Опорные конспекты по математике, алгебре и геометрии для 5-11 классов
методическая разработка по математике

Опубликовано 17.12.2022 - 17:25 - Гончарова Марина Николаевна

Опорные конспекты по математике, алгебре и геометрии предназначены для учащихся и их родителей для закрепления, повторения учебного материала, а также отработки практических навыков.

Скачать:

ВложениеРазмер
Package icon опорные конспекты по математике для 5 класса1.48 МБ
Package icon опорные конспекты по математике для 6 класса1021.91 КБ
Package icon опорные конспекты по алгебре для 7 класса1.69 МБ
Package icon опорные конспекты по алгебре для 9 класса1.53 МБ
Package icon опорные конспекты по алгебре для 10-11 класса1.16 МБ
Package icon опорные конспекты по алгебре для 8 класса2.87 МБ
Package icon опорные конспекты по геометрии53.47 КБ

Предварительный просмотр:

ОК -1(5класс)            Степень числа

Степенью числа а с натуральным показателем n называется произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен а.  

an = a∙ a∙ a∙ a∙ a∙ a ...∙ a            -   возведение в степень

                                       n  раз                            (нахождение значения степени)

an  — степень числа а

а — основание степени (повторяющийся множитель)

n — показатель степени (показывает, сколько множителей умножается)

Например:   2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = = 64

                     = 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 625

Квадрат и куб числа

a2 = a ∙ a - квадрат числа                    a3 = a ∙ a ∙ a - куб числа

C:\Users\алексей\Desktop\1274342_naturalnye-chisla-ot-1-do-100.jpg                                                   C:\Users\алексей\Desktop\cd5ddd072a792a3765e6f6c324f0c880.jpeg

Примеры: Найти значение выражения  .

При нахождении значения числового выражения в первую очередь надо вычислить значение степени, а затем выполнить действия по порядку.

.

Таблица степеней

   

 22=4

   

23=8

   

24=16

   

25=32

   

26=64

   

27=128

   

28=256

29 = 512

210 = 1024

   

32=9

   

33=27

 

34=81

   

35=243

   

36 =729

   

   

42=16

   

43=64

   

44=256

   

45=1024

   

52=25

   

53=125

54=625

   

62=36

   

63=216

   

72=49

   

73=343

   

82=64

   

83=512

   

92=81

   

93=729

       

102=100

     

103=1000

     

104=10000

     

105=100000

     

106=1000000

Таблица квадратов целых чисел от 10 до 99

Десятки

Единицы

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

100

121

144

169

196

225

256

289

324

361

2

400

441

484

529

576

625

676

729

784

841

3

900

961

1024

1089

1156

1225

1296

1369

1444

1521

4

1600

1681

1764

1849

1936

2025

2116

2209

2304

2401

5

2500

2601

2704

2809

2916

3025

3136

3249

3364

3481

6

3600

3721

3844

3969

4096

4225

4356

4489

4624

4761

7

4900

5041

5184

5329

5476

5625

5776

5929

6084

6241

8

6400

6561

6724

6889

7056

7225

7396

7569

7744

7921

9

8100

8281

8464

8649

8836

9025

9216

9409

9604

9801



Предварительный просмотр:

ОК №6-1

Признаки делимости:

на 10 –натуральное число оканчивается цифрой 0;

на  5 – натуральное число оканчивается цифрой 0 или 5;

на 2 – натуральное число оканчивается  четной цифрой (0;2;4;6;8);

на 9 – сумма цифр числа делится на 9;

на 3 – сумма цифр числа делится на 3.

Натуральные числа (классификация)

 Число 1                   Простые                                Составные

Только один          Только два                     Более двух делителей

делитель – 1          делителя – 1 и               Разложение на простые   

                                само это число             множители

                                Таблица простых          210 = 2 · 3 · 5 · 7

                                чисел

        2,3,5,7,11,13,…

Наибольший общий делитель (НОД)

  1. разложить числа на                        НОД(36;48) = 2 · 2 · 3 = 12

простые множители;

                     36    2         48     2    

  1. из множителей первого                   18    2          24    2

разложения вычеркнуть те,            9     3          12    2

которые не входят в                          3     3            6    2

разложения других;                           1                   3    3

                                                                                          1

  1. найти произведение

оставшихся множителей.

Взаимно простые числа:  НОД(13;25) = 1.

Одно число делится на другое число: НОД(16;32) = 16.

ОК №6-1

Наименьшее общее кратное (НОК)

                                                           

  1. разложить числа на                         НОК(75;60) = 75 · 2· 2 = 300

простые множители;                      

                                                                   75    3          60    2

  1. выписать множители                            25    5          30    2

первого разложения                                 5    5          15    3

(т.е. первое число);                                    1                 5    5

                                                                                               1

  1. добавить множители из других

разложений, не входящие в

первое разложение;

  1. найти произведение

получившихся множителей.

НОК взаимно простых чисел равно их произведению:

                               НОК(4;9) = 4 · 9 = 36.

Одно число делится на другое число: НОК(14;28) = 28.



Предварительный просмотр:

Действия над одночленами

Умножение одночленов

Возведение одночлена в степень

Необходимо перемножить числовые множители и степени с одинаковыми основаниями

Необходимо возвести в степень каждый множитель одночлена

Результат – одночлен стандартного вида

Примеры:           

  1. -5a2bc ∙ 4a2b4 = -5∙4·(a2·а2)·(b1·b4)·c= = - 20a4b5c;
  2. – 1х2у · 3х3у2 · (- 5ху) =  - 1·3·(-5) ·

· (х2 х3х) ·(уу2у) =  15х6у4;

  1.  m3n4 ∙ 10m2n3 = m3 m2 n4n3 = -2m5n7.

Примеры:

  1. (-2a2b4)3 = (-2)3 (a2)3 (b4)3 = - 8a6b12;
  2. (- x3y2)4 = (-1)4 (x3)4(y2)4 = x12y8.

Действия над одночленами

Умножение одночленов

Возведение одночлена в степень

Необходимо перемножить числовые множители и степени с одинаковыми основаниями

Необходимо возвести в степень каждый множитель одночлена

Результат – одночлен стандартного вида

Примеры:           

  1. -5a2bc ∙ 4a2b4 = -5∙4·(a2·а2)·(b1·b4)·c= = - 20a4b5c;
  2. – 1х2у · 3х3у2 · (- 5ху) =  - 1·3·(-5) ·

· (х2 х3х) ·(уу2у) =  15х6у4;

  1.  m3n4 ∙ 10m2n3 = m3 m2 n4n3 = -2m5n7.

Примеры:

  1. (-2a2b4)3 = (-2)3 (a2)3 (b4)3 = - 8a6b12;
  2. (- x3y2)4 = (-1)4 (x3)4(y2)4 = x12y8.



Предварительный просмотр:

Алгоритм решения неравенств методом интервалов

Алгоритм

Пример

  1. Привести неравенство к виду

 (х – х1)(х – х2)…(х - хn) > (<;≥;≤) 0.

  1. Ввести функцию у = f(х).
  2. Найти область определения функции.
  3. Найти нули функции, решив уравнение f(х) = 0.
  4. Отметить на оси ОХ интервалы, на

    которые область определения

    разбивается нулями функции.

  1. Определить знак функции на каждом

    интервале.

  1. Определить множество решений

    (промежуток или объединение

    промежутков) функции для данного

    неравенства.

  1. Записать ответ.

Алгоритм решения неравенств методом интервалов

Алгоритм

Пример

  1. Привести неравенство к виду

 (х – х1)(х – х2)…(х - хn) > (<;≥;≤) 0.

  1. Ввести функцию у = f(х).
  2. Найти область определения функции.
  3. Найти нули функции, решив уравнение f(х) = 0.
  4. Отметить на оси ОХ интервалы, на

которые область определения

разбивается нулями функции.

  1. Определить знак функции на каждом

интервале.

  1. Определить множество решений

(промежуток или объединение

промежутков) функции для данного

неравенства.

  1. Записать ответ.



Предварительный просмотр:

                 Единичная окружность                                                               Единичная окружность

        

    Определение тригонометрических функций                                                           Определение тригонометрических функций

        

α

0

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

sin

0

1

0

- 1

0

cos

1

0

- 1

0

1

tg

0

1

-

0

-

0

ctg

-

1

0

-

0

-

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Значения тригонометрических функций некоторых углов

α

0

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

sin

0

1

0

- 1

0

cos

1

0

- 1

0

1

tg

0

1

-

0

-

0

ctg

-

1

0

-

0

-



Предварительный просмотр:

ОК-8        Алгоритм решения дробного рационального уравнения

Алгоритм

Пример

  1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (разложить на множители знаменатели дробей)

 

  1. Найти ОДЗ (значения, при которых имеет смысл каждая дробь – знаменатель не равен нулю)
  1. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель (найти дополнительные множители каждой дроби)
  1. Решить получившееся  целое уравнение
  1. Исключить из его корней те, которые не входят в ОДЗ

  1. Записать ответ

ОК-8        Алгоритм решения дробного рационального уравнения

Алгоритм

Пример

  1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (разложить на множители знаменатели дробей)

 

  1. Найти ОДЗ (значения, при которых имеет смысл каждая дробь – знаменатель не равен нулю)
  1. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель (найти дополнительные множители каждой дроби)
  1. Решить получившееся целое уравнение
  1. Исключить из его корней те, которые не входят в ОДЗ

  1. Записать ответ



Предварительный просмотр:

Геометрия 7 класс

Глава I.Начальные геометрические сведения.

  1. Геометрия - это наука, изучающая геометрические фигуры.
  2. Основными фигурами на плоскости являются точка и прямая.
  3. I аксиома: Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
  4. II  аксиома: Две прямые либо имеют одну общую точку, либо не имеют их вообще.
  5. Прямая – это линия,  не имеющая ни начала, ни конца.
  6. III  аксиома: Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
  7. Отрезок - это часть прямой, ограниченная двумя точками.
  8. Длиной отрезка называется расстояние между его концами.
  9. IV аксиома: Любой отрезок имеет длину, большую нуля. Если точка делит отрезок на два отрезка, то его длина равна сумме длин этих отрезков.
  10. Середина отрезка - это точка отрезка, делящая его пополам.
  11.  Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
  12. Луч – это часть прямой, имеющая начало, но не имеющая конца.
  13. Угол- это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.
  14. Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.
  15.  V аксиома: Любой угол имеет градусную меру от 0˚ до 180˚. Если луч делит угол на два угла, то его градусная мера равна сумме градусных мер этих углов.
  16. Угол называется развёрнутым, если обе его стороны лежат на одной прямой. Градусная мера развернутого угла равна 180˚.
  17. Угол называется острым, если он больше 0 ˚ , но меньше 90˚.
  18. Угол называется тупым, если он больше 90˚, но меньше 180˚.
  19. Угол называется прямым, если он равен 90˚.
  20. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением одна другой, называются смежными.
  21. Сумма смежных углов равна 180°.
  22. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
  23. Вертикальные углы равны.
  24. Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если при пересечении они образуют четыре прямых угла.
  25. Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

Глава II.Треугольники.

  1. Треугольник- это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.
  2. Два треугольника равны, если элементы (стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.

  1.   Признаки равенства треугольников:
  1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
  2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  1. Перпендикуляром к прямой называется отрезок перпендикулярной прямой, проведённой из точки к прямой, причем его основание является точкой пересечения данных прямых.
  2. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
  3. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.
  4. Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.
  5. Равнобедренным треугольником называется треугольник,  у которого две стороны равны.
  6. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
  7. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
  8. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.

Глава III. Параллельные прямые.

  1. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
  2. Прямая с называется секущей по отношению к прямым а и b, если она пересекает их в двух точках.
  3. Признаки параллельности прямых:
  1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Обратно: если прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Обратно: если прямые параллельны и пересечены секущей, то соответственные углы равны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180º, то прямые параллельны. Обратно: если прямые параллельны и пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180º.
  1. Аксиома – это утверждение, не требующее доказательства.
  2. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую,  параллельную данной,   и притом только одну.

  1. Свойства параллельных прямых:
  1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
  2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они  параллельны.

Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника.

  1. Сумма углов треугольника равна 180º.
  2. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
  3. В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.
  4. Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые, тупоугольным - если один из его углов тупой, прямоугольным – если один из его углов прямой.
  5. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие – катетами.
  6. В треугольнике:
  1. Против большей стороны лежит больший угол.
  2. Обратно: Против большего угла лежит большая сторона.
  1. Неравенство треугольника: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
  2. Свойства прямоугольного треугольника:
  1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
  2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º.
  3. Если острые углы прямоугольного треугольника равны по 45º, то треугольник равнобедренный. Если прямоугольный треугольник равнобедренный, то его острые углы будут равны по 45º.
  4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы. Обратно: если катет прямоугольного треугольного равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30º.
  1.  Признаки равенства прямоугольных треугольников:
  1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
  2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащий к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
  3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
  4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
  1. Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Рабочие программы по математике, алгебре и геометрии в 5-7 классах

Рабочие программы по математике в 5-6 классах по учебнику Виленкин Н.Я.и др. ,разработанные на 170 часов; по алгебре( 102 часа) и геометрии(68 часов)  в 7 классе  по учебникам: Макарычев Ю.Н...

Опорный конспект по математике для 5 класса по теме " Законы сложения и вычитания"

Законы сложения и вычитания...

Опорный конспект по математике для учащихся 5 класса по теме "Уравнения"

Опорный конспект содержит объяснение нового материала....

Опорный конспект по математике для учащихся 5 класса по теме "Решение задач с помощью уравнений"

Опорный конспект по математике для учащихся 5 класса по теме: Решение задач с помощью уравнений....

Опорные конспекты по математике 6 класс

В данной работе представлены опорные конспекты по некоторым темам курса математики 6 класса...

Опорные конспекты по математике 5 класс

Опорные конспекты помогают обобщить и систематизировать знания учащихся по темам: «Начальные геометрические сведения», «Доли и дроби», «Площадь и объем», «Десятичные дроби», «Задачи на части и на проц...

Опорный конспект к задачам ОГЭ по геометрии 9 класс

Опорный конспект к задачам  ОГЭ по геометрии 9 класс...