлен домофон, на котором нанесены цифры 0,1,2,…9.Каждая квартира получает кодовый замок из двух цифр типа 0-2, 3-7 и т.п. Хватит ли кодовых замков для всех квартир, если в доме 96 квартир? (код 0-0 не существует) Задача 5 Решение: Выбор 1-й цифры – 10 вариантов, 2-й –10 вариантов. Всего 10х10 – 1 = 99 вариантов Ответ: хватит.

Слайд 21

Задача 6 Сколько двузначных чисел, кратных 3, можно получить из цифр 1, 3, 5, 7, 9? а) цифры не повторяются 1 3 5 7 9 1 11 13 15 17 19 3 31 33 35 37 39 5 51 53 55 57 59 7 71 73 75 77 79 9 91 93 95 97 99 6 вариантов (15,39,57,51,75,93) б) цифры могут повторяться 2 варианта (еще 33,99) Итого: 8 вариантов

Слайд 1

Разработано: Учитель математики МБОУ СОШ №8 Исакова Марина Викторовна г. Бердск

Слайд 3

Стохастическим называют опыт, если заранее нельзя предугадать его результаты. Результаты (исходы) такого опыта называются событиями . Пример : выбрасывается игральный кубик (опыт) ; выпадает двойка (событие). Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, называется достоверным , а которое не может произойти, - невозможным . Пример : В мешке лежат три картофелины. Опыт – изъятие овоща из мешка. Достоверное событие – изъятие картофелины. Невозможное событие – изъятие кабачка.

Слайд 4

Равновозможными называют события, если в результате опыта ни одно из них не имеет большую возможность появления, чем другие. Примеры : 1) Опыт - выбрасывается монета. Выпадение орла и выпадение решки –равновозможные события. 2) В урне лежат три шара. Два белых и синий. Опыт – извлечение шара. События – извлекли синий шар и извлекли белый шар - неравновозможны. Появление белого шара имеет больше шансов.

Слайд 5

Несовместимыми (несовместными) называют события, если наступление одного из них исключает наступление других. Пример : 1) В результате одного выбрасывания выпадает орел (событие А) или решка (событие В). События А и В - несовместны. 2) В результате двух выбрасываний выпадает орел (событие А) или решка (событие В). События А и В - совместны. Выпадение орла в первый раз не исключает выпадение решки во второй.

Слайд 6

Полной группой событий называется множество всех событий рассматриваемого опыта, одно из которых обязательно произойдет, а любые два других несовместны. События образующие полную группу называют элементарными. Пример : 1) Опыт – один раз выбрасывается монета. Элементарные события : выпадение орла и выпадение решки образуют полную группу.

Слайд 7

Вероятностью события «А» называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу: где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А; n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Слайд 8

В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады. m – число элементарных исходов, благоприятствующих А, т.е. количество благоприятных событий, соответствует количеству гимнасток из Канады - 13 чел. n – число всех возможных элементарных исходов испытания, т.е. количество всех событий группы соответствует общему количеству гимнасток – 50 чел. Тогда вероятность Р(А) = 13: 50 = 13/50= 13/100 =0,26

Слайд 9

В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Слайд 10

В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых. Решение: К-во всех событий группы N=216 1- я кость - 6 вариантов 2-я кость - 6 вариантов 3-я кость - 6 вариантов Благоприятное событие А : в сумме выпало 7 очков. 223 232 322 331 313 133 511 151 115 412 421 124 142 214 241

Слайд 12

В 9а и 9б классах измерили рост 50 учеников. Получились следующие результаты: 162, 168, 157, 176, 185, 160, 162, 158, 181, 179, 164, 176, 177, 180, 181, 179, 175, 180, 176, 165, 168, 164, 179, 163, 160, 176, 162, 178, 164, 190, 181, 178, 168, 165, 176, 178, 185, 179, 180, 168, 160, 176, 175, 177, 176, 165, 164, 177, 175, 181. Данные, собранные в этом списке, являются наиболее полной информацией о проведенном измерении. К сожалению, эта информация трудно «читается».

Слайд 13

Статистика – получение, обработка, анализ и публикация информации, характеризующей количественные закономерности жизни в обществе в неразрывной связи с их количественным содержанием. Задачи статистики: обработка информации; получение и хранение информации; выработка различных прогнозов; оценка достоверности прогнозов и т.д.

Слайд 14

Порядок преобразований первоначально полученной информации : сначала данные измерений упорядочивают и группируют ; затем составляют таблицы распределения данных ; таблицы распределения переводят в графики распределения; наконец, получают своего рода паспорт данных измерения, в котором собрано небольшое количество основных числовых характеристик полученной информации.

Слайд 15

157, 158, 160, 162, 163, 164, 165, 168, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181,185, 190. Мы составили ряд данных измерения. Каждое из этих чисел называют вариантой измерения. Варианта измерения – один из результатов этого измерения. Не все варианты конкретного измерения находятся в одинаковом положении. Какие-то встречаются много раз, какие-то реже, а некоторые встречаются по одному разу. Это количество называют кратностью варианты.

Слайд 16

Перед дальнейшей обработкой информации данные измерения группируют. Составляют сгруппированный ряд данных . 157, 158, 160, 160, 160, 162, 162, 162, 163, 164, 164, 164, 164, 165, 165, 165, 168, 168, 168, 168, 175, 175, 175, 176, 176, 176, 176, 176, 176, 176, 177, 177, 177, 178, 178, 178, 179, 179, 179, 179, 180, 180, 180, 181, 181, 181, 181, 185, 185, 190. На этом заканчивается первый шаг обработки информации – ее упорядочивание и группировка .

Слайд 17

Варианта Сумма (объем изме-рения) 157 158 160 162 163 164 165 168 175 176 177 178 179 180 181 185 190 Кратность 1 1 3 3 1 4 3 4 3 7 3 3 4 3 4 2 1 50 Варианта Сумма (объем измерения) 157 158 160 162 163 164 165 168 175 176 177 178 179 180 181 185 190 Кратность 1 1 3 3 1 4 3 4 3 7 3 3 4 3 4 2 1 50 Частота 0,02 0,02 0,06 0,06 0,02 0,08 0,06 0,08 0,06 0,14 0,06 0,06 0,08 0,06 0,08 0,04 0,02 1

Слайд 18

Для удобства счета и построения графиков частоты переводят в проценты от объема измерения. Варианта Сумма (объем измерения) 157 158 160 162 163 164 165 168 175 176 177 178 179 180 181 185 190 Кратность 1 1 3 3 1 4 3 4 3 7 3 3 4 3 4 2 1 50 Частота 0,02 0,02 0,06 0,06 0,02 0,08 0,06 0,08 0,06 0,14 0,06 0,06 0,08 0,06 0,08 0,04 0,02 1 Частота, % 2 2 6 6 2 8 6 8 6 14 6 6 8 6 8 4 2 100

Слайд 19

Получили график распределения выборки

Слайд 20

На координатной плоскости мы получили ломаную линию, которая является графиком некоторой кусочно-линейной функции. Эту ломаную называют многоугольником распределения данных или полигоном распределения данных . Таким же образом можно построить многоугольник частот и многоугольник частот в процентах .

Слайд 21

При графическом представлении больших объемов информации многоугольники распределения заменяют гистограммами , или столбчатыми диаграммами .

Слайд 22

Информация получает ясное и удобное для объяснения представление. Вот как это выглядит на круговой диаграмме .

Слайд 23

Размах измерения – разность между максимальной и минимальной вариантами. (190-157=33) Мода измерения – варианта, которая встречается чаще других. (176) Среднее значение (среднее арифметическое): просуммировать все данные измерения; полученную сумму разделить на количество данных. Медиана – средняя варианта в сгруппированном ряде. (175). Если средних вариант две, то медиана равна их полусумме.

Слайд 1

Разработано: Учитель математики МБОУ СОШ №8 Исакова Марина Викторовна г. Бердск

Слайд 2

Вам требуется найти количество всех способов, которыми можно составить трехцветный флаг из горизонтальных полос красного, белого и синего цветов. Для того чтобы найти все эти способы, проведем небольшой эксперимент: вы будете переставлять полоски, которые расположены у вас на парте, а результат этих перестановок фиксировать в тетрадь. Давайте обозначим каждый цвет буквой, с которой он начинается К – красный, Б – белый, С – синий.

Слайд 3

1 способ – перебор вариантов. БСК БКС КСБ КБС СКБ СБК В этой таблице 2 столбца, 3 строки, значит всего 2*3=6 способов 2 способ – «Дерево возможностей»

Слайд 5

В 6А классе во вторник 5 уроков: физкультура, русский язык, литература, обществознание и математика. Сколько можно составить вариантов расписания на день, зная точно что математика - последний урок? Решение: Закодируем О - обществознание, Р – русский язык, Л - литература, М – математика, Ф- физкультура. ЛОРФ ОЛРФ РЛОФ ФЛОР ЛОРФ ОЛФР РЛФО ФЛРО ЛРОФ ОРЛФ РОЛФ ФОЛР ЛРФО ОРФЛ РОФЛ ФОРЛ ЛФОР ОФЛР РФЛО ФОРЛ ЛФРО ОФРЛ РФОЛ ФРОЛ Ответ: 24 варианта

Слайд 6

2-й способ решения – с помощью дерева возможных вариантов. 3-й способ – по правилу умножения: 4*3*2*1=24 способа. Да, трудно придется тому, кто забудет порядок уроков и, не посмотрев в расписание, захочет правильно заполнить дневник. Почему математика в переборе не участвовала? ф л р/я о

Слайд 7

Проказница мартышка, осел, козел, Да косолапый мишка Затеяли сыграть квартет… Вам знакомо это произведение? Сколькими способами можно рассадить этих четырех музыкантов в один ряд? Давайте решим эту задачу с помощью «Дерева возможностей». Если на первое место мы посадим мартышку, то будет … Сколько способов? 3*2*1=6 способов. Но на первое место мы можем посадить и осла, и козла, и мишку, т. е. 4*3*2*1=24. Итак, если бы в спор не вмешался соловей, то этим горе-музыкантам пришлось бы пересаживаться 24 раза.

Слайд 8

Сколькими способами можно из цифр 0, 2, 3, 5 составить четырехзначное число такое, чтобы цифры в нем не повторялись? Ответ: 3*3*2*1=18 способов. Вывод: Оказывается, не все задачи можно решить по правилу умножения, поэтому при решении задач на перестановки нужно быть очень внимательными.