"Математическое ожидание" 9 класс
план-конспект урока по математике (9 класс)

Тема учебного раздела: Математическое ожидание и его применение в лотереях и при обязательном страхование автомобильной гражданской ответственности (ОСАГО).

Продолжительность: 45 минут.

Предмет, класс, в котором используется продукт: Теория вероятностей, 9 класс.

Авторы учебника, учебно-методического комплекта: Теория вероятности и статистика/ И.Р.Высоцкий, И.В.Ященко. – Москва: Просвещение, 2023.

Тип урока: урок практикум

Формы организации урока: фронтальная, групповая.

Методы обучения: словесный, наглядный, проблемный, практический.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер, карточки с заданиями.

Пояснительная записка: при подготовке урока в 9 классе учитываются возрастные особенности учащихся и государственный стандарт по математике.

Цели урока: 

• формировать экспериментальные и конструктивные умения;
• оформлять результаты измерений;
• сформировать понятие математического ожидания и отработка навыка вычисления при решении задач;
• развивать интерес к предмету через практическую направленность;
• развивать коммуникативные компетенции при работе в парах или группах
• развивать самостоятельность;
• воспитывать ответственное отношение к деятельности группы в целом и собственной деятельности;
• воспитывать уважение к ответам обучающихся.

Ход урока

1. Организационный момент

На вокзале игрок предлагает прохожим игру. Он зажимает в кулаке носовой платок так, что четыре уголка торчат наружу между пальцами.

Прохожий берёт платок за два уголка и вытягивает его. Если прохожий вытягивает платок за соседние уголки, то проигрывает 50 рублей. Если прохожий

вытягивает два противоположных уголка, то выигрывает 50 рублей. Составь-

те распределение и найдите математическое ожидание случайной величины

X «выигрыш прохожего».

Желательный результат обсуждения. У квадрата четыре стороны и две

диагонали. Поэтому выигрыш игрока в два раза более вероятен, чем выигрыш прохожего: вероятности событий «выиграет прохожий» и «выиграет игрок» равны 1/3 и 2/3 соответственно.

Составим таблицу распределения величины Х «выигрыш прохожего» (Слайд 1).

ЕХ=-50*2/3 +50*1/3= -50/3 (-16 руб.  67 коп)

Что показывает эта величина? Средний выигрыш игрока в одной игре.

Он отрицателен. Это значит, что в каждой игре прохожий в среднем

 проигрывает (а игрок, стало быть, выигрывает) примерно 16 рублей 67 копеек.

Каждому отдельному прохожему может повезти. Но если прохожий задержится и будет играть много раз, то его средний выигрыш, скорее всего, окажется отрицателен: в среднем минус 16 р. 67 коп. на одну игру.

Ясно, что математическое ожидание игрока, напротив, положительно и

равно 16 р. 67 коп. в одной игре. Поэтому, заманив, скажем 100 прохожих,

игрок может рассчитывать на 1667 рублей выигрыша.

Прежде чем применять математическое ожидание для оценок и прогнозов, надо научиться его находить

Учитель.  Сегодня  на уроке повторим что такое математическое ожидание; как вычислять математическое ожидание (алгоритм)

На доске высвечивается картинки, по которым ребята сформулируют  тему урока

Применение математического ожидания в лотереях и страхование. (Слайд №2).

2. Актуализация опорных знаний, умений учащихся.

Ребята! Давайте вспомним определение математического ожидания и истоки возникновения данного понятия.

Термин “математическое ожидание” введён Пьером Симоном маркизом де Лапласом (1795) и произошёл от понятия “ожидаемого значения выигрыша”, впервые появившегося в 17 веке в теории азартных игр в трудах Блеза Паскаля и Христиана Гюйгенса. Однако первое полное теоретическое осмысление и оценка этого понятия даны Пафнутием Львовичем Чебышёвым (середина 19 века).

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности. Иногда математическое ожидание называют взвешенным средним, так как оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов. Математическое ожидание вычисляется по формуле: .

3. Мотивация учебной деятельности.

Ребята мы прекрасно знаем, что Математика является тем инструментом, без которого в настоящее время невозможно полноценное развитие никакой науки. Давайте попробуем выяснить, как математика связана с лотереей, страхованием (Слайд №7)

Ребята получается, что Математический аппарат – важный инструмент экономического анализа, организации и управления.

4. Ознакомление учащихся с инструкцией к работе.

Уважаемые учащиеся! Давайте разделимся на группы. Каждой группе раздаются две карточки. На первой карточке представлено условие задачи. На второй карточке представлена карта заполнения проекта решения задачи и его дальнейшей защиты. Все группы работают отдельно друг от друга.

5. Выполнение работы под руководством учителя

Каждая группа решает свою задачу. Во время выполнения работы идет обсуждение заполнения карты задания. На этапе вывода 1 и 2, 3 и 4 группы объединяются и делают вывод совместно.

Группа 1. Лотерея (Слайд 4)

Для проведения лотереи было изготовлено 200 билетов, из которых один билет имеет выигрыш в размере 1000 рублей, ,  20 билетов имеют выигрыш в размере 1500 рублей. А остальные билеты не имеют выигрышей, с вероятностью.  Для определения выигрыша выбирается один билет случайным образом.

Заполните карту решения задания «Лотерея»

Группа 2. Лотерея

Для проведения лотереи было изготовлено 200 билетов, из которых один билет имеет выигрыш в размере 1000 рублей, 20 билетов имеют выигрыш в размере 1500 рублей. А остальные билеты не имеют выигрышей. Для определения выигрыша выбирается один билет случайным образом.

Заполните карту решения задания «Лотерея»

Группа 3. Обязательное страхование автомобильной гражданской ответственности (ОСАГО) (Слайд 6)

Страховой полис ОСАГО в страховой компании стоит 35000 рублей. По статистике в течение года владелец автомобиля попадает в мелкую аварию с вероятностью 0,15, и средняя сумма страховой выплаты при этом равна 50000рублей. С вероятностью 0,027 автомобиль попадает в серьёзную аварию, и средняя сумма выплаты при этом будет 600000 рублей.

Заполните карту решения задания «ОСАГО»

Группа 4. Обязательное страхование автомобильной гражданской ответственности (ОСАГО)

Страховой полис ОСАГО в страховой компании стоит 35000 рублей. По статистике в течение года владелец автомобиля попадает в мелкую аварию с вероятностью 0,15, и средняя сумма страховой выплаты при этом равна 50000рублей. С вероятностью 0,027 автомобиль попадает в серьёзную аварию, и средняя сумма выплаты при этом будет 600000 рублей.

Заполните карту решения задания «ОСАГО»

Карта решения задания «Лотерея» (Слайд5)

1)Заполните таблицу распределения вероятностей случайной величины

2) Вычислите математическое ожидание выигрыша – средний выигрыш на один билет

ЕХ =

3) Какой должна быть цена лотерейного билета,  чтобы обеспечить доходы организаторов лотереи?

Ответ:

4) Сделайте краткие важные выводы , опираясь на текст стр. 88 ( верхний абзац учебника )

Карта решения задания «ОСАГО » (Слайд 7)

1)Заполните таблицу распределения вероятностей случайной величины

2) Вычислите математическое ожидание средней суммы страховой выплаты на один полис

ЕХ =

3) Найдите средний доход страховой компании от продажи одного полиса

Ответ:

4) Сделайте краткие важные выводы , опираясь на текст стр. 88 ( нижний абзац учебника )

6. Представление результатов работы.

Примеры выполнения заданий. (Слайд 4-7).

7. Обсуждение и теоретическая интерпретация полученных результатов работы

Полученные выводы:

• Математическое ожидание приближенно равно среднему значению , с тем большей точностью, чем больше число измерений. Поэтому математическое ожидание называют просто средним значением случайной величины.
• Так устроены все лотереи: математическое ожидание выигрыша меньше цены билета. Это значит, что в лотерею нельзя выиграть. На любую лотерею и любой игральный автомат требуется лицензия (разрешение). Если кто- то устраивает игру на деньги или вещи без лицензии, то это нарушение закона, такой организатор – мошенник. В такие игры играть нельзя.
• Стоимость страхового полиса складывается из математического ожидания страховой выплаты и доли, идущей в доход страховой компании.

Проверка  домашней работы вычисления математического ожидания

№257 (а)

Решение: Даны таблицы распределения случайной величины.

Таблица 15

ЕХ= 143/36

№257 (б)

Таблица 16

ЕХ= 0,14

8. Домашнее задание. 

Решить задачи.

1. №258 №260 (Слайд 8)

9. Рефлексия

В конце урока учащимся предлагается продолжить предложения (Слайд 9). 

• На уроке я узнал...................................................................
• На уроке мне понравилось..................................................
• На уроке я запомнил, что ...................................................
• Теперь я могу.......................................................................
• Теперь я попробую..............................................................

Список используемой литературы: 

1. Математика в экономике. Малыхин В.И. М.: 2000.— 356 с
2. Математика и информатика. Козлов В.Н. СПб.: Питер, 2004 – 266с.
3. Теория вероятности и статистика/ Ю.Н.Тюрин, А.А.Макаров, И.Р.Высоцкий, И.В.Ященко. – М.: МЦНМО: АО “Московские учебники”, 2004. – 256 с.
4. Студопедия http://studopedia.ru/18_40339_matematicheskoe-ozhidanie.html