Методическая разработка урока; "Применение производной"
план-конспект урока по математике (11 класс)

КАЛИНОВСКИЙ ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ

«ДЖАНКОЙСКИЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ»

Методическая разработка

открытого урока

по ОУП. 05 МАТЕМАТИКА

Тема «Применение производной»

Разработчик:

Ибрагимова Анифе Ришатовна,

преподаватель математики

РАССМОТРЕНО И ОДОБРЕНО

предметной (цикловой) комиссией

естественно-математических и

электротехнических дисциплин

Протокол № __ от «__» ______ 20__ г.

Председатель ПЦК ___________

с. Калиновка,

2024 г.

Тема урока: «Применение производной»

                                                                                 Кредо:

         «Если мы будем учить сегодня так, как мы учили вчера, мы украдем у наших студентов завтра»  (Джон Дьюи)

Основная задача:

Дать глубокие прочные знания. Кроме передачи суммы знаний, надо развивать личность обучающегося на основе освоения способов деятельности.

Технология: развивающее обучение

Краткая характеристика особенностей группы, в которой реализуется данный урок.

Обучающиеся второго курса КФ ГБПОУ РК «Джанкойский профессиональный техникум», обучающиеся по профессии 23.01.14  «Электромонтер устройств (СЦБ)» с достаточным уровнем мотивации к предмету. Они грамотно используют таблицу производных основных функций и применяют производную в решении прикладных задач. Обучающиеся, наиболее успешные в области изучения точных наук, образуют группу лидеров, помогающих однокурсникам. В общении друг с другом обучающиеся доброжелательны.  Поэтому в проведении этого урока оправдана лекционно-консультативная деятельность обучающихся, имеющих высокий уровень мастерства в решении  прикладных задач.

Ресурсное обеспечение рабочей программы:

0.1 Башмаков М.И. Б 336 Математика: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования / М .И .Башмаков. — 7-е изд., стер. — М.: Издательский центр «Академия», 2020..

Д.2. Г.К. Муравин, О.В. Муравина Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень) 11 класс- М., 2022 г.

Д.5. Никольский С.М. и др. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень) 11 класс. - М.,2014г.

В учебном плане данный урок находится после изучения тем «Функции, их свойства и графики» и «Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические  функции» перед изучением тем «Первообразная» и «Интеграл».

Оборудование, используемое на уроке: карточки с задачами к уроку, проектор, презентации с тестовыми заданиями и решениями некоторых задач урока.

Тема «Производная и ее применение»

Тип урока: комбинированный (урок комплексного применения знаний в решении прикладных задач)

Методическая цель: сформировать у обучающихся профессиональные компетенции электромонтёра устройств сигнализации, централизации и блокировки (СЦБ) посредством освоения прикладного потенциала производной как инструмента анализа и оптимизации электротехнических процессов.

Цели урока: 

Образовательные:

-сформировать понятие о производной;

-изучить правила нахождения производных;

-решать прикладные задачи с помощью производной.

Развивающие:

-обеспечить повторение изученного материала, наиболее общих и существенных понятий, теорем и алгоритмов;

-развить умения знаний в конкретной ситуации;

-развить навыки реализации теоретических знаний в практической деятельности;

-развить умения сравнивать, обобщать, правильно сформулировать и излагать мысли;

-обеспечить проверку усвоения изученного материала;

-развить математическую компетентность обучающихся.

Воспитательные:

-создать условия для осознания необходимости самостоятельных действий при решении проблем;

-обучать объективной оценке своих возможностей и успехов;

-воспитывать навыки самоконтроля и взаимоконтроля;

-способствовать развитие навыков устной речи, умения грамотно вести диалог и аргументировать свои действия;

-воспитывать культуру общения, умения работать в паре, взаимопомощи;

-способствовать осознанию исторической ценности изучаемого материала.

Интеллектуально-развивающие:

-создать условия для проявлений творческого подхода к учебным задачам, выдвижению гипотез, постановке проблем и поиску путей их решения;

-обучать методам научного познания- анализу, сравнению, обобщению и систематизации учебного материала.

Методы проведения: 

- самостоятельная работа учащихся;

- деловая деятельность группы учащихся, имеющих высокий уровень мастерства в решении прикладных задач с помощью производной.

Форма проведения урока: деловая игра.

Ключевые компетенции:

Информационно-познавательные: умение работать с конспектом, умение слушать исследование, представляемое однокурсником, выбирать в исследовании главное, делать выводы и обобщать.

Коммуникативные: умение вести диалог, доказывать свою точку зрения.

Предметные: умение решать задачи с помощью производной; использовать правила нахождения производных.

К моменту проведения урока обучающиеся должны уметь:

-составлять алгоритм нахождения критических точек функции;

-находить промежутки возрастания(убывания) функции по алгоритму.

Планируемые результаты

Предметные:

знать определение производной, правила дифференцирования, таблицу производных элементарных функций;

понимать геометрический (касательная к графику) и физический (скорость изменения процесса) смысл производной;

уметь вычислять производные, исследовать функции, решать прикладные задачи технического профиля.

Метапредметные:

регулятивные — планировать решение задачи, контролировать промежуточные результаты, корректировать действия;

познавательные — анализировать техническую ситуацию, выбирать математический аппарат, интерпретировать результат в профессиональном контексте;

коммуникативные — аргументировать выбор метода, вести профессиональный диалог, представлять решение.

Личностные:

осознавать значимость математического аппарата для технической специальности;

проявлять аккуратность, логичность мышления, ответственность за точность расчётов.

План урока:

1.Организация начала занятия.

2.Вступление. Постановка цели и мотивация учебной деятельности студентов. Инструктаж по организации работы на уроке.

3.Проверка домашнего задания. Выводы о сфере практического применения производной.

4.Повторение и анализ основных теоретических фактов, ознакомление с историческими событиями, связанными с изучаемой темой.

5.Проверка знания студентами основных теоретических фактов. Применение знаний в стандартных или частично измененных ситуациях. Задания по карточкам.

6.Самостоятельная работа № 1( Устный тест №1)

7.Самостоятельная работа  №2

8.Применение знаний при решении более сложных задач.

9.Введение нового материала. Самостоятельная работа № 3

10. Проверка знаний студентов.

11. Самостоятельная работа (тест № 4)

12. Подведения итогов.

13.Самооценка. Выставление оценок студентам.

Ход урока

1. Организационный момент.
2. Вступление. Постановка цели и мотивация учебной деятельности студентов. Инструктаж по организации работы на уроке.

Вступительное слово преподавателя. Запишите тему урока: Производная и ее применение.

 Я надеюсь, что вы все хорошо подготовились к уроку и сможете показать, как знаете теоретический материал, посвященный данной теме, понимаете геометрический и механический смысл производной, алгоритмы исследования свойств функций с помощью производной. Я уверена, что вы продемонстрируете умение применять полученные знания при решении задач разного уровня сложности, а также навыки самоконтроля и самооценки.

Сегодня я - представитель фирмы «Алгоритм». Наша фирма специализируется на разработке и внедрении алгоритмов в различные сферы деятельности человека. На днях мы получили заказ, для выполнения которого необходимо увеличить штат сотрудников. Я предлагаю вам попробовать получить место в нашей фирме. При приеме на работу мы учитываем наличие таких личностных качеств, как компетентность, мобильность, умение находить необходимую информацию  и преобразовывать ее, умение работать в паре. Подробно эти качества раскрыты в резюме, которое находится у каждого на столе, и которое вы будите заполнять по ходу встречи. (Приложение1)

А также вы можете добавить к своему рейтингу 25 баллов за следующие виды работ( у каждого на парте оценочный лист)

-устные и письменные тесты разного уровня сложности,

-ответы на теоретические вопросы,

-подготовку докладов и исторических сообщений,

-решения задач у доски,

-ответы и выполнения практических заданий на рабочих местах,

-решения дополнительных задач в свободные минуты.

3. Актуализация опорных знаний.

Проверка домашнего задания. Выводы о сфере практического применения производной.

Ребята! На дом вы получили следующие задания, надо отыскать задачи прикладного характера, при решении которых используется производная. Один из студентов решает домашнее задание с объяснением у доски.

Задача.

Сигнальная ракета летит вертикально вверх так, что ее движение описывается законом s(t)=98t-4,9t2 (t-в секундах, s-в метрах).

Найдите скорость ракеты через 5 с движения.

Историческая справка. Повторение теоретического материала.

Один из студентов делает сообщение об истории развития дифференциального исчисления (4 б.) В это время двое студентов готовятся у доски к ответам по карточкам, содержащим вопросы теоретического содержания:

К. №1 Определение производной. Правила дифференцирования.

К.№2 Геометрический и механический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции.

И один студент демонстрирует таблицу производной по тестам на наглядном пособии.

Проверка знания студентами основных теоретических фактов, умения применять их в стандартных или частично измененных ситуациях.

 Итак, на предыдущем уроке мы говорили о скорости движения самолета, поезда, автобуса, ракеты, о скорости падения камня, вращения шкива и т .д. Говорили о скорости выполнения определенной работы, о скорости протекания химической реакции, о быстроте роста населения в данном городе. Т.е о скорости мы говорили по отношению к любой величине, которая изменяется с течением времени. И для этого использовали понятие производной.

Изучили физические производные величины:

v (t)=x′(t)-скорость

a (t)=v′(t)-ускорение

I (t)=q′(t)-сила тока

C (t)=Q′(t)-теплоемкость

d (l)=m′(l)-линейная плотность

k (t)=l′(t)-коэффициент линейного расширения

(t)=(t) -угловая  скорость

N (t)=A′(t)-мощность

            -угловое ускорение

Задание № 1.(Самостоятельная работа №1). Устный тест. Для студентов демонстрируют  слайд по четыре варианта ответов к ним. На каждый вопрос студенты по команде преподавателя поднимают сигнальные карточки с номерами ответов, которые по их мнению. Являются правильными. ( 5 б.) За неправильный ответ (-0,5б.) Преподаватель записывает их в оценочный лист.

Задание №2.(Самостоятельная работа №2).Письменный тест из восьми заданий в каждом из четырех разделов. Студенту надо выписать столбиком соответствующие друг другу элементы таблицы. После проверки теста, заносят их в свои оценочные листы. Для проверки демонстрируется слайд «Проверь себя». Выявляются ошибки, проводится анализ.

Поставьте знак «+» или «-» в строчках резюме, относящихся к тесту.

4. Объяснение нового материала.

Сегодня на уроке мы будем рассматривать задачи прикладного характера, связанные с вашей будущей профессией.

 Задача о мгновенной величине тока. Представим себе электрическую цепь с некоторым источником тока. Обозначим через q=q(t) количества электричества ( в кулонах), протекающее через поперечное сечение проводника за время t. Тогда q(t1 )-q(t0) есть количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента t1 момента t1 . Средней силой тока за указанный промежуток времени называется число  Icp=

В случае постоянного тока средняя сила тока I будет одинаковой для любых различных, но одинаковых по длительности промежутков времени. Если в цепи переменный ток, то I, будет различной для различных, но одинаковых по длительности промежутков времени. Поэтому для характеристики цепи переменного тока входят понятие мгновенной силы тока, или силы тока в данный момент времени:

Мгновенной силой тока I (t) в момент времени t называется предел (если он существует), к которому стремится средняя сила за ′промежуток времени от t до t0 ,

I cp =

Начинаем проверку ваших личных качеств. Вам предлагается      выполнить самостоятельную работу.

Задание № 3

 Самостоятельная работа № 3 на 6мин. (Приложение № 3)

1 Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с моментаt=0, задается формулой q=3t2+t+2. Найдите силу тока в момент времени t=3c.

 (ответ: 19 А )

2.Изменение силы тока в зависимости от времени выражено уравнение I=2t2-5t.

(I- в амперах,  t- в секундах). Найти скорость изменения силы тока в конце 10-й секунды.(ответ:35 А/с)

3.Найти силу тока I , если количество изменяется по закону Q(t)=2t2+1

электричества, проходящее через поперечное сечение проводника за 10 с.

(ответ: 40 А)

4.В какие моменты времени ток в цепи равен нулю, если количество электричества, протекающее через проводник, задается формулой:

q=4t+2. (ответ: 0)

Для проверки демонстрируется слайд «Проверь себя». Выявляются ошибки, проводится анализ.

Поставьте знак «+» или «-» в строчках резюме.

5. Закрепление. Проверка усвоения знаний и навыков их применения студентами.

В закреплении давайте решим экономическую задачу и задачу из учебника № 5.98

Пусть х- расстояние ВР, 0,тогда КВ=2+92 ; РL=15-х. Формула нахождения времениt= , t1=, t2= ;

t(x)=+ ; Найдем наименьшее значение функции на отрезке

[0; 15].

t′(x)= - ;                   -=0 ;      х=12;    

Ответ: На расстоянии 12 км от пункта В.

Экономическая задача:

Выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли которой может быть смоделирована зависимостью: П(q)=R(q)-C(q)=q2-4q+8

Решение:

П′(q)=R′(q)-C′(q)=2q-4;     2q-4=0;     q=2.

При q2П′(q)  прибыль убывает;

При q2П′(q)  прибыль возрастает;

При q2  прибыль принимает минимальное значение.

Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы?

Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 4-х единиц продукции (p(q=4)=p(q=0)=8), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений или оборудования.

Если же фирма способна производить больше 4-х единиц, то оптимальным для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных мощностей.

В закреплении делаю вывод.

Применение производной для решения задач требует от студентов нетрадиционного мышления. Знание нестандартных методов и приемов решения задач способствует развитию нового, нешаблонного мышления, которое можно успешно применять также и в других сферах человеческой деятельности (вычислительная техника, экономика, физика, химия и т.д.) Это доказывает актуальность данной темы

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.

1. Найти производную функции f′(x).
2. Найти стационарные и критические точки, принадлежащие отрезку [a; b]
3. Вычислить значение функции y=f(x)  в точках, отображенных шагом 2, и в точках а и b.
4. Сравнить все полученные значения и выбрать среди них наименьшее и наибольшее.
5. Записать ответ:

Теперь рассмотрим намного сложнее задачи. Работа по карточкам.

Самостоятельная работа № 4

1.Пусть электрическая лампочка движется с помощью блока вдоль вертикальной прямой ОВ. На каком расстоянии от горизонтальной плоскости следует ее разместить, чтобы в точке А этой плоскости освещенность была наибольшей ( ОА= а) (ответ: х = )

2.Над центром круглого стола радиуса r висит лампа. На какой высоте следует подвесить эту лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую освещенность. (h= )

6.Итог урока. Самооценка. Выставление оценок преподавателем.

Пока группа экспертов проверяет работы студентов по подготовленным шаблонам, студенты подводят итоги, отвечая на вопросы преподавателя:

*назовите имена ученых, внесших вклад в создание и развитие дифференциального исчисления,

*с какими новыми понятиями вы познакомились в процессе изучения новой темы?

*какой новый алгоритм стал вам известен?

*задачи, какого рода, решаются с помощью производной?

Преподаватель предлагает студентам вспомнить, какие цели ставились в начале урока, и обсудить, все ли удалось выполнить.

В это время эксперты завершают работу по проверке самостоятельной работы №4.Полученные результаты фиксируются в оценочных листах., а также в резюме.

 Тем, кто готов к работе в фирме, преподаватель может вручить удостоверение, а остальным советует не расстраиваться, продолжить развитие своих личностных качеств. Выставление оценок.

В заключении урока я хочу вам прочитать стихотворение:

«Музыка может возвышать или умиротворять душу,

Живопись- радовать глаз,

Поэзия- пробуждать чувства,

Философия- удовлетворять потребности разума,

Инженерное дело- совершенствовать материальную сторону жизни людей,

А математика способна достичь всех этих целей»

 (американский математик Морис  Клайн.)

7. Домашнее задание.

Никольский С.М. Алгебра и начала математического анализа,  учебник для общеобразовательных организаций,11 класс,- М: Просвещение, 2014, № 5.96

По желанию, выполните исследовательскую работу на тему: «Применение производной»

Было ли вам трудно?                                 Что понравилось?

Было ли интересно работать?                    Какие есть вопросы?

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УРОКА.

 Этапы урока в соответствии с технологической картой.