Решение систем линейных уравнений методом Крамера. Специальность "Водные биоресурсы и аквакультура", 2 курс.
методическая разработка по математике

Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Условия применения метода

• Система должна быть квадратной, то есть количество уравнений должно совпадать с количеством неизвестных.
• Определитель матрицы коэффициентов должен быть ненулевым. Если определитель равен нулю, система либо не имеет решений, либо имеет бесконечное количество решений.

Алгоритм решения

1. Вычислить определитель матрицы системы Δ . Убедиться, что он не равен нулю. 
2. Найти определители Δ_i для каждой переменной xi. Они получаются из определителя Δ заменой i-го столбца на столбец свободных членов. 

Определение

Определителем системы называют запись чисел в квадратной таблице, в соответствие которой ставится число по некоторому правилу.

Правило таково: пусть даны четыре числа a, b, c, d. Пусть они имеют следующее расположение в квадратной таблице: Значение определителя системы в этом случае находится по формуле:  ad – cb.

Определитель, составленный из коэффициентов при переменных в линейной системе уравнений, называется главным определителем системы. Будем обозначать его Δ.

 Пусть дана система линейных уравнений:  Нужно: 

1. Вычислить главный определитель системы. 

2. Вычислить вспомогательные определители:

  =               =

  Формулы Крамера для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными:

Например, у системы уравнений: а)

  будет иметь вид .  

Для решения системы линейных уравнений методом Крамера нам понадобятся ещё два определителя, которые называются вспомогательными:

    В определитель Δₓ первым столбцом записываем правые части уравнений (так называемые свободные члены уравнений), второй столбец оставляем таким же, как в главном определителе системы. В определитель Δу    вторым столбцом записываем правые части уравнений, а первый столбец оставляем таким же, как в главном определителе системы.

        х = 88/22 = 4; у = 66/22 = 3.

б)        х + 3у = 7,                          

           2х – 5у = 3               =      = 1*(-5) – 2*3 = -11.

     х  =       = 7 * (-5) – 3 * 3 = -44

     у   =       = 1 * 3 – 2* 7 = - 11.        

Х = - 44/ -11 = 4;    у = -11/ -11 = 1.    Ответ: х = 4, у = 1.

Задания для самостоятельного решения:

1)    2х – у = 8,

       3х + 2у = 5.       Ответ: х = 3, у = -2.

2)      3х – 2у = 4,

          х + 3у = 5.       Ответ: х = 2, у = 1.

3)     2х + у = 12,

        7х – 2у = 31.     Ответ: х = 5, у = 2.