Статья" Особенности решения задач с параметром графическим методом"
статья по алгебре (10 класс)

Статья «Особенности решения задач с параметром графическим методом»

Для учащихся задачи с параметром, как правило, являются сложными.

При их решении необходимо продемонстрировать высокий уровень математической подготовки, навыки исследовательской деятельности, владение различными методами и приемами, в том числе и графическим методом.

Суть этого метода: рассмотрим сначала уравнение с одной переменной f(х)=0. В системе координат хOy строим график функции у= f(X) и находим абсциссы точек пересечения графика с осью Ох. Эти абсциссы и являются корнями данного уравнения. Иногда для решения уравнения f(X)=0 его заменяют равносильным уравнением g(x)=h(x), а затем строят график функции у= g (х) и у= h(х), находят абсциссы точек пересечения построенных графиков.  

Решение задач с параметром графическим методом имеет ряд особенностей. Особенность основана на нахождении всех точек данной плоскости, координаты которых удовлетворяют заданному в условии задачи соотношению. При этом используются различные системы координат: хOy, координат хOа, аОх  (для  уравнений, неравенств с переменной х и параметром а, а также их систем и совокупностей). Их выбор обусловлен особенностями задачи, простотой построения графиков и т. д.

Рассмотрим уравнение f(х,а)=0 с двумя переменными х и а. Пусть  4х – 3а = 12. Выразим х через а: х= а + 3. В системе координат аОх графиком этого уравнения является прямая линия. Здесь переменная х является линейной функцией параметра а.

При решении целого ряда задач с параметром бывает полезным выразить параметр через переменную. Из уравнения 4х-3а=12 получим: а= х – 4. В данном случае параметр а является линейной функцией переменной х.

В системе координат хОу данное уравнение задает семейство графиков функций у=4х-3а-12 (они параллельны прямой у=4х, где а=-4). Решениями уравнения 4х-3а=12 являются абсциссы их точек пересечения с осью Ох при заданных значениях параметра а.

Графический метод обладает целым рядом преимуществ перед аналитическим: он более нагляден и эффективен в случае, когда необходимо ответить на качественный вопрос или провести анализ множества решения. Однако надо помнить, что универсальных методов и приемов, пригодных для решения любой математической задачи, не существует.