МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 2 ИМЕНИ И. М. ЕГАНОВА Г.СКОПИН

Методика обучения решению задач на проценты в курсе средней школы

Учебно-исследовательская работа

Руководитель: Таптыгина М.С.

учитель математики

МБОУ «СОШ № 2 им. И.М. Еганова» г. Скопин

Работу выполнили: Ашарина П.В.

Борисова Н.Р.

ученицы 8 «А» класса

МБОУ «СОШ № 2 им. И.М. Еганова» г. Скопин

Скопин 2023

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 3

ГЛАВА 1. Теоретические основы изучения процентов в курсе средней школы 5

Роль и место задач на проценты в осуществлении прикладной направленности обучения математике 5

Пути формирования понятия процента 5

Этапы обучения решению стандартных задач на проценты 7

ГЛАВА 2. Методические особенности прохождения темы «Задачи на проценты» в средней школе 9

Первые уроки по теме «Процент» 9

Методические особенности изучения задач на проценты в учебнике «Математика. 5 класс» под редакцией Н. Я. Виленкина, В.И. Жохова, А. С. Чеснокова, С.И.Шварцбурд 9

Методические особенности изучения задач на проценты в учебниках для 6–9 классах под редакцией Г.В. Дорофеева 11

Методика изучения процентов в учебнике для 6 класса под редакцией Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон 20

Обучение решению задач на простой процентный прирост и сложные проценты 25

Обучение решению задач на концентрацию, смеси, сплавы 28

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 30

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 31

Основная литература 31

Дополнительная литература 31

ВВЕДЕНИЕ

Важнейшей характеристикой школьного образования является то, что оно дает глубокие и прочные знания, навыки и умения, которые требуются не только в учебной, но и практической деятельности. Математика, являясь одной из главных составляющих мирового научно-технического прогресса, прочно заняла особое место в науке, культуре и общественной жизни. Современный мир сложно представить без специальностей, требующих высокого уровня образования, связанного непосредственно с применением математического аппарата (экономические дисциплины, информационные технологии, финансы, физика, химия и др.). Большинство школьников заинтересованы в качественном математическом образовании, так как для большинства из них математика может стать профессионально значимым предметом в будущем.

Очень важно, чтобы полученные на уроках математики знания имели большое практическое значение, а именно этим и характеризуются задачи на проценты. Процентами пользуются не только в стенах школы на уроках математики, но и в повседневной жизни. Стоит также отметить, что в материалы ОГЭ и ЕГЭ по математике входят задачи на проценты.

Наблюдения показывают, что большинство школьников не справляются с задачами на проценты, и, если есть возможность, намеренно пропускают их. Одной из причин возникновения трудностей при прохождении темы «Задачи на проценты» является то, что в школьном курсе математики этой теме не уделяется должного внимания. Большинство учебников затрагивают тему «Проценты» в 5 или 6 классах, хотя, к ней желательно периодически обращаться на протяжении всего курса математики.

В связи с этим возникает актуальность в более глубоком изучении задач на проценты в школьном курсе математики 5-9-х классах.

Целью исследовательской работы является анализ учебной и методической литературы, исследование методических особенностей прохождения тем «Процент» и «Задачи на проценты» в 5-9-х классах.

Объектом исследования является процесс обучения математике в средней школе.

Предмет исследования – обучение школьников решению задач на проценты в средней школе.

В первой главе мы выявили роль и место темы «Задачи на проценты» в осуществлении практико-ориентированной направленности обучения математике, исследовали вопрос возникновения процентов и ввели понятие процента и задачи.

Во второй главе рассмотрели современные УМК по математике и их подходы к изучению темы процентов, рассмотрели методику изучения задач на простой процентный прирост и сложные проценты, концентрацию, смеси и сплавы.

ГЛАВА 1. Теоретические основы изучения процентов в курсе средней школы

1. Роль и место задач на проценты в осуществлении прикладной направленности обучения математике

«Проценты - одно из понятий прикладной математики, которые часто встречаются в повседневной жизни»^[1]. [18], [19] В математике существует множество абстрактных понятий, которые довольно сложно представить, но благодаря использованию процентов в содержании текстовых задач, мы имеем возможность связать абстрактные математические понятия с реальной жизнью.

Знание процентов не гарантирует полноценной финансовой и экономической грамотности, однако, их знание и понимание дает возможность в формировании новых практических способностей, например, умению разбираться в экономических задачах.

Грамотно подобранная система задач позволит учителю и учащимся преодолеть трудности. При изучении задач на проценты школьный курс математики имеет практико-ориентированное направление. Мотивирующим фактом к изучению процентов является то, что система задач включает в себя обычные жизненные ситуацию, с которыми может столкнуться любой человек, поэтому учащимся будет интересно изучать данную тему. Учащиеся осознают, что приобретаемые ими на уроках математики знания могут быть применены не только на самих уроках.

2. Пути формирования понятия процента

Слово «процент» переводится с латинского «procentum» как «от сотни», «на сто». В Европе проценты появились благодаря римлянам. Появление в Европе XV-го века десятичной системы счисления обеспечило возникновение новой величины, с помощью которой можно было бы выразить части некоторого целого. Однако подобные мысли возникали еще в древности у вавилонян, но имели некоторые отличия. Проценты исчислялись не «со ста», а «с шестидесяти». [12], [1], [16]

В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли много внимания обращали на умение вычислять проценты. Именно в то время появились проценты с процентов, так называемые, сложные проценты. Чтобы облегчить труд при вычислении процентов, использовались особые таблицы, которые зачастую составляли коммерческий секрет.

Долгое время проценты характеризовались как прибыль и убыток на каждую сотню денежных единиц, так как в основном проценты использовали, как правило, только в торговле. Однако процентами стали пользоваться и в других сферах деятельности, таких как хозяйство, финансы, экономика, статистика, наука, техника.

Знак получил распространение в конце XVII века. К концу XV-го века парижское издание выпускает книгу «Руководство по коммерческой арифметике» Матье де ла Порта. Проценты обозначались как «cto» (сокращенно от cento), однако, наборщик, не заметив, что перепутал обозначение процента, напечатал знак . В результате такой опечатки уже несколько столетий в обиходе используется всеми известный знак процента.

В настоящее время «под одним процентом от любой величины понимают одну сотую ее часть»^[2]. [12], [19] Таким образом,

- это , или часть величины.

Главной особенностью стало то, что используя проценты можно легко сравнить между собой части одного и того же целого.

3. Этапы обучения решению стандартных задач на проценты

Задачей называется проблемная ситуация, требующая решения посредством использования известных умений, знаний, навыков.

Для того, чтобы решить задачу необходимо выполнить некоторые мыслительные действия, ведущие к достижению цели, заданной в рамках проблемной задачи.

Решение задачи осуществляется по следующему алгоритму:

1. анализ условия задачи;
2. поиск плана решения, запись краткого условия, построение схемы или чертежа;
3. осуществление плана решения;
4. проверка решения, проверка актуальности.

Темы «Проценты» и «Задачи на проценты» традиционно изучают в рамках курса математики 5–6-х классов. Как исключение, некоторые УМК начальной школы включают в курс математики 4-х классов несколько уроков на тему «Понятие о проценте», например, в УМК «Учусь учиться» под редакцией Г.В.Дорофеева и Л.Г.Петерсон.

При работе с задачами на проценты учащиеся знакомятся с разнообразными способами рассуждения, узнают новые приемы и методы, что позволяет им в дальнейшем выбрать тот вариант решения, который кажется им наиболее удобным. Например, как только учащиеся понимают взаимосвязь между процентами и дробями, они могут выбирать наиболее удобную для них запись процентов с помощью дробей – через обыкновенные дроби или десятичные.

При объяснении материала учителем подбирается материал разной сложности, соответствующий возможностям школьников, а это значит, что используются возможности для дифференцированного обучения учащихся.

Задачи на проценты непосредственно связаны с дробями, являются их частным случаем, что значительным образом способствует улучшению методики обучения, а значит, и повышению качества и эффективности обучения.

Выделим основные этапы изучения нового материала:

1. ввод понятие о проценте;
2. решение трех основных типов задач на проценты: нахождение процента от числа (величины), нахождение числа (величины) по его проценту, нахождение процентного отношения двух чисел (величин);
3. формирование умения решать задачи на простой процентный рост, задачи на сложный процентный прирост;
4. обучение решению практических задач на проценты, задачи на концентрацию, смеси, сплавы.

ГЛАВА 2. Методические особенности прохождения темы «Задачи на проценты» в средней школе

Первые уроки по теме «Процент»

Рассмотрим изучение процентов и подходы к рассмотрению решений типовых задач на проценты в современных учебно-методических комплексах.

Существуют два подхода к изучению темы процентов. Первый подход включает типовые задачи, которые опираются лишь на содержательный смысл понятия процента. Учащиеся знакомятся с процентами, не опираясь на тему «Дроби». Обучение идет от частного к общему.

При знакомстве с процентами никакой опоры на темы с дробями не осуществляется, так как дроби изучаются значительно позже. Но стоит отметить, что как только основные задачи на обыкновенные и десятичные дроби изучены и отработаны, учащиеся переходят на задачи с процентами, как частного случая задач на дроби.

Второй подход подразумевает решение задач на проценты как частного случая задач на дроби, то есть от общего случая к частному.

Рассмотрим приведенные подходы в различных УМК.

Методические особенности изучения задач на проценты в учебнике «Математика. 5 класс» под редакцией Н. Я. Виленкина, В.И. Жохова, А. С. Чеснокова, С.И.Шварцбурд

В учебнике «Математика 5» под редакцией Н. Я. Виленкина, А. С. Чеснокова первое знакомство с процентами происходит в конце 5-го класса.

«Процентом называют одну сотую часть числа»^[3].

В этом учебнике не прослеживается какая-либо связь процентов с соответствующими задачами на дроби. При изучении темы «Проценты» учащиеся могут столкнуться с некоторым недопонимаем темы. В первую очередь, источником неясностей служит само понятие процента, так как после изучения дробей учащимся кажется, что речь идет о совершенно новых числах другой природы. При рассмотрении задач на проценты говорят про количество процентов, которые содержатся в целом и его части, никак не затрагивая при этом вопрос о числителе и знаменателе.

Таким образом, в результате такого подхода у учащихся могут возникнуть трудности в будущем при прохождение более сложных задач на проценты, которые они будут изучать в 6 классе. Изучив задачи на нахождение дроби от числа, числа по его дроби, учащиеся не переносят полученные знания и приемы на задачи на проценты. Задачи на проценты в 6 классе будут решатся с помощью пропорций, что фактически лишает учащихся возможности глубже уяснить смысл своих действий.

Примерные задачи, которые решаются на уроках.

Задача Дом площадью 620 м2 строили несколько месяцев. За первый месяц было построено 15% всего дома. Какую площадь дома построили за месяц? [6]

Решение:

Так как 620 м2 – это 100% площади дома, то, чтобы найти 1% площади дома, надо 620 разделить на 100. Получим, что 620:100=6,2, значит, 1% площади дома равен 6,2 м2. Чтобы найти, чему равны 15% площади дома, надо умножить 6,2 на 15. В результате получилось, что за месяц было построено 93 м2.

Задача На заводе в цехе по производству тяжелой техники 12 сотрудников получили премию, что составляет 30% всех сотрудников. Сколько сотрудников на заводе в цехе по производству тяжелой техники?

Решение:

Определим: чему равен 1% всех сотрудников цеха. Для этого разделим 12 на 30. Получаем, что 1% равен 0,4. Чтобы узнать, чему равны 100% надо умножить 0,4 на 100. В результате получилось, что в цехе по производству тяжелой техники 40 сотрудников.

Задача В школьную библиотеку завезли 700 новых учебников. Оказалось, что завезли 357 учебников по истории. Сколько процентов всех книг составляют учебники по истории?

Решение:

Количество учебников по истории . Обратим дробь в десятичную. 357 разделим на 700, получаем 0,51. Следовательно, количество учебников по истории 51 сотая. Каждая сотая равна 1% привезенных учебников, поэтому 51% привезенных учебников составляют учебники по истории.

Методические особенности изучения задач на проценты в учебниках для 6–9 классах под редакцией Г.В. Дорофеева

Первое представление о процентах учащиеся получают на уроках математики в 6-ом классе, причем, за весь учебный год тема «Проценты» встречается дважды: сразу же после изучения основных задач на дроби, а именно, нахождение части от числа, выраженную дробью, нахождение числа по его части и задачи, где необходимо узнать, какую часть меньшее число составляет от большего. Отметим, что к этому моменту учащиеся не познакомились с десятичными дробями и действиями над ними. Сразу после ознакомления с темами десятичных дробей учащиеся возвращаются к процентам.

На первых уроках изучения процентов учитель демонстрирует особый способ выражения части величины через процент. Учащиеся практикуют умение записывать проценты соответствующей обыкновенной дробью.

Задача а) б) в)

Происходит осознание, что процент – это некая универсальная величина, благодаря которой производят измерения других величин.

Перед как перейти к задачам на проценты, необходимо осмыслить и хорошо проработать введенное понятие. Содержание задач подбирается таким образом, чтобы учащиеся научились переводить задачи с языка долей и дробей на язык процентов и обратно, к тому же, у них создается представление о целом как о 100% величине, учащиеся замечают взаимосвязь между простейшими значениями процентов и соответствующими дробями: половина - , четверть - , пятая часть - и т.д.

Это первое знакомство с процентами, каждый пункт важен для понимания и восприятия, потому что полученные начальные знания о процентах в будущем помогут с легкостью решать более сложные задачи на проценты.

Рассмотрим некоторые практические задания, которые способствуют усвоению темы.

Задача Закрасьте на Рис.2 указную часть круга: 25%, 50%, 75%, 100%.

Рис.2

Задача наглядно показывает связь процентов с обыкновенными дробями, а в последствии, и с десятичными, так как указанную часть круга можно выразить с помощью дробей.

Задача В таблице 1 верно соотнесите проценты и дроби.

Таблица 1

Задача

1. Укажите верное соответствие:

Таблица 2

2. Самосвал выгрузил 50% песка на первой стройке и 40% песка на второй стройке. Весь ли песок он выгрузил?

3. Со склада отгрузили 40% материалов. Больше или меньше половины материала осталось на складе?

4. Сравните: а) 55% всего класса или половина класса? б) 15% премии или четверть премии? в) 47% всего населения Земли или половина?

Начиная с простых и легких задач, учащиеся переходят к более сложным, при этом, понятие процента уже хорошо отработано и усвоено.

Во втором полугодии учащимся переходят от задач на дроби к задачам на проценты, ведь легко выражать дроби с помощью процентов и наоборот.

Научившись вычислять один процент величины, учащиеся с легкостью вычислять несколько процентов величины.

Некоторые задачи будут содержать несколько последовательных вопросов, тем самым каждый ученик понимает, что проценты позволяют извлечь из условия больше информации, чем кажется на первый взгляд.

Задача

1. На полке было 80 книг. Продали книг.

1. Сколько книг продано?
2. Сколько % всех книг осталось на полке?
3. Сколько книг осталось на полке?

2. Премия составила 8000 руб. На оплату продуктовой корзины потрали 40% этой суммы. Придумайте вопросы к задаче. Ответьте на них.

В учебнике встречается серия задач, которая рассматривает увеличение на 50%, 100%, 200% и т.д. Учитель с помощью графического метода (диаграмм) может показать, что увеличение на 100% – равнозначно увеличению в раза и т.д.

Задача Ателье в первый месяц изготовило 180 комплектов одежды, в следующем месяце оно увеличило производство комплектов одежды на 200%. Сколько комплектов одежды изготавливает ателье во втором месяце? Во сколько раз увеличилось производство комплектов одежды?

Задача Стоимость капитального ремонта в доме с лифтом стала на 100% выше стоимости капремонта в доме без лифта (рис. 3). Увеличилась ли стоимость капремонта в домах с лифтом и во сколько раз?

Рис. 3.

Задача Объемы производства за последний год увеличились на 400%. Как изменились объемы производства за последний год?

Автор учебника выделяет главную задачу на проценты - определение процента величины умножением на десятичную дробь. Учитель должен напомнить учащимся методы преобразования процентов в десятичную дробь.

«Чтобы выразить проценты десятичной дробью, надо число, стоящее перед знаком %, разделить на 100, или, что одно и то же, умножить на 0,01»^[4].

Приведем пример задачи и ее решения разными способами.

Задача Швейная машина на складе стоит 5500 руб. Торговая надбавка в магазине составляет 14%. Сколько стоит швейная машина в магазине?

I способ: 14%– это 0,14; 0,14 от 5500 руб. составляет 770 (руб.), поэтому товар в магазине стоит 6270 (руб.).

II способ: цена на складе составляет 100%, а цена швейной машины в магазине на 14% больше, то есть она составляет 114%; 114%– это 1,14; 1,14 от 5500 руб. составляет 6270 (руб.).

Далее рассматривается вопрос о том, сколько процентов одна величина составляет от другой. Требуется найти, какую часть одна величина составляет от другой, затем записывают ее в виде десятичной дроби, а затем – в процентах.

Будет очень хорошо, если учащиеся рассмотрят задачи на прикидку и оценку. В задачах достаточно заменить данные другими числами, близкими к ним и удобными для расчетов. К примеру, чему равны 24% от какой – либо величины, то находят 25% этой величины, то есть ее четвертую часть.

Задача Стоимость на некоторые товары снизилась на 20%. На сколько примерно рублей снизалась стоимость товаров, если до снижения она составляла 796 руб.? 1990 руб.? 9770 руб.? 11930 руб.?

Задача Выполните прикидку и вычислите примерно:

а) 18% от 140 кг; б) 53% от 699 руб.; в) 27% от 820 м;

В 7-ом классе учащиеся готовы решать более сложные задачи на проценты.

К этому времени учащиеся имеют большой багаж знаний, накопленный опыт работы с процентами. Задачи со звездочкой, которые в 6-ом классе могли решить только сильные ученики, теперь решаются всем классом. Учащиеся имеют представление об основных видах задач на проценты.

На данном этапе рассматриваются задачи, требующие определенного навыка представления процентов дробью и наоборот, умение находить процент от величины, понимание того, какая из величин, участвующих в задаче, принимается за 100%.

Прежде чем приступить к освоению нового материала, необходимо повторить приемы, помогающие выразить десятичные дроби в проценты и наоборот. Также уделяется внимание вопросам «маленьких» и «больших» дробей, то есть те, которые меньше 1% и те, которые больше 100%, соответственно, так как они наиболее трудны для усвоения.

Задача : Весной стоимость абонемента повысились на , а осенью – еще на Сколько стал стоить абонемент, если его изначальная стоимость состоявляла 2000 руб.?

Решение:

Находим стоимость после первого повышения,

или 1%=20 отсюда 10%=200 рублей.

2000+200=2200 рублей.

Находим стоимость после второго повышения,

=22 или 1%=22 рубля отсюда 5%=110 рублей

2200+110=2310 рублей.

Ответ: 2310 рублей.

Система задач составлена таким образом, что вполне допустимы разные способы рассуждения, достаточно выбрать более удобный и понятный для себя.

Кроме задач на нахождение процента от величины, рассматриваются задачи на нахождение величины по известному проценту.

Стоит отметить, что в учебнике имеется ряд задач в пункте «Для тех, кому интересно», которые, как правило, не включены в учебники, их в какой-то мере относят к олимпиадным задачам, так как они достаточно трудны, однако, учителю стоит показать некоторые из них, а остальные дать на самостоятельное решение хотя бы сильным ученикам.

Задача : Виноград дороже яблок на . На сколько процентов яблоки дешевле винограда?

Решение:

Цена яблок – 100%. Построим схему (рис. 4). Увеличим этот отрезок на 25%, то есть на его часть; получим отрезок соответствующий цене винограда.

Цена яблок до повышения – 100%

Цена яблок после повышения – 125%

Рис. 4

Теперь цена винограда составляет 100%. Она изображена большим отрезком. Цена альбома меньше цены книги на этого отрезка. Так как составляет 20%, то альбом дешевле книги на 20%.

В учебнике весь материал позволяет использовать графический метод решения, хотя, эти же задачи можно решить и арифметически.

В главе «Отношения и пропорции» содержатся задачи более практического характера, которые могут быть решены с помощью процентов.

Задача

1. В сплав входит медь, олово и сурьма в отношении 4:15:6. Сколько процентов сплава составляет каждый металл?

2. На строительство гаража ушло 18 дней. За сколько дней можно было бы выполнить эту же работу, если повысить производительность на 30%?

Помимо уже знакомых методов решения задач, учащиеся применяют новые умения – используют уравнения для решения расчетных задач на проценты.

Учебник математики под редакцией Г.В. Дорофеева продолжает возвращаться к теме процентов и в 8-ом классе при изучении темы «Алгебраические дроби». В системе задач встречаются задачи на сплавы, концентрацию, смеси, экономические задачи, то есть задачи, позволяющие продемонстрировать, как формальный алгебраический язык может описывать реальные жизненные ситуации.

Для удобства учеников в учебнике приводятся образцы решений некоторых задач, к которым можно вернуться в любой момент и использовать их в качестве «эталона», если возникли какие-либо трудности.

Задача При открытии счета в банке клиенту сообщили, если бы он добавил 800 рублей, то через год его доход составлял бы 220 рублей. Годовой доход по этому вкладу составляет 8%. Какова внесенная сумма в банк?

Решение:

Пусть руб. – сумма, которую клиент положил на счет. Тогда руб. было бы на вкладе, если бы клиент добавил еще 800 руб.;

руб. – доход в 8%, который мог бы получить клиент с этой суммы.

Так как доход равен 220 руб., то имеем равенство: .

Отсюда , следовательно, ответ: клиент внес в банк 1950 рублей.

В 9 классе проценты и дробные рациональные уравнений встречаются в некоторых задачах.

Задача На покупку учебников по математике и русскому языку было выделено 15000 р., причем 40% этих денег пошло на покупку учебников математики. Учебников русского языка было выдано на больше, чем учебников по математике. Сколько учеников получили учебники математики и сколько – учебников по русскому языку, если известно, что количество учебников по русскому языку 50% учебников по математике?

Последними темами в учебнике 9-го класса будут задачи на сложные и простые проценты, которые рассматриваются в блоке тем «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Простые и сложные проценты сами по себе имеют огромную практическую значимость, так как в задачах рассматриваются всеми знакомые жизненные ситуации, с которым может столкнуться любой взрослый человек. Возможность опереться на сформированные навыки в работе с процентами, на умение воспользоваться калькулятором, табличным и графическим представлением информации позволило расширить диапазон решаемых задач на проценты.

Автор учебника сознательно не вводит формулы простого и сложного процента. Он полагает, что учащиеся будут решать задачи, опираясь на смысл понятия «процент», на умения и навыки находить процент от числа.

Проанализировав учебник 6-9-х классов, методические особенности повествования и введения нового материала, можно сказать, что авторами проделана огромная работа в разработке материала. Авторы уделяют много внимания задачам на проценты, которые очень разнообразны.

Понятие процента впервые вводится в 6-ом классе, однако, в силу возрастных особенностей школьников, сравнительно небольшого багажа знаний, невысокой математической грамотности учащиеся не могут сразу же познакомиться с огромным спектром задач на проценты. В 7 –9 классах данный термин забывается, и простейшие задачи шестого класса становятся для школьников сложными. Поэтому целесообразным уделять процентам больше внимания, как это сделано в учебном комплексе Г. В. Дорофеева и др. [1], [2], [3], [4], [5], [10], [11], [13].

Методика изучения процентов в учебнике для 6 класса под редакцией Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон

В УМК «Учусь учиться» с процентами учащиеся знакомятся довольно рано – 4-ом классе, в первом полугодии. После того, как школьники раскрыли новое понятии «дроби» и «доли», автор учебника – Л.Г.Петерсон вводит новое понятия «процент», причем, изучение понятия основано на понятии долей и действиями с ними. «Удобнее всего пользоваться сотыми долями. Из-за их большой распространенности сотые доли получили специально название – проценты»^[5]. Вводится особое обозначение: , предлагаются задания.

Задача Найди 1% от:

а) 500 г; б) 8000 км; в) 42000 руб.; д) 1 л; е) 3 ц.

Также предлагается решить элементарные задачи на проценты.

Задача . Мама получила премию 12000 руб., 1% которой она потратит на покупку игрушки. Сколько стоила игрушка?

100% - 12000 руб.

1% - ? руб.

Решение:

Если , то , то есть 12000:100=120 руб. стоил торт.

Также предлагается изучить задачи на доли, где обязательно встретится пару заданий с процентами, иными словами, уже в 4-ом классе учащиеся начинают решать первые задачи на проценты, используя правила нахождения числа по доле: чтобы найти неизвестное число, можно его долю умножить на n.

Задача Найти массу груш, если известно, что 1% массы составляет 2 кг.

Решение:

Если , то , значит 2100=200 кг=2 ц – масса груш.

После более подробного изучения дробей, а именно, числителя и знаменателя дроби, сравнения дробей вводятся правила нахождения части числа и числа по его части. Доли заменяются словом «дроби», к тому же, наглядно видно, что проценты можно записать с помощью дробей со знаменателем 100. Учащиеся осознают, что доли, дроби и проценты связываются в одно единое. Рассмотрим примеры:

«Чтобы найти число по его части, можно эту часть разделить на числитель и умножить на знаменатель соответствующей дроби»^[6]

Задача Масса творога составляет 8% от массы молока, которое используется при изготовлении. Сколько молока потребуется для изготовления 24 кг творога?

100% - ? кг

8% - 24 кг

Решение: Так как , масса равно 24:8100=300 л – потребовалось молока.

Учащимся предлагается сформулировать обратную задачу – для изготовления творога использовалось 300 л молока. Известно, что творог составляет 8% от массы молока. Сколько получилось творога?

Учитель должен направить размышления учеников в нужное русло. Совместно выводится новое правило- чтобы найти часть от числа, необходимо это число умножить на числитель и разделить на знаменатель соответствующей дроби. Решение предыдущей задачи покажет, что рассуждения были верны.

Таким образом, ученик в 4-ом классе обладают умением решать основные типы задач на проценты.

Следующая встреча с процентами происходит в 6 классе. К сожалению, многие уже успели подзабыть теорию, полученную на уроках в 4-ом классе, поэтому снова вводится понятие процента и решаются уже знакомые задачи на проценты.

Основной упор на проценты делается в 6-ом классе после изучения обыкновенных и десятичных дробей и действиями над ними. Понятие процента будет выглядеть так - «Одним процентом от любой величины называют одну сотую ее часть»^[7].

Так же как и в учебнике Г.В.Дорофеева, в учебнике под редакцией Л.Г.Петерсон фокусируется внимание учащихся на том, что процент – это специальный способ выражения доли величины, проценты можно выразить соответствующими обыкновенными и десятичными дробями.

Для этого используется правило: «чтобы выразить проценты числом (дробью), нужно количество процентов разделить на 100»^[8].

Задача

а) б) в)

Для обратного перехода выполняется обратное действие – чтобы выразить число в процентах, надо его умножить на 100.

Задача

Также учителю важно отметить, что существуют разные формы выражения одного и того же изменения величины, продемонстрировав это на конкретных примерах.

Задача В сообщениях «Заработная плата увеличилась в 2 раза» и «Заработная плата увеличилась на 100%» говорится об одном и том же. Заработную плату следует взять за величину a. (рис. 5)

Рис.5

Как и в 4-ом классе, изучаются задачи на нахождение части от числа и числа по его части, только вместо слова «части» используется слово «процент», но так как школьники знают, что проценты – это частный вид дробей (частей, долей), они легко справляются с задачами на проценты.

Учащиеся должны понять, чтобы находить проценты от числа нужно вспомнить, что один процент является одной сотой от данного числа.

Выведем алгоритм нахождения одного или нескольких процентов от числа, при этом используя новые обозначения: Чтобы найти p% от числа, надо это число умножить на дробь , где p – количество процентов. Запись удобно заменить на десятичную дробь, так как учащиеся уже знают, что дробь со знаменателем 100 можно представить в виде десятичной.

Дальше рассматривается общая методика нахождения числа по его проценту. Возникает вопрос, как найти искомое число, если известно лишь, сколько процентов p% составляет другое число от искомого? Для этого нужно проценты записать в виде обыкновенной дроби , после чего данное нам число разделить на эту дробь, в результате чего получим число по его проценту.

«Выводим алгоритм нахождения числа по его проценту (части): чтобы найти число по его проценту, нужно заменить проценты дробью и разделить на эту дробь данное число.

Часто можно встретить задачи, в которых даны два числа, при этом необходимо найти их процентное отношение.

Выводим алгоритм нахождения процентного отношения двух чисел: чтобы узнать, сколько процентов первое число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100.

Задача 9 г соли в растворе массой 180 г составляет раствора.

Частное двух чисел, выраженное в процентах, будет называться процентным отношением этих чисел»^[9]. [6], [7], [16], [17]

Автор учебника предоставляет огромное количество заданий на данные типы задач, причем они разноуровневые, что позволяет использовать дифференциальный подход обучения.

В этом учебнике, как и в учебниках под редакцией Г.В.Дорофеева, встречаются задачи на простые и сложные проценты, Л.Г.Петерсон называет их задачи на простой процентный прирост и сложный процентный прирост. Предлагаются прикладные задачи, связанные с повседневной жизни, что мотивирует учащихся к изучению темы.

При изучении темы «Понятие отношения. Пропорции» учащиеся впервые решают задачи на смеси, концентрации и сплавы.

Задача Смешали три раствора соли одинаковой массы. Концентрация первого равна 18%, второго – 7%. Чему равна концентрация третьего раствора, если концентрация полученной смеси составляет 10%?

Решение: Составим математическую модель уравнение и решим его. Пусть – масса всего раствора, тогда – масса соли в первом растворе, – масса соли во втором. Концентрация полученной смеси 10%. Концентрация раствора есть отношение массы растворенного вещества к массе раствора. Имеем, , тогда получаем, что - концентрация третьего раствора.

В данном УМК особое внимание уделяется математическому языку, поэтому часто встречаются задания на запись высказывания на математическом языке, тем самым, в очередной раз показывая, что с помощью процентов можно легко объяснить абстрактные алгебраические модели.

Задание Запиши высказывание с помощью математического языка.

Число на 40% меньше числа : .

После ввода понятия «Пропорция» учащиеся уже имеют хорошие навыки решения задач на проценты, которые решают более удобным для себя методом.

Как правило, после 6-го класса учителя переходят на другие УМК по математике, а значит, поэтому задачи на проценты по линии учебника Л.Г.Петерсон заканчивается6 что не совсем хорошо. Другие учебники могут не уделять достаточно пристального внимания к процентам: как это делается в учебнике Л.Г.Петерсон. [7], [17], [18], [19].

Обучение решению задач на простой процентный прирост и сложные проценты

Отдельно рассмотрим более подробно задачи на сложные проценты.

Тема «Проценты», очень сильно связана с повседневной жизнью. Человек каждый день сталкивается с рекламными брошюрами, которые пестрят всевозможными предложениями различных виды вкладов, кредитов, ипотек и т.д. Еще очень часто бывают случаи, когда человеку приходится платить пени – процент за просрочку. Между тем, многие ребята, да и взрослые, при столкновении с этими ситуациями боятся их, потому что не разбираются в них. Возникают трудности - а как считать? Человек, обладающий глубокими математическими знаниями, может без труда разобраться с данными вопросами.

Как правило, в учебниках математики не вводятся формулы простых и сложных процентов. Учащимся встретятся с ними в учебниках под редакцией Г.В. Дорофеева и Л.Г. Петерсон, либо на дополнительных курсах по математике.

Задачи на простые проценты или простой процентный рост стоит начать объяснять с конкретных примеров из повседневной жизни, например, учитель может рассказать, что за несоблюдение сроков оплаты за коммунальные услуги владельцу квартиры может быть назначена пеня.

Пример: «Если пеня составляет от суммы квартплаты за каждый день просрочки, то, допустим, за 19 дней просрочки сумма составит от суммы квартплаты, поэтому с 1000 руб. квартплаты человек должен будет внести пеню , а всего 1019 руб.

За можно взять ежемесячную квартплату, пеня которой составляет квартплаты за каждый день просрочки, а – число просроченных дней. Сумму: которую должен заплатить человек после дней просрочки, обозначим . Тогда за дней просрочки пеня составит от или , а всего придется заплатить . Немного упростив запись, таким образом, получаем формулу простого процентного прироста»^[10]

.

Теперь рассмотрим вклады. Как посчитать доход, если вклад продлевается каждый год, а проценты не снимаются? Будет ли в новом году доход больше, чем в предыдущем? Ответ – да. При таком подходе начисляются проценты на проценты, то есть получаем сложные проценты.

Задача Вычислим, сколько денег получит вкладчик через 4 года, если он положил на банковский счет 1000 руб. и ни разу в течение всего периода не будет снимать деньги со счета, при этом готовой доход составляет 10%.

Решение:

10% от 1000 руб. составляет 0,11000=100 руб., поэтому через год на банковском счете будет 1000+100=1100 руб.

10% от 1100 руб. составляет 0,11100=110 руб., поэтому еще через год на банковском счете будет 1100+100=1210 руб.

10% от 1210 руб. составляет 0,11210=121 руб., поэтому еще через год на банковском счете будет 1210+121=1331 руб.

Аналогичные рассуждения проводим для четвертого года. Получаем, что в конце четвертого года на банковском счете вкладчика будет 1464,1 руб., а доход за все эти годы составит 464,1 руб.»^[11]

В учебнике под редакцией Г.В. Дорофеева задачи на сложные проценты рассматриваются в блоке тем «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Задачи решаются без использования формулы сложного процента. Решение опирается на знания о проценте и о прогрессиях.

Задача Александр положил в марте 100 рублей на счёт, по которому ежемесячно начисляется 2%. И затем каждый месяц в течение года он вносил на банковский счет ещё по рублей, не снимая с него никаких сумм. Сколько рублей на её счете будет в конце февраля следующего года?

Решение:

Учащиеся знают, что 2%=0,02. Вклад ежемесячно увеличивается в 1,02 раза и идёт последовательное накопление вклада:

март – 100 р.;

апрель – 100 руб.;

май – 100(1,02)2+100+100 руб.;

февраль – 100(1,02)11+10010+…100=100=1341 руб.

Обратим внимание, проценты и геометрическая прогрессия не просто математические записи, они отражают человеческую действительность. Понимают это и учащиеся.

Работая в 6-ом классе по учебнику Л.Г. Петерсон, учитель не сможет рассчитывать на прогрессии, поэтому после легкой задачи сразу дается формула сложного процента или сложного процентного прироста

. [5], [17], [19].

Обучение решению задач на концентрацию, смеси, сплавы

Пожалуй, это самые нелюбимые задачи для учащихся, так как эти задачи обычно довольно сложные.

Задачи на концентрацию, смеси, сплавы обычно вызывают больше затруднений, чем задачи на движение. Необходимо вовремя не разобраться в решении задач такого типа, поскольку используются при изучении некоторых тем в школьном курсе химии.

Знание задач на дроби и проценты, а также умение переводить текстовую задачу на математический язык помогают при решении задач на смеси, сплавы и концентрации.

Перед тем как решать подобные задачи, учащиеся совместно с учителем проговаривают некоторые аспекты таких задач:

• все полученные сплавы или смеси однородны;
• при слиянии двух растворов, имеющих объемы V1 и V2, получается смесь, объемом V= V1+V2;
• при слиянии двух растворов масса смеси равняется сумме масс, составляющих ее компонентов.

Объемной концентрацией компонента A называется отношение объема чистого компонента VA в растворе ко всему объему смеси VO:

CA== и VO= CA VO+ CB VO+ CC VO.

Объемным процентным содержанием компонента A называется величина PA= CA 100%, то есть концентрация этого вещества, выраженная в процентах.

Аналогично определяются массовая концентрация и процентное содержание.

Задача Для проведения эксперимента лаборант смешал 4% раствор некоторого химического вещества и 10% раствора этого же вещества и получил 75 мл 8% раствора. Сколько мл 4% раствора и сколько 10% раствора было взято.

Решение:

Обозначим через – количество 4% раствора, а через – количество 10% раствора. Имеем:

.

Второе уравнение системы связывает количество соли в 4%, 10% в растворах:

.

Решим получившуюся систему уравнений:

;.

Следовательно, 25 мл взяли 4% раствора и 50 мл 10% раствора. [5], [17], [19].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная работа посвящена методике обучения решению задач на проценты в курсе средней школы. Цель исследовательской работы достигнута: были проанализированы учебная и методическая литература, изучены общие методические рекомендации к изучению темы «Проценты» в средней школе. Обозначена практическая и прикладная значимость процентов в повседневной жизни. Рассмотрены различные современные УМК по математике, выделены основные подходы к изучению процентов в этих УМК.

Успешное освоение задач на проценты зависит от того, как были введены проценты в 5-6-х классах, однако, стоит отметить, что необходимо периодически возвращаться к теме «Проценты» в рамках некоторых тем курса алгебры 7-9-х классах, как это делается в учебниках по математике 6-9-х классов под редакцией Г.В. Дорофеева, чтобы в дальнейшем избежать у учащихся возможных трудностей.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основная литература

1. Математика: Учеб. для 6 кл. для общеобразоват. организаций/ Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворов – М.: Просвещение, 2016. – 287 с.
2. Математика: Учеб. для 7 кл. для общеобразоват. организаций/ Г.В.Дорофеев, И.Ф.Шарыгин, С.Б.Суворов – М.: Просвещение, 2016. – 287 с.
3. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учеб. для общеобразовательных учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова и др.; под ред. Г.В. Дорофеева. – М.: Дрофа, 2016. – 320 с.
4. Математика: Учеб. для 9 кл. для общеобразоват. организаций/ Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б .Суворов – М.: Просвещение, 2016. – 304 с.
5. Математика: Учеб. для 5 кл. для общеобразоват. организаций/ Г.В. Дорофеев, И.Ф.Шарыгин, С.Б. Суворов – М.: Просвещение, 2016. – 303 с.
6. Математика: Учеб. для 6 кл. сред. шк./ Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. В.И. Жохов. – М.: Мнемозина,2015. – 288 с.
7. Математика 4 класс. 1 часть – Изд. 2-е// Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон/ М.: «Ювента», 2015. – 95 с.

Дополнительная литература

8. Актуальные вопросы теории и методики обучения математике в средней школе: сборник научный статей. Вып. 1. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2011. – 111 с;
9. Избранные вопросы методики преподавания математики: сборник научно-методических статей / Авторы-сост.: В. Азарова, Е. Артьемьев, А. Нартова и др.; науч. ред. Л. О. Денищева. – М.: МГПУ, 2013. - 76 с.
10. Для тех, кто работает по учебникам Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина//Математика. – 1999. – № 15.
11. Изучение процентов в основной школе// Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Суворова С.Б. / Математика в школе. – 2002. – №1.
12. Задачи на проценты как проблема нормы словоупотребления// / Баранов О.О. / Математика в школе. – 2003. – № 5. – с. 50 – 59
13. Тематический и итоговый контроль в VII – IX классах по учебникам под редакцией Г.В. Дорофеева// Кузнецова Л.В. /Математика в школе. – 2002. – № 5.
14. Несколько замечаний по работе с учебником «Математика 7» под ред. Г.В. Дорофеева// Лейкина Т. /Математика. – 1999. – № 38.
15. Левитас, Г.Г. Методика преподавания математики в основной школе: учебное пособие / Г.Г. Левитас. – Астрахань: Издательский дом «Астраханский университет», 2009. – 179 с.
16. Методика преподавания математики в средней школе. / В. А. Ованесян и др. – М.: Просвещение, 1980. – 368 с.
17. Математика 6 класс. 3 часть – Изд. 2-е// Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон/ М.: «Ювента», 2010. – 176 с.
18. Методическое пособие по математике. 4 класс. // Л.Г. Петерсон/ М.: АПК и ППРО, 2007. – 320 с.
19. Методическое пособие по математике. 6 класс. // Л.Г. Петерсон/ М.: Л.Г. Петерсон/ М.: АПК и ППРО, 2007. – 409 с.
20. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб.пособие для студентов физ.-мат. факультетов пед. вузов / Ю.М.Колягин и др. - М.: Просвещение, 1975. — 462с.