Векторная алгебра
презентация к уроку по математике (11 класс)

Слайд 1

Векторы и действия над ними. Скалярное произведение векторов

Слайд 2

1. Векторные и скалярные величины Скалярные (числовыми) величины при выбранной единице измерения вполне характеризуются одним числовым значением: длина, площадь, объем, масса, плотность, температура и т. д. Векторные величины определяются не только числовым значением, но и направлением в пространстве: сила, скорость, ускорение и т. д.

Слайд 3

2. Векторы Любой отрезок прямой имеет две концевые точки. Если одна из них принята за начало отрезка, а другая – за конец, то такой отрезок называется направленным. а Два направленных отрезка считаются равными , если они имеют равные длины, параллельны и направлены в одну сторону. Направленные отрезки с введенным понятием равенства называются векторами. Обозначение: а = АВ, длина вектора |а|=| A В| Нулевой вектор: о = АА А В С D

Слайд 4

3. Сумма векторов Правило треугольника сложения двух векторов Правило параллелограмма сложения двух векторов О А Пусть даны два вектора а и b . Найти сумму векторов. b a Сложение векторов обладает следующими свойствами : 1. Свойство коммутативности: a + b = b + a 2. Свойство ассоциативности: ( a + b ) + c = a + ( b + c )

Слайд 5

3. Сумма векторов Если требуется найти сумму трех или большего числа векторов, то применяют так называемое правиле многоугольника . Пусть даны векторы а, b , с, d и требуется найти их сумму. а + b + c + d = ОА + АВ + ВС + С D = О D

Слайд 6

4. Разность векторов Два вектора называются противоположными , если их сумма равна нулевому вектору. Обозначение : - а Ненулевые противоположные векторы имеют равные длины и противоположные направления. Чтобы вычесть из вектора а вектор b , достаточно прибавить к вектору а вектор, противоположный вектору b , т.е. а – b = a + (- b)

Слайд 7

5. Произведение вектора на число Произведением ненулевого вектора а на число m называется вектор, имеющий направление вектора а , если m>0 , и противоположное направление, если m<0 . Длина этого вектора равна произведению длины вектора а на модуль числа m . Обозначение : ma

Слайд 8

6 . Коллинеарные векторы Два ненулевых вектора, направления которых совпадают или противоположны, называются коллинеарными . (Допустим синоним «параллельные векторы) Например : коллинеарны векторы: АВ || С D DA || СВ

Слайд 9

6 . Коллинеарные векторы Теорема (признак коллинеарности ). Для того что­бы вектор а был коллинеарен ненулевому вектору b , необходимо и достаточно, чтобы существовало число k , удовлетворяющее условию: a = kb . Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору

Слайд 10

7. Угол между двумя векторами Углом между двумя направлениями называется величина наименьшего угла между любыми лучами этих направлений с общим началом. По определению угол между двумя направлениями находится в промежутке [0°; 180°]. Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между направлениями этих векторов. Обозначается : (а; b ).

Слайд 11

7. Угол между двумя векторами Если угол между векторами a и b равен 90° , то эти векторы называют перпендикулярными (или ортогональными) и пишут: a  b . Отметим, что: (а; b ) = 0°, когда векторы являются сонаправленными , ( a ; b ) = 180 0 когда векторы противоположнонаправлены Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол между векторами не определен.

Слайд 12

8. Компланарные векторы Вектор АВ назовем параллельным плоскости , если прямая АВ параллельна этой плоскости. Нулевой вектор считается параллельным любой плоскости. Векторы a 1 , а 2 , . . . , а n называются компланарными , если каждый из них параллелен одной и той же плоскости. Любые два вектора всегда компланарны . Очевидно, если три вектора компланарны , то их можно изобразить направленными отрезками, лежащими в одной плоскости

Слайд 13

9. Координаты вектора Даны координаты точек в прямоугольной декартовой системе координат: А( х А ; у А ) и В( х В ; у В ) Тогда длина вектора АВ вычисляются так: Если рассмотреть вектор в пространстве, то формула будет выглядеть следующим образом: AB ( x B -x A ; y B -y A ; z B -z A )

Слайд 14

10. Длина вектора Даны координаты точек в прямоугольной декартовой системе координат: А( х А ; у А ) и В( х В ; у В ) Тогда длина вектора АВ вычисляются так: Если рассмотреть вектор в пространстве, то формула будет выглядеть следующим образом:

Слайд 15

1 1 . Действия над векторами, заданными своими координатами Пусть даны два вектора, заданные своими координатами: а(х 1 ; y 1 ; z 1 ) и b(x 2 ; y 2 ; z 2 ) 1) при сложении двух и большего числа векторов их одноименные координаты складываются: a + b = ( х 1 + x 2 ; y 1 + y 2 ; z 1 + z 2 ) 2) при вычитании векторов их одноименные координаты вычитаются: a - b = ( х 1 - x 2 ; y 1 - y 2 ; z 1 - z 2 ) 3) при умножении вектора на число каждая координата вектора умножается на это число: k*a = (k*x 1 ; k*y 1 ; k*z 1 )

Слайд 16

1 1 . Действия над векторами, заданными своими координатами Пример : Дано: а = ( 3; 4; 6) и в = ( -1; 4; -3) Найти: 1) а + в 3) 5а 2) а – в 4) 2а – 3в Решение : 1) а + в = ( 3 + ( -1); 4 + 4; 6 + (-3)) = ( 2; 8; 3) 2) а – в = (3 - ( -1); 4 - 4; 6 - (-3)) = ( 4; 0; 9) 3) 5а = (5*3; 5*4; 5*6) = (15; 20; 30) 4) 2а – 3в = (2*3; 2*4; 2*6) – (3*(-1); 3*4; 3*(-3)) = = (6; 8; 12) – (-3; 12; -9) = (6 - (-3); 8 – 12; 12 – (-9)) = = (9; -4; 21)

Слайд 17

Скалярное произведение векторов

Слайд 24

Вычислите, какую работу A производит сила (3,4), когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения B(5, -1) в положение C(2, 1).

Слайд 25

Использование скалярного произведения Удобно использовать скалярное произведение векторов для определения углов между прямыми и между прямой и плоскостью. Угол между прямыми Вектор называют направляющим вектором прямой, если он находится на прямой или параллелен этой прямой.

Слайд 26

Векторное произведение