Презентация "Перестановки и размещения"
презентация к уроку по математике (10 класс)

Слайд 1

Решите задачи Две футбольные команды «Ротор» и «Статор» играют серию из трёх матчей. Вероятность ничьей в каждом матче равна 0,4. Силы команд равны, поэтому вероятности выигрыша и проигрыша каждой команды в одном матче одинаковы. Найдите вероятность того, что все три матча выиграет команда «Ротор ». Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 8».

Слайд 2

Решите задачи По отзывам покупателей Василий Васильевич оценил надёжность двух интернетмагазинов . Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,82. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,8. Василий Васильевич заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар . Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,3. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Слайд 3

Перестановки и размещения

Слайд 4

Перебор комбинаций Если искомых комбинаций немного, то их можно последовательно перебрать (т. е. выписать, перечислить) одну за другой Пример 1. Перечислим все двузначные числа, которые можно составить из цифр 0, 1, 2: 10 , 11, 12, 20, 21, 22 . Чтобы не запутаться при перечислении комбинаций, важно установить некоторое правило, по которому они перечисляются. Самое универсальное правило — перебирать все комбинации по порядку . Для чисел перебор по порядку означает «по возрастанию», а для слов — «по алфавиту».

Слайд 5

Правило умножения Сформулируем его сначала для двух элементов: если первый элемент в комбинации можно выбрать a способами, после чего второй элемент — b способами, то общее число комбинаций из двух элементов будет равно a · b . Пример 2. Сколько двузначных чисел можно составить, если использовать только цифры 0, 1, 2 ? 2 · 3 = 6

Слайд 6

Общий случай Если комбинация должна состоять из k элементов и при этом первый элемент в комбинации можно выбрать a 1 способами, после чего второй элемент — a 2 способами, третий элемент — a 3 способами и т. д., то общее число таких комбинаций будет равно произведению k сомножителей: a 1 · a 2 · a 3 · … · a k . Пример 2. Сколько трёхбуквенных слов можно составить, используя только буквы А и Б? Первую букву такого слова можно выбрать двумя способами, вторую — также двумя способами и третью — тоже двумя. Всего таких комбинаций будет 2 · 2 · 2 = 2 3 = 8.

Слайд 7

Перестановки и факториал Перестановкой из N различных элементов называют комбинацию, в которой все эти N элементов расположены в определенном порядке. Элементами , которые участвуют в перестановке, могут быть числа, буквы, шары и вообще любые объекты. Выпишем для примера все перестановки из чисел 1, 2, 3 : 123 , 132, 213, 231, 312, 321

Слайд 8

Перестановки Выведем общую формулу для количества перестановок из N элементов. Будем использовать для этого правило умножения. Первый элемент перестановки можно выбрать N способами; после этого второй элемент — N – 1 способами (поскольку один элемент уже выбран); третий — N – 2 способами и т. д. до последнего элемента, который можно будет выбрать только одним способом (это единственный элемент, который ещё не был выбран). По правилу умножения общее количество комбинаций будет равно произведению N ∙ (N – 1) ∙ (N – 2) ∙ … ∙ 1 . Это произведение называется в математике факториалом числа N: N! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ N

Слайд 9

Количество перестановок из N элементов обозначается P N . Если использовать это обозначение: P N = N ! Пример 3 . Сколькими способами можно расставить 8 участников финального забега на 8 беговых дорожках? Каждый такой способ — это перестановка из 8 элементов. Всего таких перестановок будет P 8 = 8! = 40 320

Слайд 10

Размещения Размещением из N элементов по k называют комбинацию, в которой любые k из этих элементов расположены в определенном порядке Заметим , что все элементы размещения, как и элементы перестановки , должны быть различными число способов, которым можно выбрать k из N заданных элементов, с учетом порядка в котором мы их выбираем

Слайд 11

Размещения Пример 4. В теннисном турнире участвует 12 спорт- сменов . Сколькими способами могут распределиться три призовых места? Каждое распределение призовых мест — это размещение из 12 элементов по 3. В самом деле, мы должны выбрать трёх призёров, а потом разместить их по трём местам. Всего таких размещений будет

Слайд 12

Размещения Пример 5 . В текущей четверти девятиклассники изучают 15 предметов. Сколькими способами можно составить расписание из 5 уроков, если все предметы должны быть разные? Каждое допустимое в этой задаче расписание — это размещение из 15 по 5. Число таких размещений равно