Разработка занятия теме 4.1 Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла для студентов 1 курса специальности 09.02.07 Информационные системы и программирование
учебно-методический материал по математике

ОТКРЫТОЕ ЗАНЯТИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ОУД.11 МАТЕМАТИКА ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ 09.02.07 ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ И ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Тема 4.1 Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла

Тип занятия: усвоение новых знаний

Цели изучения темы:

образовательная:

• рассмотреть понятие единичной окружности;
• рассмотреть понятия синуса, косинуса, тангенса, котангенса произвольного угла, как координат точки единичной окружности;
• сформировать умение определять знаки тригонометрических функций;
• рассмотреть перевод градусной меры измерения углов в радианную и наоборот;
• сформировать умение использовать единичную окружность для определения значений тригонометрических функций;
• сформировать первичные умения и навыки решения задач по теме.

развивающие:

• развивать мышление в процессе выполнения практических заданий;
• развивать умение обобщать, систематизировать, делать вывод;
• развивать наглядно-действенное творческое воображение;
• формировать навыки самооценки и взаимооценки;

воспитательные:

• воспитывать трудолюбие, самостоятельность;
• воспитание дружеского отношения между студентами при проведении занятия;
• формировать устойчивый интерес студентов к профессиональной деятельности.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ

1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

1.  Приветствие
2. Готовность группы к работе
3. Подготовка к изучению нового материала
4. Активизация мыслительной деятельности студентов
5. Постановка темы и цели занятия совместно со студентами

2. ОБЪЯСНЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

1. Единичная окружность
2. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла
3. Область значений тригонометрических функций
4. Знаки тригонометрических функций
5. Радианная мера угла
6. Первичное закрепление материала

3. ПРИМЕНЕНИЕ ЗНАНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

4. САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЗНАНИЙ, УМЕНИЙ И НАВЫКОВ

1. Проверочная работа

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Подведение итогов

2. Домашнее задание

Средства обучения: доска, мел, компьютер, проектор, экран, карточки-задания для проверочной работы.

ХОД ЗАНЯТИЯ

1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

1.  Приветствие
2.  Готовность группы к работе
3.  Подготовка к изучению нового материала

Сегодня с вами на занятии мы приступаем к изучению раздела 4 Основы тригонометрии.

1.3.1 Краткие исторические сведения

Тригонометрия – это греческое слово и в переводе означает измерение треугольников.

Тригонометрия – раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии.

Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (BartholomäusPitiscus, 1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре.

Общепринятые понятия тригонометрии, а также обозначения и определения тригонометрических функций сформировались в процессе долгого исторического развития.    

Тригонометрические сведения были известны древним вавилонянам и египтянам, но основы этой науки заложены в Древней Греции и встречаются уже в III веке до н.э.  в работах великих математиков– Евклида, Архимеда, Апполония Пергского.  

2.  Применение тригонометрии

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела, при измерении расстояний до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, при контроле системы навигации, в теории музыки, акустике, оптике,  электронике, теории вероятностей, статистике, биологии, медицине (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтике, химии,  сейсмологии, метеорологии, океанологии, картографии, архитектуре, экономике, электронной технике, машиностроении, компьютерной графике.

Выходит, что знание и понимание этой темы важно не только для будущей сдачи экзамена по математике, но для освоения и выбранной вами профессии.

4.  Активизация мыслительной деятельности студентов

С тригонометрией вы встречаетесь не впервые. В курсе геометрии 8 класса, вы уже знакомились с понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов прямоугольного треугольника. Давайте вспомним их.

• Что называется синусом острого угла прямоугольного треугольника?

1. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

• Что называется косинусом острого угла прямоугольного треугольника?

2. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

• Что называется тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

3. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

• Что называется котангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

4. Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Итак, синус, косинус, тангенс и котангенс – это некоторые числа, причем для каждого угла свои. Их значение зависит только от величины угла.

Следовательно, синус, косинус, тангенс и котангенс являются функциями угла α и их называют тригонометрическими функциями.

Мы можем их найти по величине угла или наоборот найти величину угла, если нам известно значение одной из этих функций. Для этого существуют специальные таблицы Брадиса. Правда, в настоящее время мы обращаемся к ним редко.

• Откуда возникло название тригонометрических функций?

В 4-5 веках индийский ученый Ариабхата ввел специальный термин джива – «тетива», который при переводе арабских текстов на латынь был заменен синусом, что означает изгиб, кривизна.

Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения, которое означает «дополнительный синус».

Абу-Абдалах, арабский астроном и математик 10 века, наблюдая за солнечными часами, создал первые таблицы таких тригонометрических функций, как тангенс и котангенс, не вводя эти понятия. Сам термин, в переводе с латинского означающий «отрезок касательной» был введен только в 1583 году датским математиком Томасом Финком.

5. Постановка темы и цели занятия совместно со студентами

Угол, который мы рассматривали 00 < α <900.

Обозначается проблема:

• А существуют ли синус, косинус и тангенс углов, больших 90°?

[предположения студентов]

В 18 веке Л.Эйлер дал современное, более общее определение тригонометрических функций, расширив область определения на всю числовую ось.

• Как  будет звучать тема нашего сегодняшнего занятия?

[студенты сами формулируют тему]

Открываем тетради. Записываем тему сегодняшнее занятия: «Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла».

• Но как же определяются синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла? Умеем мы выполнять эти вычисления?

[нет]

• Какова цель нашего занятия?

[научиться вычислять синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла].

Итак, сегодня мы продолжим изучать эти тригонометрические функции, а также познакомимся с тригонометрической окружностью, рассмотрим понятие этих функций с помощью окружности, научимся находить по ней значения функций, их знаки, вспомним основные тригонометрические тождества и разберем, как их применять для решения задач.

2. ОБЪЯСНЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

Для введения тригонометрических функций нам понадобится новая математическая модель - числовая окружность, с которой вы до сих пор не встречались, зато хорошо знакомы с числовой прямой. Напомним, что числовая прямая - это прямая, на которой заданы начальная точка О, масштаб (единичный отрезок) и положительное направление. Любое действительное число мы можем сопоставить с точкой на прямой и обратно.

Но в реальной жизни двигаться приходится не только по прямой. Довольно часто рассматривается движение по окружности.

Вот конкретный пример. Будем считать беговую дорожку стадиона окружностью (на самом деле это, конечно, не окружность, но вспомните, как обычно говорят спортивные комментаторы: «бегун пробежал круг», «до финиша осталось пробежать полкруга» и т.д.), ее длина равна 400 м.

Отмечен старт - точка А. Бегун из точки А движется по окружности против часовой стрелки. Где он будет через 200 м? через 400 м? через 800 м? через 1500 м? А где провести финишную черту, если он бежит марафонскую дистанцию 42 км 195 м?

Через 200 м он будет находиться в точке С, диаметрально противоположной точке А (200 м - это длина половины беговой дорожки, т.е. длина половины окружности). Пробежав 400 м (т.е. «один круг», как говорят спортсмены), он вернется в точку А. Пробежав 800 м (т.е. «два круга»), он вновь окажется в точке А. А что такое 1500 м? Это «три круга» (1200 м) плюс еще 300 м, т.е. 3 четверти Беговой дорожки - финиш этой дистанции будет в точке D.

Рисунок 1 – Беговая дорожка стадиона

По беговой дорожке стадиона можно пробежать или пройти путь любой длины. Значит, любому положительному числу соответствует какая-то точка - «финиш дистанции». Более того, можно и любому отрицательному числу поставить в соответствие точку окружности: просто надо заставить спортсмена бежать в противоположном направлении, т.е. стартовать из точки А не в направлении против, а в направлении по часовой стрелке. Тогда беговую дорожку стадиона можно рассматривать как числовую окружность.

2.1 Единичная окружность

Введем на плоскости прямоугольную систему координат Оxy.

Рассмотрим окружность радиуса =1 с центром в начале координат. Такую окружность называют единичной или тригонометрической окружностью.

• Найдите координаты точек А, В, С, D пересечения с окружности с осями.

Рисунок 2 – Единичная окружность

[ А(1; 0); В(0; 1); С(-1; 0); D(0; -1)]

Сегодня мы узнаем, как по-другому называются абсцисса и ордината точки, лежащей на единичной окружности.

Возьмем точку А (1;0), которая будет двигаться по нашей окружности.

Эту точку можно смещать по окружности, в результате получаем новые точки.

При этом смещение может происходить и по часовой стрелке, и против часовой стрелки на любую величину (как меньше одного оборота, так и больше одного оборота). Углы, полученные поворотом против часовой стрелки, считаются положительными, по часовой стрелке -  отрицательными.

2.2 Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла

Начальное положение, которое занимает наша точка, примем за начало отсчета пути, пройденного точкой по окружности.

Пусть точка двигается против часовой стрелки, то есть в положительном направлении. При движении по окружности она займет положение точки М, которая будет иметь координаты (х; у), так как точка расположена в координатной плоскости. Проведем к этой точке радиус и угол поворота обозначим α.

Значит, положение точки М мы можем задать двумя способами:

1. с одной стороны координатами (х; у), так как точка лежит в координатной плоскости,
2. с другой стороны с помощью угла поворота этой точки вокруг начала координат.

И если мы можем положение точки задать двумя способами, значит между ними, должна быть какая-то связь. То есть координаты точки (х; у) и величина угла должны быть связаны некоторой функцией. Определим эту зависимость.

Опустим из точки М перпендикуляры на ось Ox и Oy. Рассмотрим прямоугольный треугольник ОАМ.

Запишем элементы этого треугольника.

Поскольку радиус окружности равен 1, значит, ОM=1.

Так как координаты точки М равны x и y, то, очевидно, что МА=y, а ОА=x.

Тогда  , , .

Мы получили, что синус острого угла равен ординате точки М, а косинус угла α равен абсциссе точки М.

Итак, косинусом угла α называется абсцисса (то есть координата по оси OX) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу α.

Синусом угла α называется ордината (то есть координата по оси OY ) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу α.

Получаем, что ось х – это ось косинуса,

                          ось у – это ось синуса.

Рассмотрим ещё два понятия.

Тангенсом угла α называется отношение синуса угла к его косинусу.

Котангенсом угла α  называется отношение косинуса угла к его синусу.

Функции тангенс и котангенс также имеют свои оси.

Осью тангенсов является касательная к единичной окружности в точке с координатой (1; 0), а осью котангенсов - касательная к окружности в точке с координатой (0; 1) и значит, значения этих функций находят по данным осям.

2.3 Область значений тригонометрических функций

Так как синус и косинус это по сути координаты точки на единичной окружности и из ее рассмотрения видно, что они лежат в пределах от -1 до 1, то можем сделать вывод, о том какие значения могут принимать наши функции: 

Зная это, ответьте на вопросы:

• может ли абсцисса точки единичной полуокружности иметь значения 0,3, -2,8,  1/3,  -1/3, 5/3?

[да, нет, да, да, нет]

• может ли ордината точки единичной полуокружности иметь значения 0,6, -0,3, 7, 1/7, 1,002?

[да, да, нет, да, нет]

Значение угла α может быть любым: от минус бесконечности до плюс бесконечности.

2.4 Знаки тригонометрических функций

А сейчас давайте разберемся, как нам определять знаки тригонометрических функций. Это не сложно. Знаки тригонометрических функций соответствуют знакам координат точки единичной окружности. Координатные оси разбивают всю координатную плоскость и окружность на четыре координатные четверти. Нумерация четвертей совпадает с началом движения от точки А по окружности в положительном направлении, то есть против часовой стрелки. (далее указываем по рисунку номера четвертей). Границы наших четвертей: от точки А – это  до , от  до , от  до , от до .

Определим знаки тригонометрических функций в каждой четверти, и все результаты представим на окружностях по координатным четвертям:

Примеры:

2.5 Радианная мера угла

Вы уже знаете, что величины углов могут измеряться в радианной мере и градусной мере.  А это означает, что вы должны уметь переходить от радианной меры измерения угла к градусной.

Угол в 1 радиан это центральный угол, который опирается на дугу, равную радиусу. Длина окружности равна: . То есть в нашей окружности помещается ровно два пи дуг длина которых равна радиусу и значит, во всей нашей окружности помещается два пи углов в один радиан. Вся окружность равна . Значит, соответствует  радианам, а  соответствует радиан.

При переходе от радианной меры к градусной и наоборот проще всего использовать это соотношение:.

Выразить радианы в градусы несложно, достаточно вместо подставить  и вычислить. Например:

 .

Самостоятельно:

В случае, когда надо перейти от градусной меры в радианную можно применять формулу: Но формулы имеют свойство забываться, поэтому я предлагаю вам при необходимости составлять пропорцию.

Например, выразим 30 в радианах:

Самостоятельно:

Наиболее часто употребляемыми углами являются углы в .

Давайте переведем их в радианы и заполним таблицу соответствия градусных мер радианным.

Углы в  находятся в первой четверти и составляют от него третью часть, половину и две третьих.

Так как значение , значит , значит , следовательно, на окружности точка 1 расположена выше . Значение ,  ,  , .

Мы, с вами рассматривая, новый материал при помощи единичной окружности выяснили, что ее еще называют тригонометрической, так как координатами точки на окружности являются функции синус, косинус, тангенс и котангенс. Определили, что синус и косинус могут принимать значения только от -1 до 1, а тангенс и котангенс от – бесконечности до + бесконечности. Рассмотрели координатные четверти, их границы, как найти в какой четверти лежит угол, разобрали, как связаны между собой радианы и градусы. При этом наша тригонометрическая окружность изменялась, обрастала все новыми значениями.

Если бы мы продолжили работу по нахождению значений координат точки и углов, соответствующих координатам по нашей окружности, то она бы приняла вот такой вид. (Идет демонстрация слайда с единичной окружностью и говорится, что такие же окружности есть у вас на столах, для удобства в работе).

Разберем, как работать с этой окружностью. Нахождение значений угла или функции напоминает нахождение координаты точки по графику или определение положения точки по заданным координатам.

Например, найдем, чему будут равны:

При помощи круга мы можем находить значения углов не только до 360, но и больших, так движение по кругу напоминает движение по спирали: один оборот, второй оборот и так далее. Например, найдем, чему равны значения функций: 

2.6 Первичное закрепление материала

Мы рассмотрели тригонометрические функции, но еще Жан Жак Руссо говорил, что час работы научит больше, чем день объяснения. Значит, пора переходить к решению упражнений. Но перед этим давайте еще раз коротко обговорим, какие новые знания мы сегодня получили и должны запомнить.

Проведем блиц опрос по рассмотренному материалу. Отвечаем на вопросы все вместе, при этом считайте сколько вы дали правильных ответов.

Устная работа (повторение теории).

1. Какие тригонометрические функции мы рассматривали?
2. На какой оси находятся значения синуса?
3. На какой оси находятся значения косинуса?
4. На какой оси находятся значения тангенса?
5. На какой оси находятся значения котангенса?
6. В каких пределах может изменяться значение синуса, косинуса?
7. В каких пределах может изменяться значение тангенса и котангенса?
8. Что необходимо знать, чтобы определить знак функции?
9. Какое направление считается положительным, а какое отрицательным?
10. В каких единицах может выражаться угол?
11. Какое соотношение используют для перехода от радианной меры к градусной и наоборот?

Поставьте себе оценку в лист контроля (самоконтроль).

Критерии оценки:

“5” –   10-11 правильных ответов

“4” –   8-9 правильных ответов

“3”  –  6-7 правильных ответов

Устная работа (решение упражнений).

1. Верно ли равенство:

 ?

2. Определите знак функции:
3. Переведите радианную меру угла в градусную:     .
4. Найдите при помощи круга значение функций, объясните ответ:   .
5. Найдите при помощи круга значение синуса, косинуса, тангенса, если величина угла равна:

После окончания устной работы, отметить активных учащихся, поставить оценки.

3 ПРИМЕНЕНИЕ ЗНАНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ 

Работа по решению упражнений идет у доски с вызовом обучающихся и на местах. В каждом задании пример под буквой а) разбирается преподавателем, остальные студенты решают самостоятельно.

1 задание: а) 

б) .

2 задание:  найдите знак произведения:

а) 

б) 

в) 

г) 

4 САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЗНАНИЙ, УМЕНИЙ И НАВЫКОВ  

Студенты решают на листочках, меняются листочками и проверяют ответы с помощью ключа, представленного на доске. Ставят оценку в лист контроля (взаимоконтроль).

Задания для самостоятельной работы.

I вариант

1. Выразите в градусной мере величину угла:     .
2. Выразите величину угла в радианах:    .
3. Найдите знак произведения, используя правило знаков по четвертям:

.

4. Вычислите значение выражения:    .

II вариант

1. Выразите в градусной мере величину угла:     .
2. Выразите величину угла в радианах:     .
3. Найдите знак произведения, используя правило знаков по четвертям:

.

4. Вычислите значение выражения:   .

Ключ ответов:

Критерии оценки:

«3» - 2 задания

«4» - 3 задания

«5» - 4 заданий.

5 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

5.1 Подведение итогов

• рефлексия;
• сдача листов контроля.

5.2 Домашнее задание

Проработать теоретический и практический материал.

Лист контроля