проект "Вероятность сдачи ОГЭ по математике без подготовки"
проект по математике (9 класс)

Орехово-Зуевский городской округ

МОУ Кабановская СОШ

Проект

ВЕРОЯТНОСТЬ СДАЧИ ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

БЕЗ ПОДГОТОВКИ

Автор: Баранкина Александра,  9 класс

Научный руководитель:

Мурылева М.В.,

учитель математики.

 2021-2022 уч. год

Оглавление

Введение…………………………………………………………………………..3

Глава  I.

1. История возникновения теории вероятности……………………………...5

1.2  Средневековая Европа и начало Нового времени………………………….6

1.3. Теория вероятностей…………………………………………………………7

1.4. Применение теории вероятности……………………………………………9

1.4.1. Применение теории вероятности в астрономии………………………….9

1.4.2. Применение теории вероятности в физике……………………………….9

1.4.3. Применение теории вероятности в биометрии………………………….10

1.4.4. Применение теории вероятности в сельском хозяйстве………………..10

1.4.5. Применение теории вероятности в промышленности………………….10

1.4.6. Применение теории вероятности в медицине…………………………..11

1.4.7. Применение теории вероятности в экономике и банковском деле……11

Глава II.

2.1. ОГЭ как пример использования теории вероятностей жизни…………...11

2.1.1. Первый этап практического исследования «Опрос одноклассников»...12

2.1.2. Второй этап практического исследования «Анализ успеваемости девятиклассников»………………………………………………………………12

2.1.3. Четвертый этап практического исследования «Расчет вероятности сдачи ОГЭ по формуле Бернули»………………………………………………13

2.2. Памятка «Сдать ОГЭ на 5? Легко!»………………………………………..14

Заключение…………………………………………………………………...…15

Список литературы…………………………………………………………….16

Приложения

Введение

«Без учёта влияния случайных явлений

человек становится бессильным

управлять развитием интересующих его процессов

в желательном для него направлении»

Б.В.Гнеденко

Актуальность. В этом учебном  году нам предстоит сдавать основной государственный экзамен. И главные герои предстоящего ОГЭ мы – нынешние девятиклассники. К сожалению, большинство ребят не понимают сложности предстоящего испытания. Чем выше у наших одноклассников успеваемость, тем больше у них ложной самоуверенности: «Я все сдам и так, у меня же пятерка по математике, русскому и т. д.». Среди наших ребят есть и такие. Школьники не осознают, насколько это важно - успешно сдать экзамены, поэтому не уделяют должного внимания подготовке, надеясь на случайный фактор. Однако, мы считаем, что процедура прохождения ОГЭ – деятельность сложная, отличающаяся от привычного опыта учеников и предъявляющая особые требования к уровню подготовки.

Почему при одинаковом уровне знаний одни сдают экзамены лучше, чем другие? В чем могут быть причины? «Везение, удача», – думают некоторые не только школьники, но и их родители. Не только, и не столько!

Проблема. Четвертую четверть седьмого класса  мы обучались дистанционно. Большинство наших сверстников не усваивали материал и у них сейчас по предметам возникают проблемы. Поэтому мы засомневались «Сможем, ли мы сдать ОГЭ на нужную оценку, или нет?» и «Возможно ли сдать ОГЭ по математике без подготовки?»

Случай – с ним мы встречаемся повседневно. Кажется, как можно «предвидеть» наступление случайного события? Ведь оно может произойти, а может и не сбыться! Но математика нашла способы оценивать вероятность наступления случайных событий. Они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.

В 9 классе мы только в конце учебного года будем изучать случайные величины и вычисление вероятности, но мы захотели уже сейчас рассмотреть их подробнее и ответить на заданные нами вопросы.

Гипотеза вероятность угадать верные ответы на ОГЭ очень мала, а значит практически невозможно сдать экзамен без подготовки.

Объект исследования: теория вероятностей.

Предмет исследования: практическое применение теории вероятностей.

Цель исследовательской работы: выявление вероятности успешной сдачи экзамена по математике в 9 классе путем угадывания правильного ответа, применяя теорию вероятностей.

Задачи:

1. собрать, изучить и систематизировать материал о теории вероятностей, воспользовавшись различными источниками информации;
2. рассмотреть использование теории вероятности в различных сферах жизнедеятельности;
3. провести опрос среди учеников 9-х классов;
4. провести исследование по определению вероятности получения; положительной оценки при сдаче ОГЭ путем угадывания правильного ответа;
5. проанализировать полученные данные сделать выводы.

Методы исследования:  

1. анализ теоретической литературы;
2. математические расчеты;
3. опрос;
4. эксперимент;
5. сопоставление полученных данных

Новизна исследования состоит в том, что в нашей школе еще никто не определял вероятность сдачи ОГЭ по математике без подготовки, а простым путем угадывания ответов.

Практическая значимость состоит в том, что наша работа может служить стимулом для сверстников к более ответственной подготовке к предстоящим экзаменам. Кроме этого мы  рассматриваем возможность использования нашего  материала на уроках алгебры, как примера применения вероятности на практике. На классных часах, для повышения ответственности при подготовке к экзамену, мы познакомили с результатами исследования своих одноклассников и ребят из параллельного класса. Считаем, что трансляция нашего материала для широкой аудитории - это наш практический вклад в решение проблемы низкой мотивации учащихся к подготовке к ОГЭ.

Глава  I.

1. История возникновения теории вероятности

Французский дворянин, некий господин де Мере, был азартным игроком в кости и страстно хотел разбогатеть. Он затратил много времени, чтобы открыть тайну игры в кости. Он выдумывал различные варианты игры, предполагая, что таким образом приобретет крупное состояние. Так, например, он предлагал бросать одну кость по очереди 4 раза и убеждал партнера, что по крайней мере один раз выпадет при этом шестерка. Если за 4 броска шестерка не выходила, то выигрывал противник.

В те времена еще не существовала отрасль математики, которую сегодня мы называем теорией вероятностей, а поэтому, чтобы убедиться, верны ли его предположения, господин Мере обратился к своему знакомому, известному математику и философу Б. Паскалю с просьбой, чтобы он изучил  два знаменитых вопроса: первый из которых он попытался решить сам.

Блез Паскаль  

 Вопрос был такой: «Сколько раз надо бросать две игральные кости, чтобы случаев выпадения сразу двух шестерок было больше половины от общего числа бросаний. Паскаль не только сам заинтересовался этим, но и написал письмо известному математику П. Ферма, чем спровоцировал его заняться общими законами игры в кости и вероятностью выигрыша.

Таким образом, азарт и жажда разбогатеть дали толчок возникновению новой чрезвычайно существенной математической дисциплины: теории вероятностей.

1.2  Средневековая Европа и начало Нового времени

В обширной математической энциклопедии «Сумма арифметики, геометрии, отношений и пропорций» итальянца Луки Пачоли (1494) содержатся оригинальные задачи на тему: как разделить ставку между двумя игроками, если серия игр прервана досрочно.

Крупный алгебраист XVI века Джероламо Кардано посвятил анализу игры содержательную монографию «Книга об игре в кости» (1526 год, опубликована посмертно). Кардано провёл полный и безошибочный комбинаторный анализ для значений суммы очков и указал для разных событий ожидаемое значение доли «благоприятных» событий. Кардано сделал проницательное замечание: реальное количество исследуемых событий может при небольшом числе игр сильно отличаться от теоретического, но чем больше игр в серии, тем доля этого различия меньше. По существу, Кардано близко подошёл к понятию вероятности: итак, имеется одно общее правило для расчёта: необходимо учесть общее число возможных

выпадений и число способов, которыми могут появиться данные выпадения,

а затем найти отношение последнего числа к числу оставшихся возможных выпадений.

Исследованием данной темы занимался и Галилео Галилей, написавший трактат «О выходе очков при игре в кости» (1718 год, опубликован посмертно).

Галилео Галилей

Изложение теории игры у Галилея отличается исчерпывающей полнотой и ясностью. В своей главной книге «Диалог о двух главнейших системах мира, Птолемеевой и Коперниковой». Галилей также указал на возможность оценки погрешности астрономических и иных измерений, причём заявил, что малые ошибки измерения вероятнее, чем большие, отклонения в обе стороны равновероятны, а средний результат должен быть близок к истинному значению измеряемой величины. Эти качественные рассуждения стали первым в истории предсказанием нормального распределения ошибок.

В разработке основ теории вероятности принимали участие математики такого масштаба, как Паскаль и Ферма, Гюйгенс (1629—1695), который написал тракта «О расчетах при азартных играх», Яков Бернулли (1654—1705), Муавр (1667—1754), Лаплас (1749— 1827), Гаусс (1777—1855) и Пуассон (1781—1840)

Пьер Ферма

 В наше время теория вероятности используется почти во всех отраслях знаний: в статистике, синоптике (прогноз погоды), биологии, экономике, технологии, строительстве и т. д.

1.3. Теория вероятностей

При изучении явлений, мы проводим эксперименты, в ходе которых происходят различные события. В них различают: достоверные, случайные, невозможные, равновероятные.

Событие U называют достоверным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие U обязательно произойдет. Например, достоверным будет появление одного из шести чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 при одном бросании игральной кости.

Событие  называют случайным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания оно может произойти, а может и не произойти. Например, при однократном бросании игральной кости может выпасть число 1 или не выпасть, т.е. событие является случайным.

Равновероятные события – это события, которые при данных условиях имеют одинаковые шансы для наступления.

Вероятность события А обозначается буквой Р(А) формула записывается так: Р(А)= m/n, где m ≤n. Из формулы следует, что 0≤ Р(А)≤ 1.

Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов m, благоприятствующих событию А, к числу исходов n всех исходов испытания – классическое определение вероятности.

Классическое определение вероятности используется для выявления благоприятных исходов теоретическим путем.

Но встречаются случаи, когда без практики определить число благоприятных исходов невозможно. Например, без многократного подбрасывания  кнопки, трудно определить, равновозможны ли ее падения на «на плоскость» или на «острие». В таких случаях используется статистическое определение вероятности.

Статистическая вероятность (частота, относительная частота)  – это отношение числа испытаний, в которых событие появилось к общему числу фактически произведенных испытаний.

Формула Бернулли - это формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях.

Чтобы найти каковы шансы наступления события А в данной ситуации, необходимо:

найти общее количество исходов этой ситуации;

найти количество возможных исходов, при которых произойдёт событие А;

найти, какую часть составляют возможные исходы от общего количества исходов. 

1.4. Применение теории вероятности

В 19 и 20 столетиях теория вероятностей проникает сначала в науку (астрономию, физику, биологию), потом в практику (сельское хозяйство, промышленность, медицину), и наконец, после изобретения компьютеров, в повседневную жизнь любого человека, пользующегося современными средствами получения и передачи информации. Проследим применение в различных областях.

1.4.1. Применение теории вероятности в астрономии

Именно для использования в астрономии был разработан знаменитый “метод наименьших квадратов” (Лежандр 1805, Гаусс 1815). Главной задачей, для решения которой он был первоначально использован, стал расчет орбит комет, который приходилось производить по малому числу наблюдений. Ясно, что надежное определение типа орбиты (эллипс или гипербола) и точный расчет ее параметров оказывается трудным, так как орбита наблюдается лишь на небольшом участке. Метод оказался эффективным, универсальным, и вызвал бурные споры о приоритете. Его стали использовать в геодезии и картографии. Сейчас, когда искусство ручных расчетов утрачено, трудно представить, что при составлении карт мирового океана в 1880-х годах в Англии методом наименьших квадратов была численно решена система, состоящая из примерно 6000 уравнений с несколькими сотнями неизвестных.

1.4.2. Применение теории вероятности в физике

Во второй половине 19 века в работах Максвелла, Больцмана и Гиббса была развита статистическая механика, которая описывала состояние разряженных систем, содержащих огромное число частиц (порядка числа Авогадро). Если раньше понятие распределения случайной величины было преимущественно связано с распределением ошибок измерения, то теперь распределенными оказались самые разные величины – скорости, энергии, длины свободного пробега.

1.4.3. Применение теории вероятности в биометрии

В 1870-1900 годах бельгиец Кетле и англичане Френсис Гальтон и Карл Пирсон основали новое научное направление – биометрию, в которой впервые стала систематически и количественно изучаться неопределенная изменчивость живых организмов и наследование количественных признаков. В научный оборот были введены новые понятия – регрессии и корреляции.

Итак, вплоть до начала 20 века основные приложения теории вероятности были связаны с научными исследованиями. Внедрение в практику – сельское хозяйство, промышленность, медицину произошло в 20 веке.

1.4.4. Применение теории вероятности в сельском хозяйстве

В начале 20 века в Англии была поставлена задача количественного сравнения эффективности различных методов ведения сельского хозяйства. Для решения этой задачи была развита теория планирования экспериментов, дисперсионный анализ. Основная заслуга в развитии этого уже чисто практического использования статистики принадлежит сэру Рональду Фишеру, астроному по образованию, а в дальнейшем фермеру, статистику, генетику, президенту английского Королевского общества. Современная математическая статистика, пригодная для широкого применения в практике, была развита в Англии (Карл Пирсон, Стьюдент, Фишер). Стьюдент впервые решил задачу оценки неизвестного параметра распределения без использования байесовского подхода.

1.4.5. Применение теории вероятности в промышленности

Введение методов статистического контроля на производстве (контрольные карты Шухарта). Сокращение необходимого количества испытаний качества продукции. Математические методы оказываются уже настолько важными, что их стали засекречивать. Так книга с описанием новой методики, позволявшей сократить количество испытаний (“Последовательный анализ” Вальда), была издана только после окончания второй мировой войны в 1947 году.

1.4.6. Применение теории вероятности в медицине

Широкое применение статистических методов в медицине началось сравнительно недавно (вторая половина 20 века). Развитие эффективных методов лечения (антибиотики, инсулин, эффективная анестезия, искусственное кровообращение) потребовало достоверных методов оценки их эффективности. Возникло новое понятие “Доказательная медицина”.

С середины 1980-х годов возник новый и важнейший фактор, революционизировавший все приложения теории вероятностей – возможность широкого использования быстрых и доступных компьютеров. Почувствовать всю громадность произошедшего переворота можно, если учесть, что один современный персональный компьютер превосходит по быстродействию и памяти все компьютеры СССР и США, имевшиеся к 1968 году, времени, когда уже были осуществлены проекты, связанные со строительством атомных электростанций, полетами на Луну, созданием термоядерной бомбы.

1.4.7. Применение теории вероятности в экономике и банковском деле

Широкое применение имеет теория риска. Теория риска есть теория принятия решений в условиях вероятностной неопределенности. С математической точки зрения она является разделом теории вероятностей, а приложения теории риска практически безграничны. Наиболее продвинута финансовая область приложений: банковское дело и страхование, управление рыночными и кредитными рисками, инвестициями, бизнес-рисками, телекоммуникациям. Развиваются и нефинансовые приложения, связанные с угрозами здоровью, окружающей среде, рисками аварий и экологических катастроф, и другими направлениями.

Глава II.

2.1. ОГЭ как пример использования теории вероятностей жизни

Среди учеников часто возникает вопрос: «А нельзя ли выбрать наугад ответ и при этом получить положительную оценку за экзамен?»

Ответить на этот вопрос можно путем использования теории вероятностей. Мы хотим проверить это на примере обязательных для сдачи ОГЭ предметов математики.

Наше исследование состоит из четырех этапов.

2.1.1.Первый  этап практического исследования

«Опрос учащихся  9 классов»

В опросе приняли участие  15 учащихся 9 «А» класса и 8 учащихся 9 «Б» класса.

На первом этапе нашего исследования мы провели опрос среди  одноклассников:

 «Как вы считаете, можно ли сдать экзамен, по математике, без подготовки методом угадывания?»

Результат: 2 ребят из 16 (9 «А» класс) считают, что таким способом можно сдать  математику. В 9 «Б» классе так никто не считает.

Следующий вопрос: «Готовитесь ли вы дополнительно для сдачи ОГЭ по математике?»

Результат: все учащиеся обоих классов ответили, что они к экзамену по математике дополнительно  готовятся.

Таким образом, 92% учащихся 9-ых классов уверены, что готовиться к экзамену по математике необходимо, но все-таки 8% ребят надеются, что имея хорошие знания за прошлые классы можно обойтись без подготовки. Уверены, что после того, как мы познакомили наших одноклассников с результатами своей работы, они изменят свое мнение о подготовке к ОГЭ.

2.1.2. Второй этап практического исследования

«Анализ успеваемости девятиклассников»

Далее мы проанализировали оценки за тренировочные  работы  по математике у девятиклассников.

Результат: 44 % учащихся 9 «А» класса и 25% 9 «Б» не справляются  с тренировочными работами. Некоторые  учащиеся пишут  пробные ОГЭ по математике хуже, чем они пишут текущие контрольные работы. 

2.1.3. Третий этап практического исследования

«Расчет вероятности сдачи ОГЭ по формуле Бернули»

Первая часть экзаменационной работы по математике состоит из 19  заданий.  С выбором ответа предложено пять заданий. Каждое задание имеет 4 варианта ответов, один из которых правильный. Чтобы сдать экзамен, нужно набрать не менее 8 баллов. Мы решили убедиться в этом и определить вероятность получения положительной оценки на экзамене можно по формуле Бернулли.

Каждый вопрос имеет 4 варианта ответа, поэтому вероятность ответить правильно у нас равна 1/4, а ответить не правильно 1-1/4=3/4

Сначала запишем формулу числа сочетаний

С8(5) = 8!/3!*5! = 56

Подставим ее в формулу Бернулли и вычислим Вероятность угадывания всех правильных ответов:

Р8(5)= 56* ¼5 *3/43 = 56*1/1024*81/64 = 567/8192 = 0,06921387

Умножим на 100% = 6% - вероятность угадать ответы в этих 5 вопросах.

Но по классической вероятности, даже, если угадать правильные ответы во всех 5 вопросах получим 5/8 = 0,16

Значит, вероятность сдать ОГЭ очень мала.

Результат: вероятность сдать ОГЭ по математике равна 0,06921387, а это еще раз подтверждает то, что без подготовки, только методом угадывания экзамен по математике сдать невозможно.

2.2. Памятка «Сдать ОГЭ на 5? Легко!»

Проанализировав результаты исследования, мы разработали для наших одноклассников и ребят из параллельного класса в помощь в подготовке к ОГЭ памятку «Сдать ОГЭ на 5? Легко!»

1. Распределить все предметы, подлежащих сдачи ОГЭ, между днями недели для отработки тестов, используя средства  интернета.
2. Привлечь к контролю родителей.
3. Изучать новый материал на уроках и закреплять дома.
4. Выполнять домашние задания, которые дают учителя для подготовки к экзаменам.
5. По мере возможности записаться на курсы по подготовке к ОГЭ.
6. Закреплять свою память.
7. Выполнять режим дня (чередование умственной деятельности с отдыхом).
8. Изучать теоретический и практический материал регулярно и в системе, а не только перед экзаменом.

Заключение

В своей работе мы привели неопровержимые доказательства нашей гипотезы: «Вероятность угадать верные ответы на ОГЭ очень мала, а значит практически невозможно сдать экзамен без подготовки»

Как оказалось, большинство наших одноклассников  осознают, что получить хорошую оценку за экзамен можно только при систематической подготовке. Считаем, что они правы.

Но все- таки 8% девятиклассников  надеются, что им удастся списать ответы на задания.

Вероятность сдачи ОГЭ только методом «наугад» ничтожно мала и равна 0,06921387

Проводя исследование по данной теме мы:

1. Изучили теоретический материал. Понятия, которые были нам необходимы для нашей работы, мы нашли в ВИКИПЕДИИ.
2. Провели опрос среди учащихся 9-ых классов по данной теме.
3. Произвели расчеты  вероятности сдачи экзамена при наличии ответов по выбору (при условии, если все ответы  с их выбором  будут правильными).
4. Составили список путей выхода из проблемной ситуации.
5. Познакомили одноклассников с результатами нашего исследования.
6. Попросили классных руководителей донести информацию до родителей (законных представителей).

Уверены, что после того, как мы познакомили наших одноклассников с результатами своей работы, они изменят свое мнение о подготовке к ОГЭ. Наша работа принесет пользу всем: обучающимся, родителям, учителям.

Таким образом, мы считаем, что цель исследования, которую мы перед собой ставили, нами достигнута и все задачи выполнены.

Список литературы

1) Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 9 класс. М: Вентана- Граф, 2018 г., 167 - 180 стр.

2) Л. Молдинов «Как случай управляет нашей жизнью», издательство «Гаятри», 2008г., 350 стр.

3) И. В. Ященко «36 вариантов», издательство "Национальное образование", 2020г.

4) И. В. Ященко, Л. О. Рослова и др. «3000 задач с ответами. Все задания части 1», издательство "Экзамен", 2020г.

5) М.Е. Жуковский, И.В. Родионов. «Основы теории вероятностей», учебное пособие, М.: МФТИ, 2015г. – 82 с.

Интернет источники

6) https://ru.wikipedia.org/wiki/

7)https://nsportal.ru/

8) http://www.mathprofi.ru/nezavisimye_ispytanija_i_formula_bernulli.html

Приложение 1

Это нужно знать для  сдачи ОГЭ по математике.

Перевод баллов в оценку

На тройку: 

8 – 14 баллов (минимум 2 за геометрию)

“ХОРОШО”:

15 – 21 балл (минимум 2 за геометрию)

“ОТЛИЧНО”: 

22 – 31 балл (минимум 2 за геометрию)

     За первую часть можно набрать 19 баллов, за вторую – 12. Только вот набирать первой частью в разы проще. Вот вам и готовый ответ на вопрос, почему стоит постараться решить ее на максимум. 

Приложение 2

Примеры экзаменационных задач на вычисление вероятности.

Задание 1

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 1 раз.
Решение.

Всего возможны четыре исхода: решка-решка, решка-орёл, орёл-решка, орёл-орёл. Орёл выпадает ровно один раз в двух случаях, поэтому вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз равна ½.

 Ответ: 0,5.

Задание 2

Из 1400 новых карт памяти в среднем 56 неисправны. Какова вероятность того, что случайно выбранная карта памяти исправна?
Решение.

Вероятность того, что выбранная карта будет неисправной равна  Поэтому вероятность того, что случайно выбранная карта памяти исправна, равна 1 − 0,04 = 0,96.

Ответ: 0,96.

Задание 3

Стрелок 3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что стрелок первые 2 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся.
Решение.

Вероятность того, что стрелок промахнётся равна 1 − 0,8 = 0,2. Вероятность того, что стрелок первые два раза попал по мишеням равна 0,82 = 0,64. Откуда, вероятность события, при котором стрелок сначала два раза попадает в мишени, а третий раз промахивается равна 0,64 · 0,2 = 0,128.

 Ответ: 0,128.

Задание 4

Коля выбирает трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 4.
Решение.

Трёхзначные числа — числа от 100 до 999 включительно. Их 900 штук, каждое четвёртое число, начиная со ста делится на 4, поэтому среди данных чисел 225 чисел делится на 4. Следовательно, вероятность выбрать число, делящееся на 4 равна 225/900.

Ответ: 0,25.

Задание 5

На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме «Параллелограмм», равна 0,2. Вероятность того, что это окажется задача по теме «Площадь», равна 0,1. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем.
Решение.

Суммарная вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P=0,2 + 0,1 = 0,3.

 Ответ: 0,3.

Задание 6

На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с вишней. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с вишней.
Решение.

Всего пирожков 4 + 8 + 3 = 15. Поэтому вероятность того, что выбранный пирожок окажется с вишней равна 3/15.

 Ответ: 0,2

Задание 7

Коля наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно оканчивается на 3.
Решение.

Всего есть 90 двузначных чисел (числа от 10 до 99 включительно). Двузначных чисел, оканчивающихся на 3 всего 9. Вероятность случайно выбрать двузначное число, оканчивающееся на 3 равна отношению количества таких двузначных чисел к общему количеству двузначных чисел, то есть 9/90.

 Ответ: 0,1.

Задание 8

У бабушки 20 чашек: 15 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение.

Вероятность того, что чай нальют в чашку с синими цветами равна отношению количества чашек с синими цветами к общему количеству чашек. Всего чашек с синими цветами:  Поэтому искомая вероятность 5/20.

 Ответ: 0,25.

Задание 9

Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 25. Какова вероятность того, что наугад взятый учеником билет имеет номер, являющийся двузначным числом?
Решение.

Всего было подготовлено 25 билетов. Среди них 16 двузначных. Таким образом, вероятность взять билет с двухзначным номером равна 16/25.

 Ответ: 0,64

Задание 10

Миша с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе двадцать четыре кабинки, из них 5 — синие, 7 — зеленые, остальные — красные. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Миша прокатится в красной кабинке.
Решение.

Вероятность того, что подойдет красная кабинка равна отношению количества красных кабинок к общему количеству кабинок на колесе обозрения. Всего красных кабинок: 12. Поэтому искомая вероятность 12/24.

 Ответ: 0,5.

Задание 11

Из 900 новых флеш-карт в среднем 54 не пригодны для записи. Какова вероятность того, что случайно выбранная флеш-карта пригодна для записи?
Решение.

Из 900 карт исправны 900 − 54 = 846 шт. Поэтому вероятность того, что случайно выбранная флеш-карта пригодна для записи равна: .846/900.

 Ответ: 0,94.

Задание 12

В денежно-вещевой лотерее на 100000 билетов разыгрывается 1250 вещевых и 810 денежных выигрышей. Какова вероятность денежного выигрыша?
Решение.

 Вероятность денежного выигрыша равна 810/100000.

Ответ: 0,0081

Задание 13

На экзамене 20 билетов, Сергей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение.

Сергей выучил 20 − 3 = 17 вопросов. Поэтому вероятность того, что ему попадётся выученный билет равна 17/20.

 Ответ: 0,85.

Задание 14

В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.
Решение.

Всего выступает 13 + 2 + 5 = 20 спортсменов. Из них не из России 7 спортсменов. Поэтому вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России равна 7/20.

 Ответ:0,35

Задание 15

Во время вероятностного эксперимента монету бросили 1000 раз, 532 раза выпал орел. На сколько частота выпадения решки в этом эксперименте отличается от вероятности этого события?
Решение.

Всего возможны два исхода эксперимента, выпадению решки удовлетворяет один из них, поэтому вероятность выпадения решки в этом эксперименте равна 1 : 2 = 0,5. Частота выпадения решки в данном эксперименте равна (1000 − 532) : 1000 = 0,468. Поэтому частота выпадения решки в этом эксперименте отличается от вероятности этого события на 0,5 − 0,468 = 0,032.

 Ответ: 0,032.

Задание 16

В каждой пятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Галя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Галя не найдёт приз в своей банке.
Решение.

Вероятность купить банку с призом равна 1/5. Поэтому вероятность вытащить банку без приза равна 4/5.

 Ответ: 0,8.

Приложение 3

Опрос одноклассников

«Как вы считаете, можно ли сдать экзамен, по математике, без подготовки методом угадывания?»

Результат: Опрос прошли 16 учащихся из 9 «А» класс. 2 наших одноклассников считают, что методом угадывания можно сдать экзамен по математике. В 9 «Б» классе все 8 учащихся считают что нельзя сдать экзамен без подготовки.

«Готовитесь ли вы дополнительно для сдачи ОГЭ по математике?»

   Все учащихся обоих классов  готовятся.