Проект "Золотое сечение" Гладков Иван, 9 класс, 2022
проект по математике (9 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Еткульская средняя общеобразовательная школа»

Проект

Золотое сечение

Выполнил

Ученик 9 Б класса

 МБОУ «Еткульская СОШ»

 Гладков Иван

Наставник

 учитель математики

 Турукина Елена Владимировна

Еткуль, 2022 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение……………………………………………………………....3-4

Основная часть…………………………………………………….…5-12

Глава 1 История. ………………………………………………………………5-7

Глава 2 Математические свойства. ………………………………………….8-10

Глава 3 Золотое сечение в науке, жизни и искусстве. …………………….11-12

Заключение………………………………………………………….….13

Литературные источники и Интернет-ресурсы………………………14

Приложения…………………………………………………………….15

ВВЕДЕНИЕ

Золотое сечение (золотая пропорция, иначе: деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление) — наилучшее, единственное в своём роде отношение частей и целого, при котором отношения частей между собой и каждой части к целому равны. Такие отношения наблюдаются в природе, в науке и искусстве. На «золотых отрезках» основываются различные системы и способы пропорционирования в архитектуре. Соотношение двух величин a и b, при котором бо́льшая величина относится к меньшей так же, как сумма этих величин к бо́льшей, то есть: a/b=a+b/a является универсальным. Отсюда название, которое впервые появилось в эпоху Возрождения, в частности в трактате францисканского монаха, математика Луки Пачоли Божественная пропорция (лат. De Divina Proportione (1509), но закономерность подобных отношений была известна гораздо раньше: в Древней Месопотамии, Египте и античной Греции.

Исторически в древнегреческой математике золотым сечением именовалось деление отрезка AB точкой C на две части так, что бо́льшая часть относится к меньшей, как весь отрезок к большей: BC/AC=AB/BC. Это понятие было распространено на произвольные величины.

Число, равное отношению a/b, обычно обозначается прописной греческой буквой Phi  (фи), в честь древнегреческого скульптора и архитектора Фидия, реже — греческой буквой tau  (тау).

В следующей части я постараюсь всё рассказать и объяснить.

Цель- Рассказать о золотом сечение и создать буклет.

 Задачи проекта:

1. Познакомиться с золотом сечением.
2. Создать буклет с кратким описанием всей темы.
3. Представить собранный материал в виде реферата, презентации и выступления.

            Продукт проекта:

 Буклет – лист А4 сложенный трижды, с кратким описанием всего проекта.

Методы поиска и сбора информации, создание творческих композиций, выводы и обобщения по проекту.

Этапы работы над проектом:

1. Начальный- сбор материалов.
2. Промежуточный-анализ собранного материала и систематизация всей полученной информации;

Итоговый- оформление продукта проекта и обобщение результатов и выводов в реферате и презентации. Публикация опыта и защита его.

Глава 1. История

В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении (ἄκρος καὶ μέσος λόγος) впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника.

Лука Пачоли, современник и друг Леонардо да Винчи, усматривал в этой пропорции «божественную суть», выражающую триединство Бога Отца, Сына и Святого Духа.

Неизвестно точно, кто и когда именно впервые ввёл в обращение термин «золотое сечение». Несмотря на то, что некоторые авторитетные авторы связывают появление этого термина с Леонардо да Винчи в XV веке или относят появление этого термина к XVI веку, самое раннее употребление этого термина находится у Мартина Ома в 1835 году, а именно в примечании ко второму изданию его книги «Чистая элементарная математика», в котором Ом пишет, что это сечение часто называют золотым сечением (нем. goldener Schnitt). Из текста этого примечания следует, что Ом не придумал этот термин сам, хотя некоторые авторы утверждают обратное. Тем не менее, исходя из того, что в первом издании своей книги Ом уже не употреблял этот термин, Роджер Герц-Фишлер делает вывод о том, что этот термин, возможно, появился в первой четверти XIX века. Марио Ливио считает, что он получил популярность в устной традиции около 1830 года. В любом случае именно после Ома термин стал распространён в немецкой математической литературе. 

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» даётся геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвящённым.

В средние века пентаграмма подверглась демонизации (как, впрочем, и многое, что почиталось божественным в античном язычестве) и нашла приют в оккультных науках. Однако Возрождение вновь выносит на свет и пентаграмму, и золотое сечение. Так, широкое хождение в тот период утверждения гуманизма обрела схема, описывающая строение человеческого тела.

К такой картинке, по сути, воспроизводящей пентаграмму, неоднократно прибегал и Леонардо да Винчи. Её интерпретация: тело человека обладает божественным совершенством, ибо заложенные в нём пропорции такие же, как в главной небесной фигуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства.

В 1496 г. по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «О божественной пропорции» (De divina proportione, 1497, изд. в Венеции в 1509 г.) с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Такая пропорция лишь одна, а единственность — высочайшее свойство Бога. В ней воплощено святое триединство. Эта пропорция не может быть выражена доступным числом, остаётся скрытой и тайной и самими математиками называется иррациональной (так и Бог не может быть ни определен, ни разъяснён словами). Бог никогда не изменяется и представляет всё во всем и всё в каждой своей части, так и золотое сечение для всякой непрерывной и определённой величины (независимо от того, большая она или малая) одно и то же, не может быть ни изменено, ни по-иному воспринято рассудком. Бог вызвал к бытию небесную добродетель, иначе называемую пятой субстанцией, с её помощью и четыре других простых тела (четыре стихии — землю, воду, воздух, огонь), а на их основе вызвал к бытию всякую другую вещь в природе; так и наша священная пропорция, согласно Платону в «Тимее», даёт формальное бытие самому небу, ибо ему приписывается вид тела, называемого додекаэдром, который невозможно построить без золотого сечения. Таковы аргументы Пачоли.

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотого сечения. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет: «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».

Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведённой через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица — ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, — писал он, — что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

Глава 2. Математические свойства

Phi — иррациональное алгебраическое число, положительное решение квадратного уравнения x^{2}-x-1=0, из которого, в частности, следуют соотношения:

 Phi^2- Phi=1,

Phi*(Phi -1)=1.

Phi представляется через тригонометрические функции (см. «Тригонометрические константы»):

Если угол между диагональю и меньшей стороной прямоугольника, относящейся к большей стороне как 1:2, поделить пополам, то по формуле тангенса половинного угла получится соотношение

Phi представляется в виде бесконечной цепочки квадратных корней:

Phi представляется в виде бесконечной цепной дроби

Подходящими дробями которой служат отношения последовательных чисел Фибоначчи

Таким образом,

Мера иррациональности Phi равна 2.

Отрезание квадрата от прямоугольника, имеющего золотую пропорцию

Отрезав квадрат от прямоугольника, построенного с золотой пропорцией, мы получаем новый, уменьшенный прямоугольник с тем же отношением сторон Phi = a/b, что и у исходного прямоугольника

Продолжая отрезать квадраты против часовой стрелки получим согласно рисунку координаты предельной точки. Более того, это точка будет лежать на пересечении диагоналей первого и второго прямоугольников.

Золотое сечение в пятиконечной звезде

В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится другим отрезком, пересекающим его, в золотом сечении.

 На приведённом рисунке отношения красного отрезка к зелёному, зелёного к синему и синего к пурпурному равны Phi. Кроме того, отношение красного отрезка к расстоянию между любыми соседними вершинами звезды, которое равно зелёному отрезку, также равно Phi.

Построение золотого сечения

Геометрическое построение. Золотое сечение отрезка AB можно построить следующим образом: в точке B проводят перпендикуляр к AB, откладывают на нём отрезок BC, равный половине AB, на отрезке AC откладывают отрезок CD, равный BC, и наконец на отрезке AB откладывают отрезок AE, равный AD (см. приложение 1). Тогда

Другой способ построить отрезок, равный по длине числу золотого сечения

Другой способ построить отрезок, равный по длине числу золотого сечения, — это начертить квадрат ABCD со стороной 1, после этого одну из сторон, например сторону AD, разделить точкой E пополам, так что AE = DE = 1/2, далее от точки B или C до точки E провести гипотенузу треугольника АВЕ или DCE. Согласно теореме Пифагора. Затем провести дугу с центром в точке Е от точки В или точки С до прямой, где лежит сторона АD и точка пересечения где будет называться Н. Стороны BE, СЕ и ЕН равны как радиусы окружности. Так как АН = АЕ + ЕН, то отрезок АН длины Phi  и будет результатом (см. приложение 2).

Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению.

Значения дробной части чисел Phi, 1/Phi и Phi^2 в любой системе счисления будут равны.

где 2n/n — биномиальный коэффициент, тогда как

В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится другим отрезком, пересекающим его, в золотом сечении. На приведённом рисунке отношения красного отрезка к зелёному, зелёного к синему и синего к пурпурному равны Phi. Кроме того, отношение красного отрезка к расстоянию между любыми соседними вершинами звезды, которое равно зелёному отрезку, также равно Phi.

Глава 3. Золотое сечение в науке, жизни и искусстве

Золотое число возникает в разных задачах, в том числе в физике. Например, бесконечная электрическая цепь (см. приложение 3), имеет общее сопротивление (между двумя левыми концами) Ф·r.

Отношение амплитуд колебаний и частот ~ Ф.

Существуют колебательные системы, физические характеристики которых (отношения частот, амплитуд и др.) пропорциональны золотому сечению. Самый простой пример — система из двух шариков, соединённых последовательно пружинами одинаковой жёсткости.

Более сложные примеры механических колебаний и их обобщений рассматриваются в этой же книге, в главе «Обобщения одной простой задачи по механике». В книге приведено много примеров проявления и применения золотого сечения в различных областях наук — небесной механике, физике, геофизике, биофизике, физической химии, биологии, Физиологии.

Золотое сечение тесно связано с симметрией пятого порядка, наиболее известными трёхмерными представителями которой являются додекаэдр и икосаэдр (см. приложение 4). Можно сказать, что всюду, где в структуре проявляются додекаэдр, икосаэдр или их производные, там в описании будет появляться и золотое сечение. Например, в пространственных группировках из Бора: В-12, В-50, В-78, В-84, В-90, …, В-1708, имеющих икосаэдрическую симметрию. Молекула воды, у которой угол расхождения связей Н-О равен 104.70 то есть близок к 108 градусам (угол в правильном пятиугольнике), может соединяться в плоские и трехмерные структуры с симметрией пятого порядка. Так в разреженной плазме был обнаружен Н+(Н20)21, который представляет из себя ион Н30+, окруженный 20 молекулами воды, расположенными в вершинах додекаэдра. В 80-х годах XX века были получены клатратные соединения, содержащие гексааквакомплекс кальция, окруженный 20 молекулами воды, расположенными в вершинах додекаэдра. Есть и клатратные модели воды, в которых обыкновенная вода отчасти состоит из молекул воды, соединённых в структуры с симметрией пятого порядка. Такие структуры могут состоять из 20, 57, 912 молекул воды.

Некоторые из утверждений в доказательство гипотезы знания древними правила золотого сечения:

Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют о том, что при их создании египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения.

По мнению Ле Корбюзье, в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют золотому сечению. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д. При обсуждении оптимальных соотношений сторон прямоугольников (размеры листов формата A, размеры фотопластинок (6:9, 9:12) и кадров фотоплёнки (часто 2:3), размеры кино- и телевизионных экранов — в частности, 4:3 или 16:9) были рассмотрены самые разные варианты. Оказалось, что большинство людей не воспринимает золотое сечение как оптимальное и считает его пропорции «слишком вытянутыми».

Следует отметить, что сама пропорция является, скорее, эталонным значением, матрицей, отклонения от которой у биологических видов, возможно, вызваны приспособлением к окружающей среде в процессе жизни. Примером таких «отклонений» может служить морская камбала.

Один из типов мозаики Пенроуза

Примеры сознательного использования

Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения». Российский зодчий И. В. Жолтовский использовал золотое сечение в своих проектах. Иоганн Себастьян Бах в своей трёхголосной инвенции E-dur № 6 BWV 792 использовал двухчастную форму, в которой соотношение размеров частей соответствует пропорциям золотого сечения. 1 часть — 17 тактов, 2 часть — 24 такта (небольшие несоответствия выравниваются за счёт ферматы в 34 такте).

Современными примерами применения золотого сечения может служить мозаика Пенроуза и пропорции государственного флага Того.

Примером творческого подхода к решению задач композиции, проявления воли художника, его умения подчинить законы и приемы композиции выявлению содержания картины, с одной стороны, и подчиненность законам зрительного восприятия, с другой, может быть картина «Зимний пейзаж», а также картина Айвазовского «Тонущий корабль». В картине «Автопортрет с жемчужной раковиной» главное действующее лицо — выделено светом, цветом и размещено на линии золотого сечения. В картине -Мусатова «Автопортрет с сестрой» два главных действующих лица — четырнадцатилетняя Елена и сам художник, а линия золотого сечения проходит между ними.

Но, не геометрическая пропорция ведает ритмическим строем картины, а идея, содержание выбирает себе формат, ритм, пропорции и размер холста. Когда в картине чувствуется ритм жизни, биение сердца художника, зритель воспринимает изображение как что-то ему родственное, близкое. Он переживает чувство узнавания, радости, сопричастности чуду живописи, восхищения мастерством художника.

Напрашивается парадоксальный вывод: чередование одних и тех же величин ряда золотой пропорции, подчиненное выражению содержания произведения, дает каждый раз иной своеобразный зрительный эффект. Независимо от того, строил ли художник картину в прямой или в обратной перспективе, изображал реальное или ирреальное событие, но если композиционно-ритмический строй картины осуществлялся по пропорциям золотого сечения (нисходящему ряду величин от высоты или ширины картины), то всякий раз возникает новое ощущение и восприятие изображенного. Примером этому являются картины: «Гумно», Брюллов «Последний день Помпеи», Суриков «Переход Суворова через Альпы».

Заключение

В ходе своей работы я узнал много нового, объяснение гармонии в  природе, архитектуре и окружающем мире, сумел достичь цели своего проекта. Узнал, в чем заключается понятие золотое сечение и то что оно представляет, сделал буклет и представил собранный мною материал в виде реферата, презентации и выступления.

Литературные источники и Интернет-ресурсы

Аракелян Г. Б. Математика и история золотого сечения. — М.: Логос, 2014, 404 с. — ISBN 978-5-98704-663-0.

Бендукидзе А. Д. Золотое сечение «Квант» № 8, 1973

Васютинский Н. А. Золотая пропорция. — М.: Молодая гвардия, 1990. — 238[2]c. — (Эврика).

Власов В. Г. Золотое сечение, или Божественная пропорция // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства: В 10 т. — Т.3. — СПб.: Азбука-Классика, 2005. — С.725-732.

Власов В. Г. Приемы гармонизации пространства в классической архитектуре // Власов В. Г. Искусство России в пространстве Евразии. — Т.3. Классическое искусствознание и «русский мир». — СПб.: Дмитрий Буланин, 2012. — С.156-192.

Мазель, Л.А. Опыт исследования золотого сечения в музыкальных построениях в свете общего анализа форм // Музыкальное образование. — 1930. — № 2. — С. 24-33.

Сабанеев Л. Л. Этюды Шопена в освещении закона золотого сечения. Опыт позитивного обоснования законов формы // Искусство. — 1925. — № 2. — С. 132—145; 1927. — № 2-3. — С. 32-56.

Шмигевский Н. В. Формула совершенства // Страна знаний. — 2010. — № 4. — С.2-7.

Mario Livio. The Golden Ratio: The Story of PHI, the World's Most Astonishing Number. — Crown/Archetype, 2008. — 303 с. — ISBN 9780307485526. Русский перевод в

Марио Ливио. φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания. — Litres, 2015-04-17. — 481 с. — ISBN 9785457762732.

Roger Herz-Fischler. A Mathematical History of the Golden Number. — Courier Corporation, 2013. — 228 с. — ISBN 9780486152325.

Приложения

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Додекаэдр                                                                        Икосаэдр.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Еткульская средняя общеобразовательная школа»

Золотое сечение

Выполнил
  ученик 9 Б класса
МБОУ «Еткульская СОШ»

Гладков Иван

Золотое сечение

 (Золотая пропорция, иначе: деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление) — наилучшее, единственное в своём роде отношение частей и целого, при котором отношения частей между собой и каждой части к целому равны. Такие отношения наблюдаются в природе, в науке и искусстве. На «золотых отрезках» основываются различные системы и способы пропорционирования в архитектуре.

История

Неизвестно точно, кто и когда именно впервые нашёл «золотое сечение».  Но именно Леонардо да Винчи дал этому соотношению название.

Золотое сечение в жизни и искусстве

Математические свойства

Золотым сечением именовалось деление отрезка AB точкой C на две части так, что бо́льшая часть относится к меньшей, как весь отрезок к большей: .

Обычно обозначается прописной греческой буквой (фи).

— иррациональное алгебраическое число, положительное решение квадратного уравнения .

Геометрическое построение. Золотое сечение отрезка AB можно построить следующим образом: в точке B проводят перпендикуляр к AB, откладывают на нём отрезок BC, равный половине AB, на отрезке AC откладывают отрезок CD, равный BC, и наконец на отрезке AB откладывают отрезок AE, равный AD. Тогда:

=1,618