Министерство просвещения Российской Федерации

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Алтайский государственный педагогический университет»

Институт информационных технологий и физико-математического образования

Кафедра математики и методики обучения математике

Направление подготовки: 44.03.05 Педагогическое образование                                                             (с двумя профилями подготовки)

               Профиль подготовки: Математика и Информатика        

Математические понятия в сказке Л. Керролла

«Алиса в стране чудес»

Курсовая работа

по дисциплине «Методика обучения математике»

Выполнил студент

4 курса  группа 3642д

Высоцкая Анастасия Валентиновна

_____________________________

                    (подпись)                    

Научный руководитель-

доцент кафедры математики и методики обучения математике, канд. пед. наук

Тыщенко О. А.

_____________________________

(подпись)

Оценка_______________________

Дата защиты__________________

Барнаул – 2020

Оглавление

Введение        3

Глава 1. Теоретические основы обучения математическим понятиям и использование для этого сказки Льюиса Кэролла «Алиса в стране чудес»        6

1.1. Биография автора «Алиса в стране чудес» Льюиса Кэролла. История написания «Алисы в стране чудес»        6

1.2. Изучение математических понятий в школе        10

1.3. Изучение утверждений в школе        17

Глава 2. Некоторые методические рекомендации использования фрагментов книги Льюиса Кэролла «Алиса в стране чудес» при изучении математики        22

2.1. Фрагмент урока по теме: "Практическое применение подобия треугольников. Подобие произвольных фигур" (8-й класс)        22

2.2. Фрагмент урока математики по теме "Арифметическая прогрессия"        24

2.3 Фрагмент внеклассного мероприятие в 7-м классе " Системы счисления"        29

2.4. Урок по теме «Прямая и обратная теоремы» 7классы        31

2.5. Краткое содержание книги        35

Заключение        38

Список использованных источников и литературы        39

Приложения        41

Введение

В «Концепции развития математического образования РФ» [17] говорится, что изучение математики играет системообразующую роль в образовании, развивая познавательные способности человека, в том числе к логическому мышлению, влияя на преподавание других дисциплин. Качественное математическое образование необходимо каждому для его успешной жизни в современном обществе. 

Изучение и преподавание математики, с одной стороны, обеспечивают готовность учащихся к применению математики в других областях, с другой стороны, имеют системообразующую функцию, существенно влияют на интеллектуальную готовность школьников к обучению, а также на содержание и преподавание других предметов.

Задачами развития математического образования в Российской Федерации в Концепции, в частности, называются:

• формирование у участников образовательных отношений установки "нет неспособных к математике детей";
• популяризация математических знаний и математического образования;
• предоставление каждому обучающемуся возможности достижения уровня математических знаний, необходимого для дальнейшей успешной жизни в обществе;
• обеспечение каждого обучающегося развивающей интеллектуальной деятельностью на доступном уровне, используя присущую математике красоту и увлекательность;
• обеспечение непрерывной поддержки и повышения уровня математических знаний для удовлетворения любознательности человека, его общекультурных потребностей […].

Бытует мнение, что математика сухой и скучный предмет, как и люди, занимающиеся математикой. Ни однажды сами математики, занимавшиеся преподаванием, опровергали это. Один из таких математиков Льюис Кэрролл автор сказок про Алису.

Для многих школьников математика один из самых трудных предметов. Можно предположить, что тексты, звучащие на уроке математики и помещенные в учебник, воспринимаются этими учениками как бессмыслица. Проблема повышения уровня понимания при обучении математике в школе, а значит и повышения качества преподавания продолжает оставаться актуальной до сих пор.

Гипотеза: Использование фрагментов текста сказок Льюиса Кэрролла на уроках математики позволит заинтересовать учащихся с непроявившимися математическими способностями за счет актуализации на уроках математики их «гуманитарных» навыков, а именно навык смыслового чтения, анализа текста, сравнительного анализа художественного и математического текстов и пр.

Цель исследования: разработать методические рекомендации использования на уроках математики фрагментов книги Льюиса Кэролла «Алиса в стране чудес».

Для достижения цели мы поставили задачи:

• проанализировать сказку «Алису в стране чудес» с точки зрения математики, выделить фрагменты текста, содержащие математические понятия и закономерности;
• соотнести «чудеса», описанные в произведении, с традиционной версией изложения соответствующих понятий и фактов в школьном курсе математики;
• Описать современные подходы к формированию математических понятий, к обучению школьников математическим утверждениям;
• изучить биографию Льюиса Кэролла;
• продемонстрировать возможность использования фрагментов сказки на уроках математики для усиления мотивации изучения математики и чтения художественной литературы. 

Объект исследования: содержание обучения математике в школе.

Предмет исследования: математическое содержание в книге Льюиса Кэролла "Алиса в стране чудес".

Для исследования мы применим такие методы, как:

• поисковый;
• метод анализа и синтеза информации.

Глава 1. Теоретические основы обучения математическим понятиям и использование для этого сказки Льюиса Кэролла «Алиса в стране чудес»

1.1. Биография автора «Алиса в стране чудес» Льюиса Кэролла. История написания «Алисы в стране чудес»

Льюис Кэрролл появился на свет в деревушке Дарсбери в английском графстве Чешир 27 января 1832 года. Его отцом стал приходской священник, он же занимался образованием Льюиса, как и других своих детей. В общей сложности в семье Кэрроллов родились четыре мальчика и семь девочек. Льюис проявлял себя достаточно умным и сообразительным учеником.

Кэрролл был левшой, что в девятнадцатом веке воспринималось религиозными людьми не так спокойно, как сейчас. Мальчику запрещали писать левой рукой и заставляли его использовать правую, что стало причиной психологической травмы и привело к небольшому заиканию. Некоторые исследователи утверждают, что Льюис Кэрролл – аутист, однако точных сведений об этом нет.

В двенадцатилетнем возрасте Льюис начал учиться в частной грамматической школе, расположенной неподалеку от Ричмонда. Ему нравились преподаватели и одноклассники, а также царившая в небольшом учебном заведении атмосфера. Однако в 1845 году мальчика перевели в фешенебельную публичную школу Рагби, где большое значение придавалось физической подготовке мальчиков и привитию им христианских ценностей.

Эта школа юному Кэрроллу понравилась значительно меньше, однако он неплохо учился в ней на протяжении четырех лет и даже продемонстрировал хорошие способности к богословию и математике.

В 1850 году молодой человек поступил в колледж Крайст-Черч при Оксфордском университете. В целом он учился не слишком хорошо, однако по-прежнему показывал выдающиеся математические способности. Через несколько лет Льюис получил звание-бакалавра, а затем начал читать в Крайст-Черч собственные лекции по математике. Он занимался этим более двух с половиной десятков лет: работа лектором приносила Кэрроллу хороший заработок, хотя он и находил ее весьма скучной.

Поскольку учебные заведения в те времена были тесно взаимосвязаны с религиозными организациями, заступив на должность лектора, Льюис обязан был принять духовный сан. Чтобы не работать в приходе, он согласился принять сан диакона, отказавшись от полномочий священника. Еще во время обучения в колледже Кэрролл начал писать небольшие рассказы и стихи, и тогда же он придумал себе этот псевдоним (на самом деле настоящее имя писателя - Чарльз Лютвидж Доджсон).

Писатель вел весьма активную светскую жизнь, в том числе, нередко был замечен в обществе различных представительниц прекрасного пола. Поскольку одновременно с этим он носил звание профессора и дьякона, семья старалась всячески вразумить, не желавшего остепениться, Льюиса или хотя бы скрыть истории его бурных похождений. Поэтому после смерти Кэрролла его история его жизни тщательно ретушировалась: современники стремились создать образ добродушного сказочника.

Писатель скончался 14 января 1898 года, причина смерти – воспаление легких. Его могила расположена в Гилфорде, на кладбище Восхождения [15].

В сказках об Алисе множество загадок и ни одной отгадки, ни одного прямого ответа. Только умело поставленные вопросы и грамотно разбросанные по тексту подсказки, да едва уловимые намёки. Но это тот случай, когда не договорить, а лишь приоткрыть завесу тайны лучше, чем выдать все секреты и поделиться с читателями готовым знанием. Так стоит ли удивляться тому, что творения Льюиса Кэрролла, будучи превосходной пищей для размышлений, и по сей день будоражат пытливые умы? Как и тому, что кто-то вовсе не воспринимает тонкую интеллектуальную игру писателя? «Алиса…» открывает свои тайны тому, кто умеет смотреть и видеть, тому, кто сохранил в себе способность удивляться и воспринимать новое.

Доктор Доджсон вел одинокий и строго упорядоченный образ жизни, знакомств избегал, был робок. Всю жизнь он страдал от заикания, поэтому лекции читал ровным механическим голосом. В университете он слыл педантом, эксцентриком и чудаком.

Больше всего доктор любил детей. Чуждаясь взрослых, чувствуя себя с ними тяжело и скованно, мучительно заикаясь, он становился необычайно веселым и занимательным собеседником в обществе детей.

Две повести о приключениях девочки Алисы в фантастическом мире он написал для Лорины, Алисы и Эдит Лидделл – дочерей декана колледжа, с которыми был очень дружен.

Однако книги об Алисе поначалу вызвали шквал критики. «Бред!» – отзывались о них авторитетные литературоведы. Действительно, типичная детская сказка – это история о приключениях положительных главных героев. Как правило, они борются со злом и побеждают его в конце повествования. Обычно в таких текстах все просто, понятно и логично. Алиса же Кэрролла попадает в самое настоящее царство абсурда, где неясно, кто есть кто и зачем существуют те или иные вещи. Да и сама героиня совсем не похожа на семилетнюю девочку, которой является по «легенде». Она слишком умна для ребенка, достаточно образованна и часто рассуждает совсем не по-детски…

И только позднее критиков осенило.

Они увидели, что творения Льюиса Кэрролла оказались буквально на каждом шагу полны кладов: загадок, ребусов, шарад и головоломок – научных, литературных, логических.

Автор «Алис» был математиком и писал научные статьи, и поэтому для написания повестей, одной из которых была та самая «Алиса в Стране Чудес» ему пришлось взять себе псевдоним – Льюис Кэрролл, который он получил путем перевода своего имени на латинский язык и переставив буквы местами, создав, таким образом, словесную игру.

Так называемые «чудеса, лишенные смысла» Кэрролла, логические задачи, загадки и головоломки предвосхитили появление таких наук, как математическая логика, семиотика, лингвистический анализ, наконец, - теорию относительности, а влияние его творчества, как явное, так и скрытое, прослеживается в произведениях целого ряда классиков мировой литературы, творивших после него.

После прочтения «Алисы в Стране Чудес» и «Алисы в Зазеркалье» королева Виктория пришла в восторг и потребовала принести ей остальные работы этого чудесного автора. Просьбу королевы, конечно, выполнили, но остальные работы Доджсона были целиком и полностью посвящены… математике. Самые известные книги — это «Алгебраический разбор пятой книги Евклида» (1858, 1868), «Конспекты по алгебраической планиметрии» (1860), «Элементарное руководство по теории детерминантов» (1867), «Евклид и его современные соперники» (1879), «Математические курьёзы» (1888 и 1893) .

В 1856 году в колледже Крайст-Черч сменился декан. Для работы в этой должности в Оксфорд приехал филолог и лексикограф Генри Лидделл, а также его жена и пятеро детей. Льюис Кэрролл вскоре подружился с семейством Лидделлов и стал их верным приятелем на долгие годы. Именно одна из дочерей супружеской четы, Алиса, которой в 1856 году было четыре года, и стала прототипом всем хорошо известной Алисы из самых знаменитых произведений Кэрролла.

Писатель нередко рассказывал детям Генри Лидделла забавные сказки, персонажей и события которых он сочинял на ходу. Как-то летом 1862 года во время лодочной прогулки маленькая Алиса Лидделл попросила Льюиса, чтобы он в очередной раз сочинил интересную историю для нее и ее сестер Лорины и Эдит. Кэрролл с удовольствием взялся за дело и рассказал девочкам захватывающую сказку о приключениях маленькой девочки, попавшей через нору Белого Кролика в Подземную Страну.

Чтобы девочкам было интереснее слушать, он сделал главную героиню похожей на Алису по характеру, а также добавил некоторым второстепенным персонажам характерные черты Эдит и Лорины. Маленькая Лидделл была в восторге от рассказа и потребовала, чтобы писатель записал его на бумаге.

Кэрролл сделал это лишь после нескольких напоминаний и торжественно вручил Алисе рукопись под названием «Приключения Алисы под землей». Несколько позже он взял эту первую историю за основу своих известных книг [16].

1.2. Изучение математических понятий в школе

Методика изучения математических понятий содержит ряд этапов [12].

1. Мотивационный. Назначение этого этапа состоит в показе целесообразности и необходимости введения нового понятия. Для этого используют следующие приемы: решение задач (математических, с практическим содержанием, занимательных, исторических), проведение опытов или наблюдений.
2. Подготовка к введению определения. Результатом этого этапа является формулировка существенных свойств понятия.
3. Введение определения.
4. Логико-математический анализ структуры определения. Назначение этапа состоит в составлении ориентировочной основы действия (ООД) для подведения под определение понятия и выведения следствий.
5. Выполнение действий подведения под понятие. Действия подведения под определение понятия направлено на формирование умений распознавать объекты, относящиеся к классу объектов, характеризуемых определением. Для этого необходимо, используя ООД, определить наличие у объекта свойств и логических связей между ними, характеризующих данное понятие. Учителю полезно владеть методикой составления упражнений на распознавание: каждое свойство в определении заменяют поочередно его отрицанием, и к измененному таким образом предложению составляют пример. Такие контр примеры чередуют с примерами, удовлетворяющими определению данного понятия. При этом соблюдают принцип варьирования несущественных свойств понятия – формы и расположения чертежа, буквенных обозначений и т.д.
6. Выполнение действий получения следствий, то есть установления вывода о наличии у объекта, обозначенного данным термином, совокупности свойств, характеризующих соответствующее понятие.
7. Установление связей между новым понятием и изученными ранее.
8. Формулировка эквивалентных определений.
9. Контроль и оценка усвоения понятия учениками. При контроле необходимо проверить наличие знаний:

а) формулировки определения понятия;

б) содержания понятия;

в) структуры определения;

г) ООД для выполнения действий подведения под определение понятия и выведения следствий.

В методике преподавания математики (МПМ) выделяют два метода введения понятий: конкретно-индуктивный (описан выше) и абстрактно-дедуктивный.[10]

Схема применения конкретно-индуктивного метода:

1. Рассматриваются и анализируются примеры.
2. Выясняются существенные свойства объектов.
3. Формулируется определение.
4. Дальнейшее усвоение понятия и его определения происходит в процессе их применения.

Классификация методов обучения

В настоящее время актуальным является вопрос классификации методов обучения, упорядоченной по определенному признаку системы. Лишь ту классификацию можно признать хорошей, которая согласуется с практикой обучения. Обучение – чрезвычайно подвижный, диалектический процесс. Система методов должна быть динамичной, чтобы отражать эту подвижность, учитывать изменения, постоянно происходящие в практике применения методов.

В дидактике прослеживается неоднозначный подход к обоснованию классификации методов обучения. К тому же следует учесть, что дидактика призвана, в общем, раскрыть методы обучения, дать им характеристику, общие направления реализации. Частные методики же – раскрыть, как непосредственно адаптировать те или иные методы на конкретных уроках.

Наиболее обоснованной и востребованной ныне является классификация по уровню включения в продуктивную (творческую) деятельность. Эту классификацию еще в 1955 г. предложили И.Я. Лернер и М.Н. Скаткин. Они справедливо отметили, что многие прежние подходы к методам обучения основывались на различии их внешних структур или источников. Поскольку же успех обучения в решающей степени зависит от направленности и внутренней активности обучаемых, от характера их деятельности, то важным критерием выбора метода должны служить степень самостоятельности и творчества обучаемых.

В системе обще дидактических методов И.Я. Лернер и М.Н. Скаткин выделяют две группы: репродуктивные (информационно-рецептивные и собственно-репродуктивные) и продуктивные (проблемное изложение, эвристические, исследовательские) [8].

Характеристика методов проблемного обучения.

В зависимости от характера деятельности учителя и ученика можно выделить 5 основных методов проблемного обучения, причем в каждом из последующих степень активности и самостоятельности в деятельности обучаемых нарастает. «В основе этой классификации лежит… самый существенный признак обучения – характер деятельности учащихся на уроке, предполагающий не только рецептивную и репродуктивную деятельность, но и увеличение удельного веса творческой деятельности во имя развития творческого мышления, творческих умственных способностей школьников».

Репродуктивные методы.

1.Информационно-репродуктивный (или объяснительно-иллюстративный метод)

Учащиеся получают знания в «готовом виде», используются различные источники информации. Учитель объясняет, используя различные наглядные пособия. Данный метод приводит лишь к запоминанию готовых знаний и последующему их воспроизведению, которое может быть неосмысленным, то есть здесь имеет место низкий уровень мыслительной активности. Воспринимая и осмысливая факты, оценки, выводы, учащиеся остаются в рамках репродуктивного мышления.

2. Инструктивно-репродуктивный метод

К нему относят применение изученного на основе образца правила. Деятельность обучаемых носит алгоритмический характер, т.е. выполняется по инструкциям, предписаниям, правилам в аналогичных, сходных с показанным образцом, ситуациях. Критерием усвоения является правильное воспроизведение (репродукция), то есть уровень мыслительной деятельности учащихся по-прежнему остается низким.

В первых двух методах интегрируются все вышеназванные традиционные классификации: изложение (традиционное, не проблемное), рассказ, лекция, беседа (с помощью которой закрепляется материал), практическая работа (упражнения, решение задач, выполнение опытов и т. д.).

Продуктивные методы

3. Метод проблемного изложения.

Этот метод «является переходным от исполнительской к творческой деятельности. В этом процессе, как отмечает И.Я. Лернер, существенным для учащихся является образец внешнего проявления творческой мысли, предъявляемой самим учителем. Учитель показывает путь и логику решения проблемы. «И хотя учащиеся при таком методе не участники, а всего лишь наблюдатели хода размышлений, они получают хороший урок разрешения познавательных размышлений».

В отличие от репродуктивных методов, которые предлагают ученикам решения в готовом виде, характер мыслительной деятельности учащихся, вызванный этим методом, немного иной: они не просто следят за изложением готовых решений, они видят путь рассуждений, путь «добывания» истины, как бы включаются мысленно в процесс возникновения и решения проблемы. Педагог при этом может использовать самые различные источники и средства. Учащиеся становятся свидетелями и соучастниками научного поиска.

Характер мыслительной деятельности учащихся, вызываемый этим методом, немного иной: они не просто следят за изложением готовых ответов и решений, не просто слушают и воспринимают готовые знания, они видят процедуру, способы, приемы добывания этих знаний, как бы включаются мысленно в процесс возникновения и решения проблемы, в процесс «со-рассуждения», «со-размышления», со-переживания, выявления причинно-следственных связей фактов, явлений и их свойств по обсуждаемой проблеме.

Метод проблемного изложения состоит из следующих приемов:

1. создание проблемной ситуации (см. далее приемы создания проблемной ситуации);
2. постановка проблемы (учебной задачи);
3. поиск решения проблемы (ход решения и его логика, возможные и действительные затруднения и противоречия);
4. математическая запись решения проблемы;
5. обобщение нового знания;
6. обобщение способа деятельности.

4. Эвристическая беседа или частично-поисковый метод

Метод получил название частично-поискового потому, что учащиеся не всегда могут самостоятельно решить сложную учебную проблему от начала и до конца.

Заключается в организации активного поиска решения выдвинутых в обучении (или самостоятельно сформулированных) познавательных задач под руководством педагога, поскольку не всегда еще могут самостоятельно решить сложную проблему. Знания же учащиеся добывают самостоятельно, отвечая на поставленные вопросы учителя или разрешая проблемные задания [6]. Роль учителя: не сообщение или изложение знаний, а организация поиска новых знаний при помощи разнообразных средств. Учащиеся решают проблемные ситуации, анализируют, сравнивают, обобщают, приходят к познанию нового. Процесс мышления приобретает продуктивный характер, но при этом поэтапно направляется и контролируется педагогом или самими учащимися. Эвристическая беседа состоит из следующих методических приемов:

1. создание проблемной ситуации;
2. формулирование проблемы учителем или учащимися;
3. организация поиска решения проблемы: учитель задает вопросы и дает задания поискового характера, учащиеся отвечают, выполняют задания;
4. математическая запись учащимися решения проблемы;
5. формулировка учащимися выводов;
6. обобщение учащимися знаний и способов действия [5].

5. Исследовательский метод

Этот метод, в отличие от предыдущих методов, предполагает полную самостоятельную творческую деятельность учащихся. Даже при его простых вариантах он предполагает готовность ученика к целостному самостоятельному решению проблемы, к поиску и приобретению новых знаний, новых способов деятельности. Этот метод имеет следующие функции:

1. он является основным методом обучения опыту творческой деятельности и формирования черт творческой деятельности;
2. организует творческое усвоение знаний, т.е. учит применять уже известные знания для решения проблемных задач и добывать новые в результате такого решения;
3. обеспечивает овладение методами научного познания;
4. является условием формирования интереса, потребности в творческой исследовательской деятельности.

Постановка учебной задачи принадлежит учащимся. Роль учителя сводится к оперативному управлению процессом решения поставленной проблемы.

После анализа материала, постановки проблем и задач и краткого устного или письменного инструктажа обучаемые самостоятельно изучают литературу, средства для достижения результата, ведут наблюдения, измерения, выполняют другие действия поискового характера. Инициатива, самостоятельность, творческий поиск, проявляются в исследовательской деятельности наиболее полно.

Методы учебной работы непосредственно перерастают в методы научного исследования. Данный метод можно использовать только после того, как ранее уже были использованы методы проблемного изложения материала и частично-поисковый (эвристическая беседа).

Исследовательский метод состоит из приемов:

1. создание проблемной ситуации;
2. формулирование проблемы (учебной задачи);
3. поиск решения проблемы, выдвижение гипотез;
4. доказательство или опровержение гипотезы;
5. символическая  запись выводов и их формулирование;
6. обобщение учителем знаний и способов деятельности учащихся.

Выбирая тот или иной метод обучения, учителю необходимо каждый раз учитывать многие зависимости. Прежде всего, определяются главная цель и конкретные задачи, которые будут решаться на уроке.

Можно выделить общие условия, которые определяют выбор метода обучения:

1. Цели и задачи обучения, уровень обучения, который необходимо достигнуть.
2. Содержание и методы определенной науки вообще и предмета, темы в частности.
3. Количество и сложность учебного материала.
4. Учебные возможности школьников (возрастные особенности, уровень подготовленности, сформированность учебных навыков, учебная тренированность и выносливость, особенности классного коллектива).
5. Возможности учителя (опыт, уровень подготовленности, знание типичных ситуаций процесса обучения).
6. Применение методов на предыдущих уроках.
7. Тип и структура занятия и др.

1.3. Изучение утверждений в школе

Понятие процесса обучения.

Процесс обучения есть целенаправленное, содержательно насыщенное взаимодействие педагогической деятельности взрослого и само изменения ребенка в результате активной жизнедеятельности при направляющей роли педагога.

Понятие процесса обучения многоаспектно. В нем находит отражение взаимосвязь психологических, дидактических и методических характеристик.

Процесс обучения является сложным процессом, следовательно, дать полное и всестороннее определение этого процесса очень трудно. Он включает в себя огромное количество разнообразных связей и отношений множества факторов различного порядка.

Процесс обучения математике рассматривается с опорой на методико-математические и методико-процессуальные основы методики математики, поэтому целесообразно его рассмотрение с точки зрения различных аспектов:

• дидактический аспект: имеет бинарный (т.е. двусторонний) характер благодаря взаимодействию его участников; предполагает двустороннюю деятельность учителя и учащихся, специальную планомерную организацию и управление, целостность и единство; это есть система, которая включает в себя в качестве основных компонентов: исходное состояние, цели, педагогические средства, условия и результат; процесс обучения направлен на достижение целей образования;
• психологический аспект: процесс обучения осуществляется в соответствии с закономерностями возрастного развития учащихся; управление развитием и воспитанием учащихся, благодаря психическим функциям обучения (ощущение, восприятие, воображение, мышление и т. д.), а также закономерностям психической деятельности (потребностный характер деятельности, развивающий характер обучения, единство сознания и цели и т.д.);
• методический аспект: процесс обучения осуществляется с помощью образовательных технологий; вариативен.

Процесс обучения должен стать научно-исследовательской деятельностью учащихся. Возникает необходимость нахождения средств (содержание, методы, формы), позволяющих формировать у школьников способности самостоятельно овладевать новыми знаниями.

Способности приобретать знания, исследовать процессы и явления формируются у учащихся в процессе самостоятельных поисков решения стоящих перед ними проблем. [5]

Анализ практической деятельности учителей школ показывает, что учитель часто по-прежнему сам сообщает новые знания. Такой способ подачи нового материала не обеспечивает активности мыслительной деятельности всех учащихся.

Традиционное и развивающее обучение, их особенности

Анализ теоретических источников и практики показывает, что в современных условиях четко определились два различных взгляда на цель, задачи, содержание, формы и методы обучения. Один из них традиционный в рамках традиционного обучения, другой – инновационный, в системах развивающего обучения.

Первый складывался в течение столетий, начиная с классно-урочной системы Я.А. Коменского. Второй в отечественной педагогике четко обозначился в 50–60-е годы и связан с идеями психологической школы Л.С. Выготского, Д.Б. Эльконина, В.В. Давыдова и др.

Для осмысления сущности названных концепций обратимся к сопоставлению основных черт и характеристик традиционной системы обучения и развивающего обучения.

В математике каждое утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называется теоремой. Рассмотрим структуру теоремы на примере. Итак, прямая теорема: вертикальные углы равны. Теорема сформулирована в категорической форме. Переведем ее в импликативную форму (с использованием логической связки «если …, то…»): если углы вертикальные, то они равны [4]. В структуре теоремы выделяется:

1. разъяснительная часть (объект): два угла;
2. условие: вертикальность углов;
3. заключение: равенство углов.

Теорема простая. Вообще, теорема является простой, если имеет одно условие и одно заключение, сложной – если имеет несколько условий или несколько заключений.

Если из предложения А следует предложение В, т.е. А → В, то говорят, что А является достаточным условием для В, а В – необходимым условием для А. Таким образом, вертикальность углов есть достаточное условие их равенства, а равенство углов служит необходимым условием вертикальности.

Из предложений А и В с помощью импликации и отрицания могут быть составлены следующие сложные предложения:

1. Прямая теорема «Если А, то В».
2. Обратная теорема «Если В, то А».
3. Противоположная теорема «Если не А, то не В».

Обратная противоположной или противоположная обратной теорема «Если не В, то не А»

Схема зависимости между истинностью указанных предложений такова: предложения 1. и 3.; 2. и 3. одновременно истинны или ложны. Поэтому для установления истинности достаточно доказать две из четырех теорем. [14]

В процессе работы по изучению теоремы выделяют следующие этапы:

1. Мотивация изучения теоремы.
2. Ознакомление с теоремой.
3. Усвоение содержания теоремы.
4. Запоминание формулировки теоремы.
5. Поиск доказательства теоремы.
6. Оформление доказательства теоремы.
7. Усвоение доказательства теоремы.
8. Применение теоремы.
9. Контроль и оценка усвоения теоремы.

Прием введения теоремы учитель выбирает в зависимости от характера изучаемого материала, наличия учебного времени, уровня развития учеников и других факторов:

• учеников готовят к самостоятельному «пере открытию» теоремы;
• учеников готовят к сознательному восприятию новой теоремы (используют метод целесообразных задач), формулировка которой сообщают затем в готовом виде;
• учитель формулирует новую теорему без какой-либо предварительной подготовки, а затем сосредотачивает усилия обучающихся на усвоении и закреплении.

Усвоение теоремы можно провести раздельным методом, при котором процессы запоминания формулировки и формирования навыков применения протекают у школьников неодновременно, или компактным методом, при котором время на запоминание специально не выделяется.

Схема компактного метода:

1. Разделение формулировки теоремы на логические части;
2. Образец действий, предлагаемый учителем (читает по частям текст и одновременно выполняет упражнение);
3. Выполнение упражнений учениками, руководствующимися как подготовленным текстом, так и образцом, предложенным учителем.[8]

Для закрепления теории учитель предлагает формулировать теоремы, встречающиеся по ходу решения задач, либо использует фронтальный опрос.

Вывод по первой главе

В первой главе рассмотрена биография Льюиса Кэролла, показано, что писатель тесно связан с математикой, и старается показать, через свои произведения важность науки. Такой взгляд на математику - это ещё и попытка Льюиса Кэрролла оживить «скучные» (для неподготовленной аудитории) математические тексты художественными образами. Математика один из сложных предметов. Для повышения интереса к предмету можно использовать художественную литературу. Именно такую возможность нам дает автор. Кроме того, в этой главе описаны общие подходы к формированию математических понятий и обучению теорем. Далее предлагается анализ отдельных фрагментов книги Льюиса Кэролла «Алиса в стране чудес» с точки зрения общих подходов к формированию математических понятий и обучения школьников.

Глава 2. Некоторые методические рекомендации использования фрагментов книги Льюиса Кэролла «Алиса в стране чудес» при изучении математики

Приключения Алисы в целом были основаны лишь на воображении автора, но поиски героиней красивого сада могут быть истолкованы как насмешка автора над метаморфозами, происходившими в математике 19 века.

В это время с наукой происходило множество изменений: новое значительное расширение области приложений математического анализа, широкое развитие математической логики.

Математика поднимается на новые ступени абстракции, в связи с этим численные методы математики вырастают в самостоятельную её ветвь - вычислительную математику. Эти годы становятся веком геометрии. Математика переживает сильные изменения, и, естественно, это не обходит стороной тех, кто связан с ней. В том числе и Льюиса Кэрролла.

Алиса прыгнула в кроличью нору и попала из мира традиционной математики в мир современной математики, в котором развивается топология, изучается множество иррациональных чисел, звучат идеи о многомерности пространства.

2.1. Фрагмент урока по теме: "Практическое применение подобия треугольников. Подобие произвольных фигур" (8-й класс)

Зачитывается фрагмент из книги: [2]

• Из разговора Алисы с собой во время увеличения и уменьшения глава 1[2]:

И уж Алиса-то отлично помнила, что если выпьешь слишком много из бутылки, на которой нарисованы череп и кости и написано «Яд!», то почти наверняка тебе не поздоровится (то есть состояние твоего здоровья может ухудшиться).

Однако на этой бутылочке не было ни черепа, ни костей, ни надписи «Яд!», и Алиса рискнула попробовать ее содержимое.

А так как оно оказалось необыкновенно вкусным (на вкус — точь-в-точь смесь вишневого пирога, омлета, ананаса, жареной индюшки, тянучки и горячих гренков с маслом), она сама не заметила, как пузырек опустел.

— Ой, что же это со мной делается! — сказала Алиса. — Я, наверное, и правда складываюсь, как подзорная труба!

Спорить с этим было трудно: к этому времени в ней осталось всего лишь четверть метра. Алиса так и сияла от радости, уверенная, что она теперь свободно может выйти в чудесный сад. Но все-таки она решила на всякий случай немного подождать и убедиться, что она уже перестала уменьшаться в росте. «А то вдруг я буду делаться все меньше, меньше, как свечка, а потом совсем исчезну! — не без тревоги подумала она. — Вот бы поглядеть, на что я буду тогда походка».

• Как вы думаете, как данный фрагмент относиться к нашей теме урока?

Если изменить (увеличить или уменьшить) все размеры фигуры в одно и то же число раз (отношение подобия), то старая и новая фигуры называются подобными. Например, картина и её фотография – это подобные фигуры.

Так и рост Алисы при его изменении в данном фрагменте является подобным к предыдущему состоянию. Подобие – это понятие, характеризующее наличие у фигур одинаковой формы, которая не зависит от размеров.

• Сформулируйте первый признак подобия треугольников.

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

• Сформулируйте второй признак подобия треугольников.

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

• Сформулируйте третий признак подобия треугольников.

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Данная тема изучается в школе в 8 классе. Треугольник является важнейшей фигурой планиметрии, и потому в первую очередь изучают свойства этой фигуры. С ним связаны многие методы, используемые при решении различных геометрических задач. Любой многоугольник может быть разделён на треугольники, а изучение свойств этого многоугольника, сводится к изучению составляющих его треугольников. В каком-то смысле изучаемая в школьном курсе геометрия - это геометрия треугольника.

 2.2. Фрагмент урока математики по теме "Арифметическая прогрессия"

Предмет: алгебра.

Класс: 9.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

• познакомить учащихся с понятия «арифметическая прогрессия», со свойствами арифметической прогрессии, способами задания арифметической прогрессии; вместе с учащимися вывести формулу n-го члена арифметической прогрессии;
• формирование умений учащихся по изучаемой теме на уровне знания и понимания (уметь ответить на вопрос: какая последовательность называется арифметической прогрессией, приводить примеры, уметь находить члены прогрессии);
• развитие познавательного интереса, умений собраться на уроке, организоваться для восприятия, понимания и ответа формирования логического мышления;

Организационная структура урока [1]

Дан фрагмент текста, из детской сказки Льюиса Керолла «Алиса в стране чудес».

• Из разговора Алисы с Грифоном и Деликатесом о школе в Стране чудес глава 9 [2]:

- А сколько у вас в день было уроков? - спросила Алиса…- Как обычно: в первый день десять уроков, - сказал Деликатес, - на следующий – девять,

потом восемь и так далее…

- Так, выходит, на одиннадцатый день у вас уже были каникулы? – спросила она, закончив подсчёты.

- Само собой! – ответил Деликатес.

2.3 Фрагмент внеклассного мероприятие в 7-м классе " Системы счисления"

Введение в тему:

Система счисления - это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков. Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается справа числа в нижнем индексе: 510; 11101102; AF17816 и т. д.[9]

Различают два типа систем счисления:

• позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;
• непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.

Примером непозиционной системы счисления является римская: числа IX, IV, XV и т.д. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая повседневно.

Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:

Ai – имеет ограничения (0<Аi<(S-1))

где S - основание системы счисления;

An - цифры числа, записанного в данной системе счисления;

n - количество разрядов числа.

Доклад учащегося: Системы счисления в произведении Льюиса Кэролла «Алиса в стране чудес»

• Из разговора Алисы с собой во время увеличения и уменьшения глава 2 [2]:

Ой, у меня, наверное, скоро правда голова сломается! Лучше проверю-ка я, все я знаю, что знаю, или не все. Ну-ка: четырежды пять – двенадцать, четырежды шесть – тринадцать, четырежды семь… Ой, мамочка, я так никогда до двадцати не дойду! Ну и ладно, значит, таблица умножения не считается!

Результат вычислений в таблице умножения записан в разных системах счисления, начиная с восемнадцатеричной. Каждый следующий результат записан в системе счисления, основание которой увеличено на 3.

Правило перехода из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную: разделить десятичное число на 16. Получится частное и остаток. Частное опять разделить на 16. Получится частное и остаток.

Выполнять деление до тех пор, пока последнее частное не станет меньшим 16. Записать последнее частное и все остатки в обратном порядке.

Полученное число и будет шестнадцатеричной записью исходного десятичного числа.

Вернемся к таблице умножения:

4 × 5 =20. Число 20 - записано в десятичной системе счисления (основание 10, то есть 2010). Запишем число 20 в системе счисления по основанию 18

2010=1218

Поэтому 4 × 5 =12.

Увеличим основание системы на 3: 18+3=21. Запишем следующий результат в системе счисления по основанию 21.

4 × 6 = 24

2410=1321.

Поэтому 4 × 6 =13.

Увеличим основание системы на 3: 21+3=24. Запишем следующий результат в системе счисления по основанию 24.

4 × 7 = 28

2410=1324.

Поэтому 4 × 7 =14.

Впервые, ученики встречаются с понятием «Система счисления», ещё во втором классе, но не привычные, для нас, знаковые, а различные рисунки и т.п. Далее, ученики встречаются с данной темой в 5 классе. Вводятся понятия: двоичной, десятичной и восьмеричной системы счисления. Так же, объясняются различие позиционных и непозиционных систем счисления. Затем, более углубленно, тема изучается в седьмых классах.

 2.4. Урок по теме «Прямая и обратная теоремы» 7 классы

Тема: Прямая и обратная теоремы. Свойство параллельных прямых.

Цели урока: 

Образовательные: усвоить понятия «прямая» и «обратная» теоремы, научиться формулировать утверждение, обратное данному, понять необходимость доказательства обратного утверждения, изучить свойство параллельных прямых через накрест лежащие углы.

Развивающие: развивать «геометрическое» зрение и логическое мышление.

Воспитательные: воспитывать внимательность, умение работать в паре.

План урока:

1. Организационный этап (1 мин)
2. «Геометрический лабиринт» (2+4 мин)
3. «Логический поиск» (17-20 мин)
4. «И снова в лабиринт» (6-10 мин)
5. «Домашнее задание (1 мин)

Содержание урока.

1. В этом учебном году мы начали изучать одну из интереснейших и древнейших наук – геометрию. В стране Геометрия очень важно уметь смотреть и видеть, замечать и отмечать особенности геометрических фигур. Знания надо не только иметь, но и уметь их применять и уметь их показывать.

Кто ничего не замечает,

Тот ничего не изучает,

Кто ничего не изучает,

Тот вечно хнычет и скучает.

А потому, давайте развивать свое «геометрическое» зрение и логическое мышление.

Приступаем к первому этапу «Геометрический лабиринт».

Задание 1. «Ловите ошибку» (найти геометрическое несоответствие)

Задание 2. На доске чертеж. Я задаю вопросу по чертежу. Ответы на вопросы запишите на индивидуальных досках, поднимите их. Я называю правильный ответ, сверьте его со своим и отметьте в листе учета: «+» - правильность, «-» - неправильность ответа.

Вопрос 1. Назовите хотя бы одну прямую являющуюся секущей для прямых АВ и СВ.  (АС или СВ)

Вопрос 2. Запишите углы, являющиеся внутренними односторонними для прямых АС и КМ и их секущей СВ

Вопрос 3.  2=  4. Что из этого следует?

Задание 3.

Из предложенного списка выбрать теоремы:

1. Натуральное (целое положительное) число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя называется простым числом.
2. Через любые две точки можно провести единственную прямую.
3. Вертикальные углы между собой всегда равны.
4. Сумма смежных углов равна 180о.
5. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную плоскость.
6. Прямую, имеющую с окружностью только одну  общую точку, называют касательной.
7. В ромбе, диагонали взаимно перпендикулярны.
8. Сумма углов в треугольнике равна 1800
9. Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
10. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны [4].

Вы зафиксировали прохождение геометрического лабиринта в карте учета ответов, и мы переходим к следующему этапу урока: «Логический поиск»

Сегодня на уроке попробуем разобраться, что такое прямая и обратная теоремы, изучим одно из свойств параллельных прямых.

Теорема представляет собой высказывание вида А → В, где А и В - высказывательные формы с одной или несколькими переменными. Предложение А называют условием теоремы, а предложение В - ее заключением [3].

Теорема может выражаться в условной форме: если углы вертикальные, то они равны.  

Каждая теорема содержит условие и заключение, которые, не всегда бывают отчетливо выделены.

Очень важно уметь выделить условие, т. е. представить теорему в виде если А (условие), то В (заключение). 

Обратная теорема – это  утверждение, которое получается, если условие и заключение некоторой теоремы поменять местами и при этом будут получаться верное высказывание.

Если углы равны, то они вертикальны.

Поменяв местами, условие и заключение мы получаем утверждение, обратное данному.

«И снова в лабиринт». Вам представлен фрагмент из сказки Льюиса Кэролла «Алиса в стране чудес», ваша задача найти условие теоремы и её заключение, а так же обратные теоремы.

• Из разговора Алисы на чаепитии с Мартовским Зайцем, Шляпой и Соней глава 7 [2]:

- Я всегда думаю, что говорю, и говорю, то, что думаю! – выпалила Алиса. В общем, это ведь одно и то же!

- Ничего себе! – сказал Шляпа.

– Ты бы ещё сказала: «я вижу всё, что ем» и «я ем всё, что вижу» - это тоже одно и то же!

- Ты бы ещё сказала, - неожиданно откликнулась Соня, не открывая глаз, - «я дышу, когда сплю» и «я сплю, когда дышу» - это тоже одно и то же …

«Домашнее задание».

1. учить теорему;
2. №203 (а,б);
3. найти интересное высказывание, представить его в виде логической схемы «если…, то …», сформулировать обратное утверждение.

2.5. Краткое содержание книги

В книге описывается сказочный мир, в который однажды попадает маленькая девочка Алиса. В этом мире все перевернуто с ног на голову. Люди и вещи здесь обретают совершенно другой смысл, а время и пространство теряют свое первоначальное значение, уходя на второй план. Привычное для всех представление о реальности смещается и уступает место абсурдности всего происходящего. Таким образом, удивительная фантазия автора заставляет работать воображение читателя, требуя глубокого проникновения в смысл повествования.

«Алиса в стране чудес» учит тому, что в жизни необходимо иметь определенную цель и стремиться к ее достижению. Это первое. Второе: если человек занимается любимым делом, он находит ту самую цель в жизни, и все вокруг него обретает смысл. Третье – не стоит зря тратить время на бесполезные дела, нужно ценить время, отпущенное нам свыше и посвящать его только тем вещам, которые действительно необходимы. И последнее – нужно верить в себя и свои силы, только так можно достичь успехов в том или ином начинании [13].

2.5.1. Случайные блуждания и математика, глава 6

— Скажите, пожалуйста, куда мне отсюда идти?

— А куда ты хочешь попасть? — ответил Кот.

— Мне все равно… — сказала Алиса.

— Тогда все равно, куда и идти, — заметил Кот. [2]

В математике есть такой процесс — «случайные блуждания».

Представим себе водителя машины, который едет по городу и на каждом перекрестке случайно выбирает, ехать ли ему прямо, повернуть налево, направо или развернуться. Важно, чтобы выбор был действительно случайным и никак не зависел от выбора, который водитель делал на предыдущих перекрестках.

Как сделать случайный выбор? Например, водитель на каждом перекрестке дважды бросает монетку: первый бросок определяет, ехать ли и дальше по той же улице или повернуть на перпендикулярную; второй бросок определяет направление движения (вперед или назад по той же улице, направо или налево по перпендикулярной).

Оказывается, в таком движении очень много неслучайного — намного больше, чем, кажется на первый взгляд. Например, существует теорема, утверждающая, что если город достаточно большой, а улицы его образуют строгую прямоугольную сетку, то водитель рано или поздно во всех случаях должен вернуться в исходную точку.

Но если бы мы умели так же свободно перемещаться и менять направление в трехмерном пространстве, то вероятность нашего возвращения в исходную точку была бы всего лишь 0,239 — то есть в исходную точку мы попадали бы реже, чем в одном случае из четырех.

2.5.2. Алиса, держи себя в руках, глава 5

В сцене с гусеницей Доджсон выражает свои опасения, рассказывая, что Алисин рост колеблется между 9 футами и 3 дюймами. Алиса скованна рамками традиционной арифметики, где физическая величина (например, размер) должна быть определенной. Алису это сильно беспокоит. «Столько превращений в один день хоть кого собьет с толку», – жалуется она. «Не собьет», – возражает Гусеница. Действительно, она же привыкла жить в абсурдном мире.

Предостережение, которое Гусеница изрекает в конце этой сцены, вероятно, один из самых красноречивых намеков на доджсоновкую консервативную математику. «Держи себя в руках!» – заявляет Гусеница. Алиса предполагает, что Гусеница рекомендует ей не злиться. Однако, хотя девочка действительно выражается достаточно резко, к этому моменту она не успела сказать ничего обидного, поэтому достаточно странно, что совет Гусеницы звучит именно так. В оригинале же гусеница говорит: «Keep your temper». Интеллектуалы времен Доджсона, вероятно, должны были понять слово «temper» (умеренность) в буквальном смысле: «пропорция, где все свойства находятся в правильном соотношении». Таким образом, Гусеница подсказывает Алисе, что сохранять умеренность – это придерживаться правильных пропорций, независимо от того, каков твой размер.

Здесь, опять же, прослеживается любовь Доджсона к евклидовой геометрии, где абсолютная величина не имеет значения. По-настоящему важны лишь соотношения длин отрезков, например, при определении свойств треугольника. Чтобы уцелеть в Стране Чудес, Алиса должна действовать, как геометр-евклидианец, – сохранять пропорции, даже если её размеры меняются. [2]

Заключение

Мы проанализировали произведение Льюиса Кэролла «Алиса в стране чудес», и объяснили то, что нам казалось загадкой, с точки зрения математики.

Действительно, Кэрролл сумел соединить два абсолютно полярных мира: абсурдный мир нелепых фантазий и мир тонкой математической логики. Он смог разрушить принятые в обществе стереотипы и традиционные представления, не боялся высказать своё мнение в такой креативной форме, не боялся быть не понятым. Данная книга, является отличным помощником учителю, чтобы привить любовь у учеников к математике.

Книгу можно использовать, как дидактический материал, для развития у учеников воображения, творческого и логического мышления. Например, раздать фрагменты из книги и попросить сопоставить с математикой, из школьного курса.

На мой взгляд, произведение Льюиса Кэрролла «Алиса в стране чудес», просто находка, для юных любителей математики.

Список использованных источников и литературы

1. Алгебра: учебник для 7 класса средней школы / Под ред. С. А. Теляковского. – 2-е изд. – Москва: Просвещение, 1991. – 240 с.
2. Алиса в Стране Чудес, история создания книги / Google //  selfire. com: [сайт]. – URL:  http://selfire.com/2008/07/1117/, ( дата обращения: 01.11.19)
3. Алиса в стране Чудес: сказочная повесть для чтения взрослыми детям / Льюис Кэрролл; ил. Грега Хильдебрандта; пер. Динары Селиверстовой. – Москва: Эксмо, 2010. – 63с.
4. Блох, А. Я. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / Сост. В. И. Мишин. – Москва: Просвещение, 1987. – 416 с.
5. Геометрия. 7–9 кл.: учеб. для общеобразоват. организаций с прил. на электрон. носителе / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев. – 3-е изд. – Москва: Просвещение, 2014. – 382 с.
6. Градштейн, И. С. Прямая и обратная теоремы / И.С. Градштейн. – 2-е изд., перераб. – Москва; Ленинград: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. – 81 с.
7. Катуржевская, О. В. Методика преподавания математики: учебно-методическое пособие / О. В. Катуржевская. – Армавир: РИО АГПУ, 2016. – 140 с.
8. Колягин, Ю. М. Задачи в обучении математике. Часть I. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся / Ю. М. Колягин. – Москва: Просвещение, 1977.  – 113 с.
9.  Концепция развития математического образования в Российской Федерации: распоряжение Правительства России от 24 декабря 2013 года № 2506-р. –  URL: http://www.apmath.spbu.ru/docs/metod/1391175942.pdf, (дата обращения: 01.11.19)
10. Кочеткова, О. В. Использование динамической наглядности на уроках математики / О. В. Кочеткова // Начальная школа. – 2015. – № 7. – С. 23-27.
11.  Лернер, И. Я. Дидактические основы методов обучения / И. Я. Лернер. – Москва: Педагогика, 1981. – 256 с.
12. Луканкин, Г. Л. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учеб. пособие для студентов физ.мат. фак. пед. ин-тов / Г. Л. Луканкин. – Москва: Просвещение, 1977. – 480 с.
13. Льюис Кэрролл / Google // 4smi.org: [сайт]. –  URL: https://24smi.org/celebrity/4152-liuis-kerroll.html, ( дата обращения: 01.11.19)
14. Методика обучения математике в 2 ч. Часть 1: учебник для академического бакалавриата / Н. С. Подходова [и др.]; под редакцией Н. С. Подходовой, В. И. Снегуровой. — Москва: Издательство Юрайт, 2017. — 274 с.
15.  Поляков, Е. А. Информатика углубленный уровень. Учебник для 10 класса в 2-х частях / Е. А. Поляков. – Москва: Просвещение, 2013. – 344 с.
16. Шапиро, И. М. Использование задач с практическим содержанием в препо¬давании математики: кн. для учителя / И. М. Шамиро. – Москва: Просвещение, 1990. – 96 с.
17. Шишкин, А. Б. Вводный курс математики: методические материалы к изучению дисциплины и организации самостоятельной работы студентов 1-го курса академического бакалавриата, обучающихся по направлению 44.03.05 Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки – Математика, Информатика) / А. Б. Шишкин. – Славянск-на-Кубани: Филиал Кубанского гос. ун-та в г. Славянске-на-Кубани, 2018. – 42 с.