Логарифмы

Логарифмом положительного числа b по положительному основанию а ≠ 1, называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить b:

Два основных тождества:

Свойства                                                                                                                                              ( a > 0, a ≠ 1,b > 0, c > 0, r – любое действительное число)

1. 
2. 
3. 
4.    (r ≠ 0)

Десятичный логарифм

Натуральный логарифм

е = 2,7182818284590…

обычно считают:  е ≈ 2,7

Формула перехода от логарифма по одному основанию                                        к логарифму по другому основанию

Частные случаи формулы перехода:

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция – это функция вида  

где    а – заданное число,  а > 0  и  а ≠ 1.

Свойства логарифмической функции

1. Область определения:   множество всех положительных чисел (х > 0)
2. Множество значений:   множество всех действительных чисел (y  R)
3. График функции проходит через точку  (1;0)

                                              Рис. 1                                                                   Рис. 2

4. На промежутке  х >0 функция является:

возрастающей  (рис. 1)

убывающей  (рис. 2)

5. Функция принимает положительные значения (y > 0):

при x > 1 (рис. 1)

при   0 < x < 1  (рис. 2)

6. Функция принимает отрицательные значения (y < 0):

при   0 < x < 1  (рис. 1)

при x > 1 (рис. 2)

При решении логарифмических уравнений и неравенств

используют следующие утверждения:

1. Если  a > 0, a ≠ 1, x1 > 0, x2 > 0, то равенство  справедливо тогда и только тогда, когда х1 = х2.
2. Если  a > 1, x1 > 0, x2 > 0, то неравенство   справедливо тогда и только тогда, когда х1 < х2.
3. Если  0 < a < 1, x1 > 0, x2 > 0, то неравенство   справедливо тогда и только тогда, когда х1 > х2.