Статья. Методические особенности задач с параметрами
статья на тему

 Методические особенности задач с параметрами .

   Одними из наиболее сложных задач для учащихся в курсе математики - это задачи с параметрами, так как требуют от них умения рассуждать логически и анализировать полученные решения. С одной стороны, для выполнения этих задач не требуется знаний сверх школьной программы, но, с другой стороны, необходимо глубокое понимание всех разделов элементарной математики.
    Это, вообще говоря, очевидно, так как  большинство учащихся не могут свободно  выполнять задания  с параметрами. Хочется отметить , что в последнее время задачи с параметрами стали встречаться в  программе по математике  средней общеобразовательной школы , но в основном не упоминаются  в явном виде , отводится очень мало времени на их изучение . Чаще всего это разбирается обзорно в разделе « Для тех кто хочет знать больше». Задачи  с параметрами частично  освещается в рамках школьного курса математики. Достаточно вспомнить школьные уравнения: ; ; ;   ctg=, в которых  есть не что иное, как параметры.

Задачам с параметрами учителям математики следовало бы уделять больше внимания на  уроках или в рамках работы с учащимися, проявляющими повышенный интерес к изучению  предмета. Данные задачи  представляют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков. Хотя, то же самое можно сказать о многих темах. Выясним, в  чем же состоит основная методическая особенность уравнений с параметрами?

В самом начале знакомства с параметрами у учеников возникает некий психологический барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками параметра.

С одной стороны, параметр в уравнение следует считать величиной известной, а с другой – конкретное значение параметра неизвестно. С одной стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой – он может принимать разные значения. Получается, что параметр в уравнении – это неизвестная известная, переменная постоянная величина. Этот «каламбур» очень точно отражает существо тех сложностей, которые нужно преодолеть ученикам.

Представляется целесообразным начинать изучение уравнений с параметром с решения простых уравнений без ветвлений.

Например:  ответ: при  

 ответ: при  

 ответ: при  

; ответ: при  

 при  

Подобные уравнения помогают учащимся привыкнуть к параметру, к необычной форме ответов  при значении уравнений. Замечу, что даже такие, казалось бы, совершенно элементарные уравнения часто требуют от учителя подробных комментариев и терпеливых объяснений.

В качестве второго шага на пути изучения уравнений с параметром следует выделить решение простейших уравнений с небольшим числом легко угадываемых ветвлений. Приведу пример таких уравнений:

1. . Ответ: при ,  

При  корней нет.

Чтобы из-за скобок и знаков запись ответа не показалась устрашающей, его можно записать так: «при  корней нет». Это пожалуй тот случай, когда методико-математическая уловка может иметь значительный психологический вес.

2.  Ответ: при  корней нет

 любое число из множества R.

3. . Ответ: при

                                  при    корней нет

4.  Ответ: при

                                 при

                                 при

Решение: Если , т.е. , то 

или после сокращения

При  уравнение принимает вид т.е не имеет корней.

При  исходное уравнение принимает вид , т.е. любое действительное число является его корнем.

Ответ: при

           при    корней нет

           при   – любое действительное число.

Несложные уравнения с параметром, при решении которых требуется дополнительная проверка, связанная с ограничением их области определения, составляют следующий шаг в изучение уравнений с параметром.

Пример:

6)

Решение. Очевидно, что . Умножив обе части уравнения на  

получим , или  Затем проверим, нет ли таких значений параметра , при которых найденное значение  было бы равно числу 2, т.е. решим уравнение  относительно . Получим, что при  , но число 2 не входит в область определения исходного уравнения, следовательно, не может быть его корнем.

Ответ: при  корней нет

            при  0 ,  

7)

Решение. Очевидно, . Приведя исходное уравнение к виду , заметим, что  уравнение не имеет корней, а при  получаем . Осталось проверить, нет ли таких значений параметра  при которых найденное значение равно -1, т.е. нужно решить уравнение  относительно .

Поскольку последнее уравнение не имеет корней, других вариантов, кроме как рассмотренных выше, не имеется.

Ответ: при

            при   корней нет.

8)

Решение. Очевидно, . При условии, что  исходное уравнение можно упростить:

После преобразований получаем уравнение , которое при  не имеет корней, а при . Теперь проверим, нет ли таких значений параметра «», при которых найденное значение  было бы равно -3 или 2. Для этого значения относительно  уравнения:  и

Корень первого уравнения -0,2 , корень второго уравнения 0,2 , т.е. при  соответствующие значения  не входят в область определения исходного уравнения.

Ответ: при  корней нет

            при

Все рассмотренные выше уравнения имеют ясную дидактическую цель – помочь учащимся составить представления о параметре и  о том, что значит решить уравнение с параметром. Другими словами, предложенные уравнения помогают учащимся осмыслить определение : «Пусть дано равенство с переменным . Если ставится задача для каждого действительного значения, а решить это уравнение относительно , то уравнение называется уравнением с переменной x и параметром a . Решить уравнение с параметром  – это значит для каждого значения а найти значение  , удовлетворяющее этому уравнению».

Для развития умений и навыков , ученикам, имеющим даже небольшой опыт решения уравнений с параметром, полезно предлагать упражнения на составление уравнений с параметром. Рассмотрю  некоторые из таких упражнений:

1. Составьте уравнение с параметром  такое, что каждому значению параметра соответствовало единственное значение переменной .

(Примеры ответов      )

2. Составьте уравнение с параметром , которое при любом значении параметра не имеет корней.

 (Примеры ответов:).

3. Составьте уравнение с параметром, которое не имеет корней при всех  <0.

  (Примеры ответов:).

4. Составьте уравнение с параметром, такое, чтобы при каком-то одном значении параметра корнем уравнения было любое действительное число, а при всех остальных значениях параметра уравнение не имело бы корней.

 (Примеры ответов:    

 .

5. Составьте логарифмическое уравнение с параметром.
6.  (Примеры ответов:    ) .

Итак,  накладывая различные условия на значения параметра, переменной, на число корней или число ветвлений, на тип уравнения и т.д, в зависимости от целей и математической подготовки класса, учащимся можно предложить много разнообразных заданий на составление уравнений с параметром .

 Рассказ об уравнениях с параметром становится более наглядным, более доступных для учащихся, если использовать блок схемы и геометрические интерпретации.

К сожалению, в рамках школьной программы очень сложно вести подробный разговор о задачах с параметрами, в частности, об уравнениях с параметрами. Однако более близкое знакомство с параметрами представляется не только желательным, но и необходимым. Отработка же прочных навыков решения уравнений с параметрами, тонкости и нюансы, различные приёмы решения уравнений – прерогатива факультативных занятий и в рамках ведения предмета по выбору.