Задачи по теории вероятностей.
методическая разработка на тему

Сборник задач

 по теории вероятностей и математической статистике.

Основные формулы комбинаторики.

1. Вычислить:

2. Решить уравнения:

3. Группа студентов должна сдавать экзамены по четырем предметам.    Сколькими   способами можно составить расписание экзаменов?

4. В поезде 6 вагонов. Сколькими способами можно распределить по вагонам 6 проводников, если за каждым вагоном закрепляется один проводник?

5. Сколькими способами в бригаде из 8 рабочих можно распределить три путевки: в дом отдыха, в санаторий и на турбазу?

6.Сколько можно изготовить различных трехцветных флажков, если использовать следующие цвета: белый, синий, красный, желтый, зеленый, черный?

7. В спортивной секции занимаются 12 баскетболистов. Сколько есть способов составить команду из 5 человек?

8. В стройотряде 15 студентов. Сколькими способами их можно разбить на три бригады численностью 3, 7 и 5 человек?

9. На погранзаставе 40 рядовых и 8 офицеров. Сколькими способами из них можно составить наряд по охране границы, если он состоит из 2 офицеров и 4 рядовых?

10. Из 12 красных и 8 белых гвоздик надо составить букет так, чтобы в нем были 3 красные и 2 белые гвоздики. Сколькими способами можно составить такой букет?

11. Для проведения конкурса в группе из 20 студентов надо выбрать комиссию: председателя, заместителя и 3 рядовых членов. Сколько есть вариантов?

12. В магазине 8 сортов конфет в коробках и 12 сортов шоколадок. Надо купить или 2 коробки конфет, или 7 шоколадок (разных). Сколько есть вариантов?

13. Из 20 вопросов к экзамену студент 12 выучил, 5 совсем не смотрел, а в остальных

что-то знает, а что-то нет. На экзамене в билете будет три вопроса.

а) найдите количество возможных вариантов билета;

б) сколько из них тех, в которых студент знает ответы на все вопросы;

в) сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трех типов?

14. В группе 30 человек. Из них надо выбрать или 5 для участия в кроссе, или 8 человек для студенческого хора. Сколько всего есть вариантов?

15. В чемпионате по футболу – 16 команд. Каждая команда играет с каждой. Сколько всего будет сыграно матчей? (Считать пары упорядоченными, т.к. одна команда играет дома, другая – на выезде).

16. Сколькими способами можно выбрать 6 пирожных, если есть 11 разных сортов?

17. Сколькими способами можно расставить на первой линии шахматной доски белые фигуры (1 король, 1 ферзь, 2 ладьи, 2 коня, 2 слона)?

18. Сколько различных «слов» можно получить. переставляя буквы в слове «математика»?

19. Сколько различных «слов» можно получить, переставляя буквы в слове «комбинаторика»?

20. Сколь есть вариантов расставить на одной полке учебники: 4 математики, 5 физики, 3 химии и 1биологии?

События.

Операции над событиями.

1. Определить вид каждого из событий:

А - появление 10 очков при бросании кубика;

А- появление 10 очков при бросании трех кубиков;

А - появление 20 очков при бросании кубика;

А- наугад выбранное двузначное число не больше 100;

А- появление двух гербов при бросании двух монет.

2.  Являются ли несовместными события:

- Появление герба при бросании монеты; появление цифры при бросании монеты.

- Появление трех очков при бросании кубика; появление нечетного числа очков.

- При подбрасывании двух монет появление герба на одной из монет; появление герба на другой монете.

3.  Являются ли равновозможными события:

     - Появление трех очков при бросании кубика; появление пяти очков.

   - Появление двух очков при бросании кубика; появление четного числа   очков.

    - Промах при первом выстреле из двух выстрелах по мишени; промах при втором выстреле.

4.  Образуют ли полную систему событий:

     - Появление герба при подбрасывании монеты; появление цифры.

     - При трех выстрелах по мишени ни одного попадания;  одно попадание; два попадания.

5.  Найти сумму событий.

а)  Испытание – два выстрела по мишени:

    - попадание с первого выстрела;

    - попадание со второго выстрела.

б) Испытание – бросание игрального кубика:

    - появление одного очка;

    -  появление двух очков;

    - появление трех очков.

 в) Испытание – приобретение лотерейных билетов:

     - выигрыш 100 рублей;

     - выигрыш 1000 рублей;

     - выигрыш 25 000 рублей;

6.  Найти произведение событий.

а) Испытание – два выстрела по мишени:

    - попадание первым выстрелом;

    - попадание вторым выстрелом.

б) Испытание - бросание игрального кубика:

     - непоявление трех очков;

     - непоявление пяти очков;

     - непоявление нечетного числа очков.

7.  Назовите события, противоположные данным:

    - выпадение двух гербов при бросании двух монет;

    - появление белого шара, если опыт состоит в извлечении одного шара из урны, в которой имеются белые, черные и красные шары;

    - пять попаданий при пяти выстрелах;

    - не более трех попаданий при пяти выстрелах;

    - хотя бы одно попадание при пяти выстрелах.

Вероятность событий.

1. В группе 17 юношей и 12 девушек. Из них выбрано 7 человек. Какова вероятность, что среди них 3 девушки?
2. Найти вероятность того, что при бросании двух кубиков хотя бы на одном выпадет число 6.
3. В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Найти вероятность, что:

нет бракованных; все бракованные.

4.  В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку выбрали 9  

     человек. Найти вероятность, что среди них 5 отличников.

5. В урне 10 красных, 15 синих и 5 белых шаров. Из нее вынимают наугад один

    шар. Какова вероятность того, что этот шар не белый?

6.  Какова вероятность, что наугад взятое двузначное число из одинаковых

    цифр; не из одинаковых цифр?

7.  Электронный прибор состоит из 2 последовательно включенных блоков.

     Вероятность выхода из строя за один месяц работы I блока – 1/3; II – 1/4, а

     двух вместе – 1/6. Найдите вероятность безаварийной работы прибора в

     течение месяца.

8.  Вероятность попадания в мишень одного стрелка  0,65, а второго – 0,6.

    Найти вероятность попадания в мишень при одновременном выстреле двоих.

 9. Список вопросов к экзамену из трех разделов.

     В I – 40 вопросов, из них студент знает 30;  

     во II – 30 вопросов, из них студент знает 15;

     в III -  30 вопросов, из них студент знает 10.

     Билет содержит по одному вопросу из каждого раздела. Какова вероятность

     Правильного ответа по билету?

10. В ящике пуговицы: 50 белых, 20 красных, 20 зеленых и 10 синих. Какова

      Вероятность, что взятая пуговица синего или зеленого цвета?

11. Три стрелка стреляют в цель. Вероятность попадания первого – 0,75;    

       второго – 0,8; а третьего – 0,9. Какова вероятность, что все попадут

       одновременно; попадет хотя бы один?

12. В корзине 10 яблок, 12 груш, 8 апельсинов. Берут три фрукта. Какова

       Вероятность, что все не апельсины?

13. В лотерее 100 билетов. Два билета с выигрышем по 10000 рублей, 6 билетов

       по 5000, 8 билетов по 1000 рублей. Берут два билета. Какова вероятность,

       что оба выиграют (не выиграют) ?

14. В лотерее  200 билетов, из них 10 с выигрышем. Купили 5 билетов. Какова

       вероятность, что хотя бы один из них с выигрышем?

Полная вероятность.

Формула Байеса.

1. В первой урне 6 белых и 4 черных шара, во второй – 3 белых и 7 черных шаров. Из первой урны наугад извлекается один шар и перекладывается во вторую урну. Затем из второй урны наугад достается один шар. Какова вероятность того, что он белый?
2. Часы одной марки изготавливаются на трех заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 20% всей продукции, второй - 30%, третий - 50%. В продукции первого завода спешат 5%всех часов, второго - 3%, третьего - 2%. Какова вероятность того, что купленные в магазине часы спешат?
3. На станках I, II, IIIизготавливают 25%, 35% и 40% всех деталей. Брак составляет 15%, 12% и 6% соответственно. Какова вероятность, что наугад взятая деталь дефектна?
4. Детали для проверки на стандартность попадают к одному из двух контролеров. Вероятность того, что она попадет к первому 0,6; ко второму – 0,4. Вероятность того, что деталь будет признана стандартной первым контролером – 0,94, а вторым – 0,98. Какова вероятность, что стандартную деталь проверил первый контролер?
5. В первой коробке 20 ламп, из них 18 стандартных, во второй – 10 ламп и 9 стандартных. Из второй коробки взяли лампу и переложили в первую. Найти вероятность того, что лампа, взятая из первой коробки, стандартная.
6. Два охотника независимо друг от друга стреляют одинаковыми пулями в лося. В результате лось был убит одной пулей. Как охотники должны поделить тушу убитого лося, если известно, что вероятность попадания у первого охотника 0,3, а у второго – 0,6?
7. На склад от трех поставщиков поступило 200, 300 и 500 изделий соответственно. Продукция первого поставщика имеет 5% брака, второго – 6%, третьего - 4%. Найдите вероятность получения со склада годного изделия.
8. На склад поступают одинаковые электрические утюги. Первый завод поставляет 80%, второй - 20% всей продукции. Известно. Что первый завод выпускает 90% продукции первого сорта, второй – 95%. Какова вероятность того, что проданный утюг первого сорта?
9. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,3% брака, второй – 0,2% и третий – 0,4%. Найдите вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго – 2000 и с третьего – 2500 деталей.

Дискретные случайные величины.

1. Составить закон распределения выпадения монеты орлом, если она подброшена 4 раза. Найти математическое ожидание этой величины.
2. Составить закон распределения появления числа 6, если кубик подбросили три раза. Найти математическое ожидание этой величины.
3. Устройство состоит из трех элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Найти математическое ожидание этой величины.
4. Составить закон распределения вероятностей количества появления события А в трех испытаниях, если вероятность его появления в каждом испытании 0,6. Найти математическое ожидание этой величины.
5. Составить закон распределения появления числа 2, если кубик подбросили четыре раза. Найти математическое ожидание этой величины.
6. Даны законы распределения случайных величин. Найти их числовые характеристики:

Непрерывные случайные величины.

1. Функция распределения имеет вид:

Найти вероятность того, что в результате испытания х примет значения из промежутка (0; 2). Построить график.

2. Функция плотности распределения имеет вид:

Найти вероятность того, что в результате испытания х примет значения из промежутка (0,5; 1). Построить график.

3. Функция распределения имеет вид:

Найти  f(х). Построить графики F(х) и f(х).

4. Функция распределения имеет вид:

    Найти вероятность того, что в результате испытания х примет значения из промежутка (0; 2), (3; 4).  Составьте функцию плотности. Постройте графики.

5. Функция распределения имеет вид:

     Найти вероятность того, что в результате испытания х примет значения из промежутка (1; 2,5), (2; 4). Составьте функцию плотности. Постройте графики.

6. Функция распределения имеет вид:

Найти вероятность того, что в результате испытания х примет значения из промежутка (0; 3), (-1; 1). Составьте функцию плотности.