Внеурочные занятия по школьному проекту "Загадки математики" для 6-8 классы
учебно-методический материал по математике (6 класс)

Теория для занятий

1. Математика.
   1. Определения математики [1]
      Математика - это наука, которая изучает структуру, пространство, количество и изменение. Она использует логические методы для анализа и изучения паттернов и отношений между числами, формами и объектами.

 Математика - это система знаний, которая включает в себя изучение чисел, форм, структур и теорий. Она также использует символы, абстракции и логические рассуждения для решения проблем и предсказания результатов.

 Математика - это наука, которая изучает связи, свойства и закономерности в различных областях, таких как алгебра, геометрия, тригонометрия, анализ и теория вероятностей.

 Математика - это инструмент для моделирования и анализа явлений в природе, технике, экономике и других областях знания. Она помогает формулировать гипотезы, делать прогнозы и принимать решения на основе данных и фактов.

 Математика - это язык, который используется для описания и изучения структур и отношений в различных областях, а также для разработки методов и моделей для решения задач и оптимизации процессов.

2. Число π

1. История числа π

Впервые обозначением этого числа греческой буквой π воспользовался британский математик Уильям Джонс в 1706 году, а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера в 1737 году. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια [periféreia] — окружность, периферия и περίμετρος [perímetros] — периметр. [2]

Определить то, что значение π больше трёх, но меньше четырёх очень просто. Для этого необходимо в единичную окружность вписать шестиугольник с длиной стороны 1. Диаметр круга составит 2, а периметр шестиугольника 6, а длина окружности больше шести, а значит π больше чем 6/2 (длина окружности делить на диаметр), то есть больше трёх. Опишем около окружности квадрат со стороной 2, его периметр равен 8, а значит π больше чем 8/2, то есть меньше четырёх. [3]

В 250 году до н.э. Архимед высчитал промежуток, в котором находится число π, с помощью вписанного и описанного 12-ти угольников, 24-х угольников, 48-ми угольников и 96-ти угольников. Его результатом стал промежуток от 3,1408 до 3,1429, чего уже было достаточно и для практических применений в современном мире. [4]

В конце VI века Франсуа Виет для расчётов взял правильный многоугольник, у которого было 393 216 сторон. Чуть позже его обошёл нидерландский математик Людольф Ван Селен. Он использовал многоугольник с количеством сторон 2^{62 –} это 4 квинтиллиона 611 квадриллионов 686 триллионов 18 миллиардов 427 миллионов 387 тысяч 904 стороны. Он получил 35 цифр после запятой. [5]

Во время бубонной чумы сер Исаак Ньютон вывел формулу, которая во много раз упростила нахождение числа π с любой необходимой точностью. [6]

2.2. Метод проведения эксперимента по вычислению числа π

С помощью нитки и линейки ученики измеряют и записывают в Таблицу №2 длину окружности и диаметр, затем, с помощью формулы  высчитывают число π для каждого круга, затем высчитать среднее значение числа π и сделать вывод, можно ли достаточно точно вычислить число π таким способом.

3. Лента Мёбиуса

3.1. Определение петли Мёбиуса

Лента Мёбиуса – простейшая неориентируемая поверхность, которая является односторонней в трёхмерном пространстве. [7]

3.2. История петли Мёбиуса

Считается, что лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году, однако та же фигура была изображена на римской мозаике III века н.э.[8]

Согласно легенде, немецкий астроном, математик и механик Август Фердинанд Мёбиус открыл этот объект после того, как служанка, работающая в его доме, сшила тканевую ленту в кольцо, перевернув по невнимательности один из ее концов. Увидев результат, вместо того, чтобы отругать незадачливую девушку Мёбиус произнес: «Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!». [9]

Если ленту разрезать вдоль посередине, то в таком случае получается всего одна петля, хотя логика говорит о том, что их должно быть две, а если разрезать, отступив от края на треть ширины ленты, то получится уже два кольца сцепленных вместе - маленькое и большое. Сделав затем продольный разрез малого кольца посередине, в итоге, получим два переплетенных кольца одинаковых в размере, но разных по ширине.[10]

3.3. Практическое применение петли Мёбиуса

Уже сегодня существует ряд изобретений, использующих свойства этой необычной топологической фигуры. К примеру, в матричных принтерах красящая лента, свернутая в форме петли Мёбиуса, имеет более продолжительный срок службы из-за равномерного износа по всей поверхности. Кроме того, кухонные миксеры и бетоносмесители с лопастями, свернутыми в форме этой геометрической фигуры, позволяют снизить энергозатраты на двадцать процентов, при этом качество получаемой смеси улучшается.

В науке существует предположение, что молекула ДНК, которая представляет собой двойную спираль, может быть фрагментом петли Мёбиуса. Возможно, именно по этой причине так трудно расшифровать и понять код ДНК.

Некоторые ученые утверждают, что оптические явления основаны на свойствах данного математического парадоксального объекта. Отражение в зеркале – это лишь частный случай одного из свойств петли Мебиуса.

Еще одно предположение, связанное с этой математической фигурой, заключается в том, что наша Вселенная может быть заключена в форму петли Мёбиуса с зеркальной копией. Если двигаться в одном и том же направлении по петле Мёбиуса, то можно предположить, что Вселенная может существовать в такой форме.

4. Простые числа

Простые числа — это такие натуральные числа, которые делятся только на единицу и на самих себя (имеют только два натуральных делителя делителя). Все остальные натуральные числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Единицу не относят ни к простым, ни к составным числам, т. к. у неё только один делитель — единица.[11]

Неизвестно, когда было определено понятие простого числа, однако первые свидетельства относят к верхнему палеолиту, что подтверждается костью Ишанго[12]. Учёные спорят о предназначении этого древнего инструмента, поэтому однозначно сказать знали ли люди того времени о простых числах нельзя. Предположительное время создания — эпоха верхнего палеолита. По одним данным, предмет изготовлен от 9 до 6,5 тысяч лет назад, по другим — более 20 тысяч лет назад.[13]

В сохранившихся записях древнеегипетских математиков есть намёки на то, что у них были некоторые представления о простых числах: например, папирус Райнда, относящийся ко второму тысячелетию до нашей эры. Опубликованные в приблизительно трёхсотом году до нашей эры «Начала» Евклида содержат важные теоремы о простых числах, включая бесконечность их множества. Позднее, математики искали простые числа всё больших размеров и пытались найти закономерность для их нахождения, но до сих пор никому это не удалось.[14]

За нахождение простых чисел из более чем 100 000 000 и 1 000 000 000 десятичных цифр Фонд электронных рубежей назначил денежные призы соответственно в 150 000 и 250 000 долларов США.

Большие простые числа используют в системах шифрования информации.