тест
методическая разработка по алгебре по теме

                                   Тестирование учащихся 9 по теме:

                                  Уравнения и неравенства с параметрами

1.Решить уравнение для всех значений параметра а

                         (5а-1)х=25а2

2.При каких значениях а, неравенство справедливо при всех х

                         х2 - 5х+а>0

3.Сумма квадратов корней уравнения х2-3ах+а2=0 равна 1,75. Найти значение а

4.При каких значениях b квадратный трёхчлен х2-4х+b можно разложить на линейные множители

5.При  каких а, оба корня уравнения х2-ах+2 =0 лежат на интервале (0;3)?

6.При всех а решить неравенство (1-а2)х2+2ах+1 ≥0

Решение. Исследуем сначала случай, когда неравенство не является квадратным, т.е. когда 1-а2=0, значит а1=1, а2=-1.

Если а=1,то -2х+1≥0, значит х≥- 0,5

Если а=-1,то -2х=1≥0 , значит х≤ 0,5

Пусть теперь 1-а2>0, значит а€(-1;1). В этом случае у параболы ветви направлены вверх, причём  если она имеет корни х1, х2, Х1≤Х2 , то  неотрицательна при х€(-∞,х1]u[х2,+∞). Если у параболы корней нет, то она неотрицательна при всех х.

 Корни имеются при D≥0 следовательно |а|≥ 1/√2

Значит, если  а€(-∞,-а- √2а2-1/1-а2]U[-а+√2а2-1/1-а2  ∞).

Если|а|<1/√2, то любое х будет решением данного неравенства.

 Нам остался случай , когда 1-а2<0, следовательно |a|<0. Заметим, что когда дискриминант автоматически больше нуля, так что, с учётом того, что ветви параболы идут вниз, получим, что решения исходного неравенства лежат между корнями соответствующего квадратного трёхчлена. Последний подводный камень здесь—это возможность неправильно определить, какой  из двух корней больше. Числитель, очевидно больше там, где радикал взят со знаком плюс. Но знаменатель отрицателен, так что больше тот корень, где у радикала стоит знак минус. Значит в этом случае  х€[-а +√2а2-1/1-а2,-а-√2а2-1/1-а2]         

Ответ: если а=1,то х≥-0.5, если а=-1, то х≤0.5, если|a|>1х€[-а+√2а2-1/1-а2,-а-√2а2-1/1-а2]

если а€(-1,-1/√2)U(-1/√2.1), то х€ (-∞,-√2а2-1/1-а2]U[-а+√2а2-1/1-а2,∞)

если|a|<1/√2, то х любое число.

7.При каких значениях параметра а, уравнение х2-(а+10)х+10а+1=0 имеет целые корни?

Решение. Перепишем левую часть уравнения в виде х2-(а+10)х +10а +1 = (х-а)(х-10) +1. А тогда первоначальное уравнение имеет целочисленные корни х1=в, х2=с, то при любом х должно выполняться равенство (х-а)(х-10)+1 = (х-в)(х-с).

 Данное равенство должно выполняться , в частности, и при х=10. А тогда, подставляя значение х=10, в последнее соотношение, приходим к равенству (10-в)(10-с)=1, откуда находим, что или в=с=9, или в=с=11. Если подставить теперь значения в=с=9 получим, что х2-(а+10)х +10а +1=х2-18х+81. И таким образом,

10а+1=81

а+10=18                                                               

т. е. а=8.

 Если же в равенство подставить значение в=с=11, то х2-(а+10)х+10а +1=х2-22х+121, и, таким образом, а=12.

Ответ: а€{8 ;12}.                                                                                                                                                                                               

8.При каких а неравенство ах2+(а+1)х-3<0 выполняется при всех а<2?

9.Найти все значения параметра а, один из корней уравнения (а-5) х2-2ах +а-4=0 меньше 1,а другой больше 2?

10. Найти все числа p и q такие, что корни уравнения х2+pх +q=0 равны p и  q.