"Логические задачи: зарядка для ума!?"
творческая работа учащихся (6 класс) по теме

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Луковниковская средняя общеобразовательная школа»

ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ: ЗАРЯДКА ДЛЯ УМА!?

Выполнили:

 ученицы 6 класса МБОУ «Луковниковская СОШ»

Иванова Екатерина,

Комягина Ксения

Руководитель:

учитель математики

Михайловская И.А.

2013г.

Содержание:

Введение…………………………………………………………………...3 с.

1.Актуальность работы…………………………………………………...4 с.

2.Основное содержание

2.1. Предмет математической логики и его основоположники…….5 с.

2.2. Виды логических задач…………………………………………...6 с.

      2.3.Методы решения логических задач………………………………7 с.

2.4.Тест «Уровень интеллектуального развития»……………………13 с.

3.Практическая часть «Создание пособия для учащихся и учителей»…14 с.

4.Заключение и выводы……………………………………………………15 с.

5.Список литературы……………………………………………………….16 с.

Введение.

      Первый русский академик Михаил Васильевич Ломоносов сказал «Математику затем учить следует, что она ум в порядок приводит».

Математика - это мощный фактор интеллектуального развития человека, формирования его познавательных и творческих способностей.

Мыслительные операции являются инструментом познания человеком окружающей действительности, поэтому, развитие мыслительных операций является важным фактором становления всесторонне развитой личности.

     В течение всех лет обучения в школе мы много решаем разнообразных задач, в том числе и логических: задачи занимательного характера, головоломки, анаграммы, ребусы и т.п. Чтобы успешно решать задачи такого вида, надо уметь выделять их общие признаки, подмечать закономерности, выдвигать гипотезы, проверять их, строить цепочки рассуждений, делать выводы. Логические задачи от обычных отличаются тем, что не требуют вычислений, а решаются с помощью рассуждений. Можно сказать, что логическая задача – это особая информация, которую не только нужно обработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать. Эти задачи носят занимательный характер и не требуют большого запаса математических знаний, поэтому они привлекают даже тех учащихся, которые не очень любят математику. [1]

Такие задачи не могут оставить равнодушным никого, и, безусловно, встает вопрос о методах решения подобного рода задач.

Поэтому наша работа посвящена исследованию различных видов логических задач и методов их решения.

1.Актуальность работы.

Мы считаем, что данная тема очень актуальна. Занимательный математический материал способен: активизировать умственную деятельность, заинтересовать математическим материалом, увлекать и развлекать детей, развивать ум, расширять, углублять математические представления, закреплять полученные знания и умения, упражнять.

 Логические задачи занимают особое место в математике, решение задач данного вида способствуют успешному изучению предмета,  развивают логическое мышление, являются зарядкой для ума.

Цель работы: изучение видов логических задач (текстовых) и методов их решения.

Для  достижения цели нам необходимо решить следующие задачи:

1. Познакомиться с основными видами логических задач;
2. Изучить методы решения логических задач;
3. Определить уровень интеллектуального развития обучающихся 6 класса;
4. Подготовить подборку наиболее интересных задач для использования их в урочной и внеурочной деятельности.

Гипотеза: мы считаем, что наилучшей зарядкой для ума является решение логических задач.

Объект исследования – логические задачи.
Предмет исследования – разнообразие видов и методов решения логических задач.
Методы исследования: анализ и синтез, сравнение, тестирование.

Практическая значимость:

Наше исследование может быть использовано в качестве вспомогательного материала как обучающимися, так и учителями в урочной и внеурочной деятельности, при подготовке к различным математическим конкурсам и олимпиадам.
                                                     

2.Основное содержание.

2.1.Предмет математической логики и его основоположники.

Одной из основных целей учебного предмета «Математика»,  является интеллектуальное развитие, в частности логическое мышление.

Логика нужна любому специалисту, будь он математик, медик или биолог. Логика – это необходимый инструмент, освобождающий от лишних, ненужных запоминаний, помогающий найти в массе информации то ценное, что нужно человеку. Без логики – это слепая работа.
Слово "логика" греческого происхождения. Логика как наука основана Аристотелем (384-320 гг до н.э.), который был необыкновенной фигурой в целой плеяде блестящих греческих ученых. Он был последователем Платона и посещал его Академию в Афинах. После смерти Платона (347 г.до н.э.) Аристотель покинул Афины. Он вернулся туда 12 лет спустя и основал свою школу - Лицей. Одним из учеников Аристотеля был Александр Великий. Аристотель не был математиком в полном смысле этого слова, его логика является скорее частью философии, но эта часть - основа всех наук. В своем выдающемся произведении "Аналитики" Аристотель создал и проверил около 20 схем рассуждений, которые назвал силлогизмами. Процитируем самый известный силлогизм: "Сократ - человек; все люди смертны; значит Сократ смертен". После Аристотеля силлогизмы и их трансформации стали основой дедуктивных рассуждений. Галилей говорил, что если бы ему пришлось начать снова свое будущее, то он последовал бы совету Платона и "принялся бы сперва за математику как науку, требующую точности и принимающую за верное то, что вытекает как следствие из доказанного".

Готфрид Лейбниц в начале 18 века сделал попытку создать формальную логическую систему, введя законы сочетания высказываний. Он высказал идею о том, что рассуждения могут быть сведены к механическому выполнению определенных действий по установленным правилам: "Можно придумать некий алфавит человеческих мыслей, и с помощью комбинации букв этого алфавита и анализа слов, из них составленных, все может быть открыто и разрешимо". Но эти работы не были опубликованы, и лишь в 19 веке Джордж Буль и Август де Морган основали математическую логику, независимую от философии.  [2]

2.2.Виды логических задач.

В результате проведенной работы мы выяснили, что все логические задачи делятся на определенные группы:

Рассмотрим основные виды логических задач.

1. Истинноностные задачи
2. Задачи, решаемые с конца
3. Задачи на переливание
4. Задачи на взвешивание
5. Задачи типа «Кто есть кто?»
6. Задачи на пересечение и объединение множеств
7. Задачи на перебор вариантов

Истинноностные задачи – это задачи, в которых требуется установить истинность или ложность высказываний.

Задачи, решаемые с конца- это задачи, решаемые с помощью  математических вычислений.

Задачи на переливание-  это задачи, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости.

Задачи на взвешивание - достаточно распространённый вид математических задач. В таких задачах от решающего требуется локализовать отличающийся от остальных предмет по весу за ограниченное число взвешиваний. Поиск решения в этом случае осуществляется путем операций сравнения, правда, не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой.

Задачи типа «Кто есть кто?» - это самые что ни на есть логические задачи. Смысл задач под кодовым названием «Кто есть кто?» довольно прост. Вам даны отношения между предметами и следуя по цепочке этих отношений, вы приходите к правильному результату.

Задачи на пересечение или объединение множеств- это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи. Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

К задачам на перебор вариантов относятся комбинаторные задачи.

С видами данных задач и способами их решений вы можете познакомиться, посмотрев  Приложение №4.

2.3.Методы решения логических задач.

Изучив дополнительную литературу, интернет ресурсы, нами было выявлено, что каждая группа логических задач имеет свой оптимальный метод решения.  [3]

Известно несколько различных способов решения логических задач.  Назовём основные методы решения логических задач:

1. Метод рассуждений;
2. Метод таблиц;
3. Метод блок-схем;
4. Метод графов;
5. Метод кругов Эйлера

Остановимся отдельно на каждом из выделенных методов, иллюстрируя их примерами решения конкретных задач.

Метод первый: Метод рассуждений

Далее, туфли и рубашка Бома не являются красными, отметим соответствующие ячейки таблицы знаком – . Из таблицы, заполненной на этом этапе, видим, что красные туфли могут быть только у Бима, а, следовательно, туфли Бома - синие. Правая часть таблицы заполнена, мы установили цвета обуви клоунов (табл.1). Цвет рубашки Бима совпадает с цветом его туфель и является красным. Теперь легко устанавливается владелец зеленой рубашки - Бом. Бам, в таком случае, одет в рубашку синего цвета.

Мы полностью заполнили таблицу, в которой однозначно устанавли-ваются цвета туфель и рубашек клоунов (см. табл. 2): Бим одет в красную рубашку и красные туфли, Бам в синей рубашке и зеленых туфлях, Бом в зеленой рубашке и туфлях синего цвета.

Ответ: Бим одет в красную рубашку и красные туфли, Бам в синей рубашке и зеленых туфлях, Бом в зеленой рубашке и туфлях синего цвета.

Метод третий: Метод блок-схем

Более систематический подход к решению задач  на «перебор вариантов», " переливание" и «взвешивание» заключается в использовании блок-схем. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала выделяются операции, которые позволяют нам точно выполнять ту или иную задачу. Эти операции называются командами. Затем устанавливается последовательность выполнения выделенных команд. Эта последовательность оформляется в виде схемы. Подобные схемы называются блок-схемами и широко используются в программировании. Составленная блок-схема является программой, выполнение которой может привести нас к решению поставленной задачи.

Задача. 1. В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе -мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье - чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?

Решение. Оформим решение в виде блок схемы:

Ответ: 18 вариантов.

Метод четвёртый: Метод графов

Слово «граф» в математической литературе появилось совсем недавно. Понятие графа используется не только в математике, но и в технике и даже в повседневной жизни под разными названиями – схема, диаграмма.

Особенно большую помощь графы оказывают при решении логических задач. Представляя изучаемые объекты в наглядной форме, «графы» помогают держать в памяти многочисленные факты, содержащиеся в условии задачи, устанавливать связь между ними.

Графом называется любое множество точек, некоторые из которых соединены линиями или стрелками. Точки, изображающие элементы множества, называют вершинами графа, соединяющие их отрезки – рёбрами графа. Точки пересечения рёбер графа не являются его вершинами. Во избежание путаницы вершины графа часто изображают не точками, а маленькими кружочками. Рёбра иногда удобнее изображать не прямолинейными отрезками, а дугами.

Задача. Три товарища – Иван, Дмитрий и Степан – преподают различные предметы (химию, биологию, физику) в школах Москвы, Ленинграда и Киева. Известно, что:

1) Иван работает не в Москве, а Дмитрий не в Ленинграде,

2) москвич преподает не физику,

3) тот, кто работает в Ленинграде преподает химию,

4) Дмитрий преподает не биологию.

Какой предмет и в каком городе преподает каждый из товарищей?

Решение.



рис 1.                                       рис 2.

На языке графов задача свелась к построению трех треугольников с черными ребрами и вершинами в точках разных множеств. Вершины этих треугольников дают ответ на вопрос задачи.

Ответ: Степан преподает биологию в Москве, Иван преподает химию в Ленинграде, Дмитрий преподает физику в Киеве.

Метод пятый: Метод кругов Эйлера. [4]

Этот метод дает еще более наглядное представление о возможном способе изображения условий, зависимости, отношений в логических задачах.

Один из величайших математиков петербургский академик Леонард Эйлер за свою долгую жизнь написал более 850 научных работ. В одной из них появились эти круги. Эйлер писал тогда, что «они очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Наряду с кругами в подобных задачах применяют прямоугольники и другие фигуры.

Задача  (на пересечение и объединение множеств) Часть жителей нашего города умеет говорить только по-русски, часть – только по-башкирски и часть умеет говорить на обоих языках. По-башкирски говорят 85%, по-русски 75%. Сколько процентов жителей говорят на обоих языках?

Решение.  Составим схему –

     В кружке под буквой «Б» обозначим жителей, говорящих по-башкирски, под буквой «Р» - по-русски. В общей части кружков обозначим жителей, говорящих на обоих языках. Теперь от всех жителей (100%) отнимем кружок «Б» (85%), получим жителей, говорящих только по-русски (15%). А теперь от всех, говорящих по-русски (75%), отнимем эти 15%. Получим говорящих на обоих языках (60%).

Выводы: в результате проведённой работы мы выяснили, что

     При решении «истинноностные» задач лучше всего использовать метод рассуждений. Метод Эйлера является незаменимым при решении задач на «пересечение и объединение множеств». При решении  логических задач типа «Кто есть кто» и задач на «переливание» применяется метод  построения таблиц. Задачи на «перебор вариантов» и «взвешивание» чаще всего решают методом блок- схем или  методом рассуждений, а математические ребусы на основании логических рассуждений. Задачи, решаемые с конца, методом математических вычислений.  (Приложение №1)

     Познакомившись с разными видами логических задач и методами их решения, мы считаем, что полученные знания сможем применить в своей учебной деятельности, самостоятельно выбрать тот или иной метод решения к определенной задаче, применить изученные методы к решению проблемы в реальной ситуации.

2.4.Тест «Уровень интеллектуального развития».

Чтобы определить уровень интеллектуального развития обучающихся 6 класса  мы провели тестирование. (Приложение №2) [5]

 Тест предназначен для группового обследования умственного развития детей 12 лет (учащихся шестых классов). Тест был разработан словацким психологом Дж. Ваной. Перевод и адаптация теста на выборке российских школьников осуществлены кандидатами психологических наук М. К. Акимовой, Б. М. Борисовой, В. Т. Козловой и Г. П. Логиновой.

Тест выявляет, насколько школьник к моменту исследования овладел предлагаемыми ему в заданиях теста словами и понятиями, а также умениями выполнять с ними некоторые логические действия.

После обработки и определения первичных показателей по отдельным тестам результаты переносятся в таблицу. (Приложение №3) В результате получается общий первичный показатель.  

Выводы: в результате проведённого тестирования мы выяснили, что из 8 учащихся нашего класса:

Имеют высокий уровень интеллектуального развития 1 уч-  12,5%

Средний уровень интеллектуального развития 4 уч-  50%

Низкий уровень развития 3 уч- 37,5%.

Для выработки определенных математических умений и навыков необходимо развивать логическое мышление.  Поэтому необходимо решать проблемные ситуации, делать определенные выводы, приходить к логическому заключению. Решение логических задач развивает способность выделять существенное, самостоятельно подходить к обобщениям, делать выводы.

3.Практическая часть «Создание пособия для учащихся и учителей».

После  глубокого изучения данной темы, проанализировав проблемы, с которыми мы столкнулись, мы решили создать пособие (Приложение№4) для обучения методам решения данных задач для учащихся и учителей.  В нашем пособии содержатся все типы логических задач, представлены методы их решения, набор задач для самостоятельного решения.

4.Заключение и выводы.

В ходе исследования мы выяснили:

 Если логическое мышление, да еще и воображение хорошо развиты у человека, то он способен творчески мыслить и творчески подходить к поставленным задачам. Развитию логического мышления необходимо учиться. Нужно уметь пользоваться логическим мышлением и воображением. Нужно также развивать и всячески способствовать развитию логического мышления. Ведь это пригодится в жизни!

Ребенок, не научившийся учиться, не овладевший приемами мыслительной деятельности, теряет интерес к изучению предмета, в результате становится неуспешным в обучении.

Выводы: 

Для эффективного развития логического мышления можно и нужно решать различные ситуационные задачи и загадки. Как стандартные логические задачи головоломки, так и нестандартные. Это одновременно развивает логику, интеллект, воображение, фантазию. Логические задачи- это зарядка для ума!

Рекомендации:  если у вас возникли трудности при решении нестандартной задачи, то попробуйте:

1. Сделать к задаче рисунок или чертёж; подумайте, может быть, нужно сделать на них дополнительные построения или изменить чертёж в процессе решения задачи;
2. Использовать для решения задачи способ подбора.
3. Переформулировать задачу другими словами, чтобы она стала более понятной и знакомой.
4. Разделить условие или вопрос на части и решить её по частям.
5. Начать решение задачи “с конца”.

Мы хотим представить вам наше пособие «Логические задачи».

Хотя это всего лишь небольшой обзор тех увлекательных логических задач, которые могут быть использованы как школьниками так и учителями в урочное и во внеурочное время, но мы надеемся, что оно поможет  в вашей учебной работе при проведении внеклассных мероприятий, при подготовке к различным математическим конкурсам и олимпиадам.Применяя только изученные методы решения логических задач, невозможно решить все математические и жизненные задачи. В дальнейшем предполагаем продолжить работу над изучением видов логических задач и методов их решения.
 Хочется отметить, что данное исследование оказалось очень занимательным и доставило нам огромное моральное удовлетворение.

5.Список литературы.

1. Берехина Л. Ю. Графы и их применение. – М., 1979.

2.   Василевский А. В. Обучение решению задач.- Минск, 1979.

3.   Касаткин В. Н. Необычные задачи математики.- Киев, 1987.

Источники информации:

1.[ Электронный ресурс]: - Режим доступа   http://rudocs.exdat.com/docs/index-17353.html

2.[ Электронный ресурс]: - Режим доступа   http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80_%D0%92%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%B9

3.[ Электронный ресурс]: - Режим доступа   http://wiki.syktsu.ru/index.php/%D0%A1%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%8B_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D1%85_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87

4.[ Электронный ресурс]: - Режим доступа  http://rudocs.exdat.com/docs/index-17353.html

5.[ Электронный ресурс]: - Режим доступа    http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/pedagogicheskiy-proekt-po-matematike-razvitie-logicheskogo-myshleniya

Приложение №1

 Приложение №2

Групповой интеллектуальный тест.

Тест 1 (время 4 минуты)

Прочти внимательно следующие указания и постарайся выполнить их как можно быстрее и точнее.

       Зачеркни самое большое из следующих чисел: 2 4 6 8 и нарисуй два кружка между следующими двумя именами: Щура __________Кира.

Подчеркни среднюю из следующих букв: О П Р С Т и после самого длинного из слов: юноша девочка сестра поставь запятую.

Если Международный женский день отмечается иногда в августе, поставь крестик здесь____, если это не так, то допиши отсутствующее слово в предложении: Солнце________________на западе.

Если ты убежден, что Колумб был самым знаменитым французским полководцем, то зачеркни слово «Солнце» в предыдущем предложении. Если это был кто-то другой, то дополни соответствующим числом следующее предложение: У собаки ___    глаза.

Прочитай внимательно следующие слова: фрукты грибы дерево утро. Зачеркни предпоследнюю букву в четвертом слове и вторую букву в предпоследнем слове.

Независимо от того, является ли Ярославль самым большим городом России, обведи кружком слово «нет» и напиши здесь____ любое число, которое является неправильным ответом на вопрос, сколько часов в сутках.

Теперь напиши здесь ____ любую букву, кроме В, и здесь ______ напиши «да», если результат 7 х 8 = 56 является правильным.

Если в слове копейка больше букв, чем в слове станция, то зачеркни первую букву в слове лев, если в нем меньше букв, то зачеркни вторую букву в ЭТОМ слове, но в любом случае зачеркни последнюю букву.

Если можно попасть во Львов на теплоходе, то реши задачу: 7x5 =___, если это невозможно, то напиши вместо результата букву X.

         Зачеркни в следующем утверждении неправильный ответ. 5x8 больше меньше, чем 12x4.

Тест 2 (время 6 минут)

Ответь быстро и правильно на следующие вопросы.

1. Сколько будет, если к 17 грушам прибавить 5 груш?     _______ груш

2.  Если разделить 28 яблок на 4 одинаковые кучки, сколько яблок будет в каждой кучке?         ________ яблок

3.  У Веры было 11 конфет. Ей дали еще 4 конфеты, 7 конфет она съела. Сколько конфет у нее осталось? _______ конфет

4. Велосипедист проехал 75 км за 5 часов. Сколько километров он проехал в среднем за один час? ________км

5.  Сколько учеников в 8 классах, если в каждом классе по 40 учеников? _______учеников

6.  Сколько учеников находятся в городе, в котором 20 школ, если в каждой школе 10 классов, а в каждом классе 25 учеников? ________ учеников

7. Сколько мячей можно купить на 16 рублей, если 3 мяча стоят 4 рубля? _______мячей

8.  Я купил 2 кг помидоров и 4 кг клубники. 1 кг помидоров стоит 3 рубля, а 1 кг клубники – 2 рубля 80 копеек. Сколько я получил сдачи, если я дал продавцу 20 рублей? _________ рублей

9.  На заводе изготовили несколько машин стоимостью 29 000 рублей. Их продали за 32000 рублей. Продажная цена каждой машины больше ее себестоимости на 500 рублей. Сколько машин изготовили? _________машин

10. В бассейн помещается 600 куб. м воды. Если длина бассейна 20 м, а высота 3 м, какова его ширина? ________м

Тест З (время 1,5 минуты)

Напиши пропущенные слова в следующих предложениях. В каждый пропуск впиши только одно слово.

Примеры:

                       Ученик решает задачу.             У лошади четыре ноги.

1. Колхозники _________________ на полях.

2. Суббота – предпоследний  ____________________ недели

3.  Корова – полезное _____________________.

4. Ребенок может быть мальчиком или ______________________.

5. Весной __________________ вьют гнезда и ____________________в них яйца.

6. В книге,________________ я купил, было много цветных _____________________.

7. Самую большую _______________ доставляет человеку хорошо сделанная ________________.

8. ______________ завтра будет хорошая _________________, я пойду купаться.

9. Во время дождя можно _____________ радугу только тогда, __________ светит _____________.

10. ___________ начинается 1 января и _______________31 декабря.

Тест 4 (время 4 минуты)

Внимательно прочитай каждый ряд чисел и на два свободных места напиши такие два числа, которые продолжат данный числовой ряд.

Примеры:

2      4      6      8      10     12        14       16,

10    9      8      7      6        5         4        3, 

3      3      4      4      5         5        6        6,

17    27    37    47

Приложение №3

Бланк регистрации результатов

учащихся 6 класса МБОУ «Луковниковская СОШ»  2013г.

Результаты тестирования обучающихся 6 класса:

Логические задачи для 5-6 классов.

1.Шарики.
На столе стоят три одинаковых ящика. В одном из них 2 черных шарика, в другом 1 черный и 1 белый шарик, в третьем 2 белых шарика. На ящиках написано: "2 белых", "2 черных", "черный и белый". При этом известно, что ни одна из записей не соответствует действительности. Как, вынув только один шарик, определить правильное расположение надписей?

2.Про школьников.
В класе 35 учеников, из них 20 школьников занимаются в математическом круже, 11- в литературном, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько литераторов увлекаются математикой?

3.Тайный поклонник.
На парту Оли упал бумажный самолет с нарисованными красными сердечками. Оля развернула его и прочитала: "Ты - лучшая девочка в классе!" Она повернулась в сидящим за ней ребятам: Ивану, Сергею, Алексею. Все три мальчика покраснели.
- Кто из вас делает мне такие комплименты? - спросила Оля.
- Это Сергей! - сказал Иван.
- Я ничего такого не делал! - сказал Сергей.
- Не имею никакого представления, о чем ты говоришь! - сказал Алексей.
Подруга Оли Маша ухмыльнулась: "Двое из них лгут!" Однако она не хочет больше ничего говорить. Кто является тайным поклонником Оли?

4.Названия птиц.
Прочитайте названия птиц в этих анаграммах. Какое слово здесь лишнее?

ВОЛИГА, НИЦАСИ, ГАЙПОПУ, РОКАСО, ВЕЙЛОСО, РЕЦСКВО, ЗАНАС, УССТРА, ЛИНФИ, БЕЙРОВО

5.Кошки-мышки.
Если пять кошек ловят пять мышей за пять минут, то сколько времени нужно одной кошке, чтобы поймать одну мышку?

6.Опасная дорога.
Есть дорога по которой может проехать только одна машина. По дороге едут две машины: одна с горы, другая под гору. Как им разъехаться?

7.Бумажные стаканчики.
Имеются три бумажных стаканчика для мороженого. Требуется разложить по этим стаканчикам 10 монет так, чтобы в каждом стаканчике было нечетное число монет. Как это сделать?

8.Трудное наследство.
Один коневладелец оставил в наследство своим сыновьям конюшню. Он завещал старшему отдать половину, среднему треть, а младшему девятую часть всех лошадей. В конюшне на момент смерти владельца осталось 17 лошадей. Как можно не нарушив завещание поделить лошадей?

9.Двенадцать.
Как разделить пополам число двенадцать, что бы получилось семь?

10.Задача про велогонку.
Петя и Вася участвовали в велогонке. Все участники стартовали одновременно и показали на финише различное время. Петя финишировал сразу после Васи и оказался на десятом месте. Сколько человек участвовало в гонке, если Вася был пятнадцатым с конца?

11.Странное вычитание.
Можно ли от 29 отнять 1, чтобы при этом получилось 30?

12.Равенство

9999999 = 100

Расставьте скобки и математические знаки так, чтобы равенство было верным.

13.Учащиеся

Из 38 учащихся 28 посещают хор и 17 лыжную секцию. Сколько лыжников посещает хор, если в классе нет учащихся , котрые не посещают хор или лыжную секицю?

14. Может ли такое быть?

Одного человека спросили:
— Сколько вам лет?
— Порядочно, — ответил он.
— Я старше некоторых своих родственников почти шестьсот раз. Может ли такое

15. Два числа.

Назовите два числа, у которых количество цифр равно количеству букв, составляющих название каждого из этих чисел.

16. Прилив.

С борта парохода был спущен стальной трап. Нижние 4 ступеньки трапа погружены в воду. Каждая ступенька имеет толщину в 5 см; расстояние между двумя соседними ступень ками составляет 30 см. Начался прилив, при котором уровень воды стал поднимается со скоростью 40 см в час. Как Вы считаете, сколько ступенек окажется под водой через 2 часа

Ответы. 1.Собственно ответ: Вытаскиваем шарик из коробки с надписью "белый и черный". Если шарик белый, то:
в коробке "белый и черный" - 2 белых шарика;
в коробке "2 белых" - 2 черных шарика;
в коробке "2 черных" - белый и черный шарики

Если шарик черный:
в коробке "белый и черный" - 2 черных шарика;
в коробке "2 белых" - белый и черный шарики;
в коробке "2 черных" - 2 белых шарика

2. Всего 35 учеников. 10 кружки не посещают. Значит, посещают кружки 35-10=25 учеников.
25 учеников посещают кружки. 20 учеников занимаются в математическом кружке. Значит, только литературный кружок посещают 25-20=5 человек.
В литературном кружке 11 человек. Лишь 5 из них посещают только литературный кружок. Значит, 11-5 = 6 человек-литераторов посещают ещё и математический кружок.

3.Алексей.

4.Иволга, синица, попугай, сорока, соловей, скворец, страус, филин, воробей. Лишнее слово здесь - "сазан", потому что это не птица, а рыба.

5..Пять

6.А зачем им разъезжаться? Они же обе вниз (под гору и с горы) едут.

7.Все дело в том, что один из стаканчиков можно вставить в другой. После этого в него можно положить любое нечетное число монет меньше 10. Например, 7. Оставшиеся монеты кладем в третий стаканчик.

8.Добавьте в конюшню еще одну лошадь. Теперь их получилось 18. Отдадим 9 лошадей старшему наследнику, 6 среднему и 2 младшему. Условия завещания выполнены. Можете забирать свою лошадь обратно.

9.Напишите это число римскими цифрами на листе бумаги и разрежьте его пополам.

10.Т.к. Петя финишировал сразу после Васи и оказался на 10-м месте, то Вася был девятым, т.е. перед ним было еще 8 участников. А раз известно, что Вася был пятнадцатым с конца, то всего было 15+8 = 23 участника.

11.Для того, чтобы на первый взгляд немыслимое стало естественным, нужно представить число 29 в римских цифрах. Тогда 29 - это XXIX. Отнимаем единицу, в данном случае I, и в результате получится XXX или 30.

12.(99-9):9 + (99-9) = 100
(99-99)* 999 = 10*0
999/9-99/9=100
(9*9+9)/9+99-9=100
(99-9)/9+(9-9)*9=10-0
(9*9+9)/9+(9-9)*9=10-0
99/99+(9-9)*9=1+0+0
(9*9+9)/9-9+9-9=1+0+0

13. 7 человек. Хор не посещают 10 человек, все они лыжники. Лыжников всего 17 человек, значит 7 человек надо «взять» из хора.

14.Может, например если человеку 50 лет, а его внуку или внучке 1 месяц.

15. «сто»-100 «миллион»-1000000

16.Через два часа под водой будут те же 4 ступеньки, потому что во время прилива лестница поднимается вместе с пароходом.

1) Маша заметила, что в январе текущего года было ровно 4 пятницы и 4 понедельника. Помогите Маше вспомнить, какой день недели был в этом году был 1 января?

2) Внук спросил у дедушки : «Сколько тебе лет?». Дедушка ответил : «Если к половине моих лет прибавить 18 лет, то получишь мой возраст 14 лет назад». Сколько сейчас лет дедушке?

3) Определите во сколько раз часовая стрелки движется медленнее, чем минутная.

4) Разделите циферблат часов двумя линиями на 3 части так, чтобы в каждой части сумма чисел была одинаковая.

Решение задач с помощью кругов Эйлера.

1.   Часть жителей нашего города умеет говорить только по-русски, часть – только по-башкирски и часть умеет говорить на обоих языках. По-башкирски говорят 85%, по-русски 75%. Сколько процентов жителей говорят на обоих языках?

Решение.  Составим схему –

     В кружке под буквой «Б» обозначим жителей, говорящих по-башкирски, под буквой «Р» - по-русски. В общей части кружков обозначим жителей, говорящих на обоих языках. Теперь от всех жителей (100%) отнимем кружок «Б» (85%), получим жителей, говорящих только по-русски (15%). А теперь от всех, говорящих по-русски (75%), отнимем эти 15%. Получим говорящих на обоих языках (60%).

2. Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят кактусы, а пятеро — фиалки. И только у двоих есть и кактусы и фиалки. Угадайте, сколько у меня подруг?

Решение.  Обратимся к кругам Эйлера:

Изобразим два круга, так как у нас два вида цветов. В одном будем фиксировать владелиц кактусов, в другом — фиалок. Поскольку у некоторых подруг есть и те, и другие цветы, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть. В этой общей части ставим цифру 2 так как кактусы и фиалки у двоих. В оставшейся части «кактусового» круга ставим цифру 4 (6 − 2 = 4). В свободной части «фиалкового» круга ставим цифру 3 (5 − 2 = 3). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 4 + 2 + 3 = 9 подруг.

3. В футбольной команде «Спартак» 30 игроков, среди них 18 нападающих. 11 полузащитников, 17 защитников и вратари. Известно, что трое могут быть нападающими и защитниками, 10 защитниками и полузащитниками, 6 нападающими и защитниками, а 1 и нападающим, и защитником, и полузащитником. Вратари не заменимы. Сколько в команде «Спартак» вратарей?

Решение. 

18+11+17-3-10-6+1=28 (игроков) на этой диаграмме. Но в команде всего 30 футболистов. Значит вратарей будет 30-28=2.  Ответ: 2 вратаря.

4. В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 — автобусом, 23 — троллейбусом, 10 — и метро, и троллейбусом, 12 — и метро, и автобусом, 9 — и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта?

Решение.  1 способ. Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера:

Пусть х человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются только метро и троллейбусом — (10 − х) человек, только автобусом и троллейбусом — (9 − х) человек, только метро и автобусом — (12 − х) человек. Найдем, сколько человек пользуется одним только метро:

20 − (12 − х) − (10 − х) − х = х − 2

Аналогично получаем: х − 6 — только автобусом и х + 4 — только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение:

Х + (12 − х) + (9 − х) + (10 − х) + (х + 4) + (х − 2) + (х − 6) = 30. отсюда х = 3.

 2 способ. А можно эту задачу решить задачу другим способом:

20+15+23-10-12-9+х=30, 27+х=30, х=3.

5. В восьмом классе учится 40 человек. Каждый из них изучает не менее одного иностранного языка: английский, немецкий, французский. 34 человека изучают хотя бы один из двух языков: английский, немецкий. 25 человек — хотя бы один из языков: немецкий, французский. 6 человек только немецкий. Одновременно два языка — английский и немецкий — изучают на 3 человека больше, чем французский и немецкий языки. Сколько человек изучает каждый из языков и сколько изучает одновременно каждую пару языков?

Решение

А + Н = 34    

Ф + Н = 25    

       Н = 6

А + Н = на 3 человека >, чем Ф + Н = х

одновр.                                               одновр.

34 – х – 3 – 6 – х + х + 3 + 6 + х +25 – х – 6 – х – 3 = 40

– 2х = 40 – 34 + 3 – 25

– 2х = –10  

     х = 5

Ф + Н = 5 человек.

А + Н = 8 человек.

А = 34 – 8 – 6 – 5 =15 человек.

Н = 6 человек.

Ф =25 – 5 – 6 –8 = 6 человек.        

Всего 40 человек.

4. В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и

холодильник и микроволновку, 19 - и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

Решение:

Купили только холодильники: 35-(20-3)-(15-3)-3=4.

Купили только микроволновки: 36-(20-3)-(19-3)-3=0.

Купили только телевизоры: 37-(15-3)-(19-3)-3=6.

Тогда всего покупателей было: 4+17+3+16+12+6=58.

65-58=7 посетителей магазина не купили ничего.

Задачи на графы

1. Пример 1. Рассмотрим одну из простейших задач: «Красный, синий, желтый и зеленый карандаши лежат в четырех коробках по одному. Цвет карандаша отличается от цвета коробки. Известно, что зеленый карандаш лежит в синей коробке, а красный не лежит в желтой. В какой коробке лежит каждый карандаш?»

Решение

Обозначим точками карандаши и коробки. Сплошная линия будет обозначать, что карандаш лежит в соответствующей коробке, а пунктирная, что не лежит. Тогда с учетом задачи имеем граф (1).

Далее достраиваем граф по следующему правилу: поскольку в каждой коробке может лежать ровно один карандаш, то из каждой точки должны выходить одна сплошная линия и три пунктирные. Получается граф (2) дающий решение задачи.

(1) (2)

2. Пример 2. Андрей, Борис, Виктор и Григорий после возвращения из спортивного лагеря подарили на память друг другу свои фотографии. Причем каждый мальчик подарил каждому из своих друзей

По одной фотографии. Сколько всего фотографий было подарено?

Решение

I способ. С помощью стрелок на ребрах полного графа с вершинами А, Б, В и Г показан процесс обмена фотографиями. Очевидно, стрелок в 2 раза больше, чем ребер, т. е. 6*2 = 12. Столько же было подарено и фотографий.

II способ. Каждый из четверых мальчиков подарил друзьям 3 фотографии, следовательно, всего было роздано 3 • 4 = 12 фотографий.

О т в е т: 12 фотографий

Задачи на графы

1. Пример 1. Рассмотрим одну из простейших задач: «Красный, синий, желтый и зеленый карандаши лежат в четырех коробках по одному. Цвет карандаша отличается от цвета коробки. Известно, что зеленый карандаш лежит в синей коробке, а красный не лежит в желтой. В какой коробке лежит каждый карандаш?»

Решение

Обозначим точками карандаши и коробки. Сплошная линия будет обозначать, что карандаш лежит в соответствующей коробке, а пунктирная, что не лежит. Тогда с учетом задачи имеем граф (1).

Далее достраиваем граф по следующему правилу: поскольку в каждой коробке может лежать ровно один карандаш, то из каждой точки должны выходить одна сплошная линия и три пунктирные. Получается граф (2) дающий решение задачи.

(1) (2)

2. Пример 2. Андрей, Борис, Виктор и Григорий после возвращения из спортивного лагеря подарили на память друг другу свои фотографии. Причем каждый мальчик подарил каждому из своих друзей

По одной фотографии. Сколько всего фотографий было подарено?

Решение

I способ. С помощью стрелок на ребрах полного графа с вершинами А, Б, В и Г показан процесс обмена фотографиями. Очевидно, стрелок в 2 раза больше, чем ребер, т. е. 6*2 = 12. Столько же было подарено и фотографий.

II способ. Каждый из четверых мальчиков подарил друзьям 3 фотографии, следовательно, всего было роздано 3 • 4 = 12 фотографий.

О т в е т: 12 фотографий