Задачи по теории вероятностей.
методическая разработка на тему
Даны задачи по темам:
комбинаторика, операции над событиями, вероятность событий. полная вероятность, формула Байеса,дискретные и непрерывные случайные величины.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
zadachi_po_teorii_veroyatnostey_-_kopiya.doc | 94.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Сборник задач
по теории вероятностей и математической статистике.
Основные формулы комбинаторики.
1. Вычислить:
2. Решить уравнения:
3. Группа студентов должна сдавать экзамены по четырем предметам. Сколькими способами можно составить расписание экзаменов?
4. В поезде 6 вагонов. Сколькими способами можно распределить по вагонам 6 проводников, если за каждым вагоном закрепляется один проводник?
5. Сколькими способами в бригаде из 8 рабочих можно распределить три путевки: в дом отдыха, в санаторий и на турбазу?
6.Сколько можно изготовить различных трехцветных флажков, если использовать следующие цвета: белый, синий, красный, желтый, зеленый, черный?
7. В спортивной секции занимаются 12 баскетболистов. Сколько есть способов составить команду из 5 человек?
8. В стройотряде 15 студентов. Сколькими способами их можно разбить на три бригады численностью 3, 7 и 5 человек?
9. На погранзаставе 40 рядовых и 8 офицеров. Сколькими способами из них можно составить наряд по охране границы, если он состоит из 2 офицеров и 4 рядовых?
10. Из 12 красных и 8 белых гвоздик надо составить букет так, чтобы в нем были 3 красные и 2 белые гвоздики. Сколькими способами можно составить такой букет?
11. Для проведения конкурса в группе из 20 студентов надо выбрать комиссию: председателя, заместителя и 3 рядовых членов. Сколько есть вариантов?
12. В магазине 8 сортов конфет в коробках и 12 сортов шоколадок. Надо купить или 2 коробки конфет, или 7 шоколадок (разных). Сколько есть вариантов?
13. Из 20 вопросов к экзамену студент 12 выучил, 5 совсем не смотрел, а в остальных
что-то знает, а что-то нет. На экзамене в билете будет три вопроса.
а) найдите количество возможных вариантов билета;
б) сколько из них тех, в которых студент знает ответы на все вопросы;
в) сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трех типов?
14. В группе 30 человек. Из них надо выбрать или 5 для участия в кроссе, или 8 человек для студенческого хора. Сколько всего есть вариантов?
15. В чемпионате по футболу – 16 команд. Каждая команда играет с каждой. Сколько всего будет сыграно матчей? (Считать пары упорядоченными, т.к. одна команда играет дома, другая – на выезде).
16. Сколькими способами можно выбрать 6 пирожных, если есть 11 разных сортов?
17. Сколькими способами можно расставить на первой линии шахматной доски белые фигуры (1 король, 1 ферзь, 2 ладьи, 2 коня, 2 слона)?
18. Сколько различных «слов» можно получить. переставляя буквы в слове «математика»?
19. Сколько различных «слов» можно получить, переставляя буквы в слове «комбинаторика»?
20. Сколь есть вариантов расставить на одной полке учебники: 4 математики, 5 физики, 3 химии и 1биологии?
События.
Операции над событиями.
- Определить вид каждого из событий:
А - появление 10 очков при бросании кубика;
А- появление 10 очков при бросании трех кубиков;
А - появление 20 очков при бросании кубика;
А- наугад выбранное двузначное число не больше 100;
А- появление двух гербов при бросании двух монет.
- Являются ли несовместными события:
- Появление герба при бросании монеты; появление цифры при бросании монеты.
- Появление трех очков при бросании кубика; появление нечетного числа очков.
- При подбрасывании двух монет появление герба на одной из монет; появление герба на другой монете.
3. Являются ли равновозможными события:
- Появление трех очков при бросании кубика; появление пяти очков.
- Появление двух очков при бросании кубика; появление четного числа очков.
- Промах при первом выстреле из двух выстрелах по мишени; промах при втором выстреле.
4. Образуют ли полную систему событий:
- Появление герба при подбрасывании монеты; появление цифры.
- При трех выстрелах по мишени ни одного попадания; одно попадание; два попадания.
5. Найти сумму событий.
а) Испытание – два выстрела по мишени:
- попадание с первого выстрела;
- попадание со второго выстрела.
б) Испытание – бросание игрального кубика:
- появление одного очка;
- появление двух очков;
- появление трех очков.
в) Испытание – приобретение лотерейных билетов:
- выигрыш 100 рублей;
- выигрыш 1000 рублей;
- выигрыш 25 000 рублей;
6. Найти произведение событий.
а) Испытание – два выстрела по мишени:
- попадание первым выстрелом;
- попадание вторым выстрелом.
б) Испытание - бросание игрального кубика:
- непоявление трех очков;
- непоявление пяти очков;
- непоявление нечетного числа очков.
7. Назовите события, противоположные данным:
- выпадение двух гербов при бросании двух монет;
- появление белого шара, если опыт состоит в извлечении одного шара из урны, в которой имеются белые, черные и красные шары;
- пять попаданий при пяти выстрелах;
- не более трех попаданий при пяти выстрелах;
- хотя бы одно попадание при пяти выстрелах.
Вероятность событий.
- В группе 17 юношей и 12 девушек. Из них выбрано 7 человек. Какова вероятность, что среди них 3 девушки?
- Найти вероятность того, что при бросании двух кубиков хотя бы на одном выпадет число 6.
- В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Найти вероятность, что:
нет бракованных; все бракованные.
4. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку выбрали 9
человек. Найти вероятность, что среди них 5 отличников.
5. В урне 10 красных, 15 синих и 5 белых шаров. Из нее вынимают наугад один
шар. Какова вероятность того, что этот шар не белый?
6. Какова вероятность, что наугад взятое двузначное число из одинаковых
цифр; не из одинаковых цифр?
7. Электронный прибор состоит из 2 последовательно включенных блоков.
Вероятность выхода из строя за один месяц работы I блока – 1/3; II – 1/4, а
двух вместе – 1/6. Найдите вероятность безаварийной работы прибора в
течение месяца.
8. Вероятность попадания в мишень одного стрелка 0,65, а второго – 0,6.
Найти вероятность попадания в мишень при одновременном выстреле двоих.
9. Список вопросов к экзамену из трех разделов.
В I – 40 вопросов, из них студент знает 30;
во II – 30 вопросов, из них студент знает 15;
в III - 30 вопросов, из них студент знает 10.
Билет содержит по одному вопросу из каждого раздела. Какова вероятность
Правильного ответа по билету?
10. В ящике пуговицы: 50 белых, 20 красных, 20 зеленых и 10 синих. Какова
Вероятность, что взятая пуговица синего или зеленого цвета?
11. Три стрелка стреляют в цель. Вероятность попадания первого – 0,75;
второго – 0,8; а третьего – 0,9. Какова вероятность, что все попадут
одновременно; попадет хотя бы один?
12. В корзине 10 яблок, 12 груш, 8 апельсинов. Берут три фрукта. Какова
Вероятность, что все не апельсины?
13. В лотерее 100 билетов. Два билета с выигрышем по 10000 рублей, 6 билетов
по 5000, 8 билетов по 1000 рублей. Берут два билета. Какова вероятность,
что оба выиграют (не выиграют) ?
14. В лотерее 200 билетов, из них 10 с выигрышем. Купили 5 билетов. Какова
вероятность, что хотя бы один из них с выигрышем?
Полная вероятность.
Формула Байеса.
- В первой урне 6 белых и 4 черных шара, во второй – 3 белых и 7 черных шаров. Из первой урны наугад извлекается один шар и перекладывается во вторую урну. Затем из второй урны наугад достается один шар. Какова вероятность того, что он белый?
- Часы одной марки изготавливаются на трех заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 20% всей продукции, второй - 30%, третий - 50%. В продукции первого завода спешат 5%всех часов, второго - 3%, третьего - 2%. Какова вероятность того, что купленные в магазине часы спешат?
- На станках I, II, IIIизготавливают 25%, 35% и 40% всех деталей. Брак составляет 15%, 12% и 6% соответственно. Какова вероятность, что наугад взятая деталь дефектна?
- Детали для проверки на стандартность попадают к одному из двух контролеров. Вероятность того, что она попадет к первому 0,6; ко второму – 0,4. Вероятность того, что деталь будет признана стандартной первым контролером – 0,94, а вторым – 0,98. Какова вероятность, что стандартную деталь проверил первый контролер?
- В первой коробке 20 ламп, из них 18 стандартных, во второй – 10 ламп и 9 стандартных. Из второй коробки взяли лампу и переложили в первую. Найти вероятность того, что лампа, взятая из первой коробки, стандартная.
- Два охотника независимо друг от друга стреляют одинаковыми пулями в лося. В результате лось был убит одной пулей. Как охотники должны поделить тушу убитого лося, если известно, что вероятность попадания у первого охотника 0,3, а у второго – 0,6?
- На склад от трех поставщиков поступило 200, 300 и 500 изделий соответственно. Продукция первого поставщика имеет 5% брака, второго – 6%, третьего - 4%. Найдите вероятность получения со склада годного изделия.
- На склад поступают одинаковые электрические утюги. Первый завод поставляет 80%, второй - 20% всей продукции. Известно. Что первый завод выпускает 90% продукции первого сорта, второй – 95%. Какова вероятность того, что проданный утюг первого сорта?
- На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,3% брака, второй – 0,2% и третий – 0,4%. Найдите вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго – 2000 и с третьего – 2500 деталей.
Дискретные случайные величины.
- Составить закон распределения выпадения монеты орлом, если она подброшена 4 раза. Найти математическое ожидание этой величины.
- Составить закон распределения появления числа 6, если кубик подбросили три раза. Найти математическое ожидание этой величины.
- Устройство состоит из трех элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Найти математическое ожидание этой величины.
- Составить закон распределения вероятностей количества появления события А в трех испытаниях, если вероятность его появления в каждом испытании 0,6. Найти математическое ожидание этой величины.
- Составить закон распределения появления числа 2, если кубик подбросили четыре раза. Найти математическое ожидание этой величины.
- Даны законы распределения случайных величин. Найти их числовые характеристики:
Х | 4,3 | 5,1 | 10,6 |
Р | 0,2 | 0,3 | 0,5 |
Х | -5 | 2 | 3 | 4 |
Р | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
Х | 131 | 140 | 160 | 180 |
Р | 0,05 | 0,1 | 0,25 | 0,6 |
Непрерывные случайные величины.
- Функция распределения имеет вид:
Найти вероятность того, что в результате испытания х примет значения из промежутка (0; 2). Построить график.
- Функция плотности распределения имеет вид:
Найти вероятность того, что в результате испытания х примет значения из промежутка (0,5; 1). Построить график.
- Функция распределения имеет вид:
Найти f(х). Построить графики F(х) и f(х).
- Функция распределения имеет вид:
Найти вероятность того, что в результате испытания х примет значения из промежутка (0; 2), (3; 4). Составьте функцию плотности. Постройте графики.
- Функция распределения имеет вид:
Найти вероятность того, что в результате испытания х примет значения из промежутка (1; 2,5), (2; 4). Составьте функцию плотности. Постройте графики.
- Функция распределения имеет вид:
Найти вероятность того, что в результате испытания х примет значения из промежутка (0; 3), (-1; 1). Составьте функцию плотности.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Решение комбинаторных задач и задач по теории вероятности
Данную презентацию составил ученик 9 класса для проверки домашнего задания по изучаемой теме. Тексты задач взяты из сборника для подготовки к ГИА "Математика 9 класс" под редакцией Ф.Ф.Лысенко и С.Ю. ...
Урок Решение задач по теории вероятностей. Модель "игральная кость"
Материал данного урока содержит задачи типа В10 ЕГЭ 2012 года и может быть использоваться учителем как на уроках математики в 9-11 классах, так и на факультативных занятиях....
Урок Решение задач по теории вероятностей. Модель "игральная кость"
Материал данного урока содержит задачи В10 ЕГЭ 2012 и безусловно может использоваться учителем как на уроках математики в 9-11 классах, так и на факультативных занятиях....
Подготовка к ЕГЭ. Решение задач по теории вероятностей.
Презентация содержит решение задач по теории вероятностей. Можно использовать в 11 классе при подготовке к ЕГЭ....
Задачи по теории вероятности
Зачастую преподавателям недостаточно материала в учебниках для изучения данной темы. Я предлагаю материал по теме «Элементы комбинаторики» в помощь преподавателям математики....
Задачи по теории вероятности
Зачастую преподавателям недостаточно материала в учебниках для изучения данной темы. Я предлагаю материал по теме «Элементы комбинаторики» в помощь преподавателям математики....
Задача В10.Теория вероятности.Урок повторения
Уважаемые коллеги! Предоставляю для вашего внимания материал для повторения и подготовки к ЕГЭ(задача В 10)...