В помошь при подготовке к ЕГЭ
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Задачи «на работу»

Задачи «на работу» делятся на два вида: на производительность труда и на производительность различных механизмов (труб, насосов и т. д.). Такие задачи часто вычисляются по формуле:

А=P×t

где P – производительность труда, т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени;

      t – время, необходимое для выполнения всей работы.

Пусть P×t=1 – взаимообратные величины, т. е. вся работа А=1, следовательно:

Решим задачу на производительность труда.

Задача 1.

Три каменщика разной квалификации выложили кирпичную стену, причём первый каменщик работал 6 часов, второй – 4 часа, а третий – 7 часов. Если бы первый каменщик работал 4 часа, второй – 2 часа и третий – 5 часов, то было бы выполнено 2/3 всей работы. За сколько часов каменщики закончили бы кладку, если бы они работали вместе одно и то же время?

Решение.

Решим эту задачу путём составления системы уравнений.

Пусть х – скорость выполнения работы первого каменщика, y – второго, z – третьего. Всю работу примем за 1. Составим систему уравнений по условию задачи (рис. 2а)

Надо найти , то есть

Умножим (2) на -2 и сложим почленно с (1). Получим (рис. 2а):

Затем умножим (2) на -1,5 и сложим почленно с (1). Получим (рис. 2б):

y=0,5z

Следовательно, подставим в искомое выражение полученные значения для x, y, z (рис. 2в). В итоге получим 6.

Ответ: каменщики выполнят эту работу за 6 часов.

Мы решили эту задачу путём составления систем уравнений и решая их методом Гаусса.

Задачи «на работу сложны тем», что в них абстрактное понятие «работа» приобретает различное конкретное содержание. В первой задаче работа выражалась в виде производительности труда каменщиков. В следующей задаче мы рассмотрим случай, в котором идёт речь о работе по наполнению бассейна.

Задача 2.

При одновременной работе двух насосов разной мощности бассейн наполняется водой за 8 часов. После ремонта насосов производительность первого из них увеличилась в 1,2 раза., а второго – в 1,6 раза, и при одновременной работе насосов бассейн стал наполняться за 6 часов. За какое время наполнится бассейн при работе только первого насоса после ремонта?

Решение.

Пусть объём бассейна равен 1, тогда время его заполнения до ремонта первым насосом – x, а вторым – y часов. Следовательно,  - производительность первого насоса до ремонта, а  -  производительность второго насоса до ремонта. Зная, что бассейн до ремонта насосов заполняется за 8 часов, то составим первое уравнение (рис.3а).

 - производительность первого насоса до ремонта, а  - производительность второго насоса после ремонта. Зная, что бассейн после ремонта насосов заполняется за 6 часов, то составим второе уравнении (рис. 3б).

Решив оба уравнения можно составить систему:

Умножим (1) на 0,9 и вычтем из него (2) (рис. 3в).

В итоге получим y=24, x=12.

Из найденных значений для x и y вычислим производительность первого насоса после ремонта:

По формуле  найдём время наполнения бассейна при работе только первого насоса после ремонта: ч.

Ответ: 10 ч.

Вывод: в результате решения задач двух разных видов мы выяснили, что все задачи на работу решаются по одной общей формуле (А=P×t) и в большинстве случаев решаются путём составления систем уравнений.

Задачи «на проценты»

Задачи «на проценты» - в большинстве случаев являются экономическими задачами, в которых идёт речь о вкладах в банк с тем или иным процентом. При их решении надо помнить, что процент есть сотая доля числа.

Задача 1.

Известно, что вклад, находящийся в банке, с начала года возрастает к концу года на определённый процент (свой для каждого банка). В начале года 5/6 некоторого количества денег положили в первый банк. К концу года сумма этих вкладов стала равной 670 у.е., а к концу второго года – 749 у.е. Было подсчитано, что если бы первоначально исходного количества денег положили во второй банк, то по истечении одного года сумма вкладов в эти банки стала бы равной 710 у.е. В предложении, что исходное количество денег первоначально целиком положено в первый банк, определить величину вклада по истечении двух лет.

Решение.

Обозначим через x первоначальную сумму денег. Тогда через а обозначим процент, на который возрастает сумма за год в первом банке, а через b – во втором банке. К концу первого года сумму вклада в I банке стала равной , во II банке , а к концу второго года  и . По условию задачи сумма вкладов  в конце первого года составляет 670 у.е., а к концу второго года – 749 у.е., поэтому можно составить два уравнения:

Если во второй банк положить  у.е., а в первый –  у.е, то сумма вкладов к концу года составила бы:

 ,

что равнялось бы 710 у.е. Поэтому получим третье уравнение:

Для нахождения известного х составим систему уравнений из (1) и (3) и решим её (4а).

Подставляя  вместо  и  вместо  в уравнение (2), приходим к уравнению (рис. 4б), имеющему один корень: x=660, но тогда:

Если исходное количество денег положить на два года, то к концу второго года величина вклада составит 726 у.е.

Ответ 726 у.е.

Задача 2.

Рабочий положил на хранение в сберегательный банк 5000 руб.  По истечении одного года к его вкладу были причислены процентные деньги, и в то же время он увеличил свой вклад ещё на 5000 руб., а по истечении ещё одного года попросил выдать ему накопленные процентные деньги. Сколько процентов в год начисляет сбербанк, если рабочий получил 1232 руб. процентных денег, оставив вклад в 10 000 руб. на новый срок?

Решение.

Пусть x% в год начисляет сбербанк, а y% - процент за 2 года. x+x+y -  весь начисленный процент. По условию задачи 2x+y=1232 (руб.)

За I и II начисленный процент равен 5000×0,01x=50x, а процент за оба года равен 0,01x×(5000+50x).

Составим уравнение:

50x+50x+0,01x×(5000+50x)=1232

Решив это уравнение (рис. 5а), найдём два значения для х: х1=-308 – не удовлетворяет условию задачи, х2=8. Значит, сбербанк начисляет в год 8%.

Ответ: 8%

Таким образом, учитывая то, что процент – это сотая доля числа, задачи «на проценты» можно разделить на три типа (см.рис. 5б).

Задачи «на смеси и сплавы»

Сначала рассмотрим задачи «на смеси».

Задачи «на смеси»

Довольно часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, разбавлять что-либо водой или наблюдать испарение воды. В задачах такого типа эти операции приходится проводить мысленно и выполнять расчёты.

Задача 1.

Из сосуда ёмкостью 54 литра, наполненного кислотой, вылили несколько литров и доли сосуд водой. Потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 литра чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?

Решение.

Пусть x литров кислоты вылили в первый раз. Тогда в сосуде осталось (54-x) литров. Долив сосуд водой, получим 54 литра смеси, в которой растворилось (54-х) литров кислоты. Значит в одном литре смеси содержится литров кислоты. Всего за два раза вылили 54-24=30 литров кислоты. В результате получили уравнение (рис. 5в.):

Решив это уравнение, найдём два корня: х=90 и х=18. Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: в первый раз было вылито 18 литров воды.

При решении задач на смеси считается, что рассматриваемые смеси однородны: не делается различия между литром как единицей массы и как единицей ёмкости. Концентрацией вещества называется отношение массы этого вещества к массе всей смеси (раствора, сплава). Концентрация вещества, выраженная в процентах, называется процентным отношением вещества в смеси (растворе, сплаве).

Задача 2.

В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы получить раствор 65%-1 кислоты?

Решение.

Пусть х г – масса 50%-й кислоты, y г – масса 70%-й кислоты, 0,5х г – масса чистой кислоты в первом растворе, (x+y)г – масса смеси, 0,65(x+y)г  - масса чистой кислоты в смеси. Составим уравнение (рис. 6а):

0,5x+0,7y=0,65(x+y)

Получаем соотношение 1:3.

Ответ: 1:3.

Существует и другой способ решения этой задачи. Он называется арифметическим (или старинным) способом.

2 способ

Нарисуем схему (рис. 6б), по которой видно, что для получения 65%-й кислоты нужно взять 50%-й и 70%-й кислоты в отношении 5:15=1:3.

Обоснуем старинный способ решения задач «на смеси».

Пусть требуется смешать растворы а%-й и b%-й кислот, чтобы получить

с%-й раствор.

Пусть х г – масса а%-го раствора, y г – масса b%-го раствора,  г – масса чистой кислоты в первом растворе, а   г – масса чистой кислоты во втором растворе,  г – масса чистой кислоты в смеси.

,

при упрощении которого станет ясно, что x:y=(b-c):(c-a). Такой же вывод даёт схема (рис. 7б).

Но всё-таки при решении таких задач следует учитывать, что никаких химических процессов, влияющих на количественные соотношения задачи, не происходит.

Задачи «на сплавы»

В задачах «на сплавы» как и в задачах «на смеси» идёт речь о соединении различных веществ, но отличие состоит в том, что эти вещества – металлы. Решим две такие задачи.

Задача 1.

Имеется два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй – 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и во втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого  сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определите, сколько килограммов олова содержится в получившемся новом сплаве.

Решение.

Пусть х кг – количество олова в новом сплаве. Так как новый сплав весит 400 кг и в нём находится 30 % цинка, то он содержит  кг, а во втором сплаве (120-y) кг цинка. По условию задачи процентное содержание цинка в двух сплавах равно, следовательно можно составить уравнение (рис. 8):

Из этого уравнения находим, что у=45. Поскольку первый сплав содержит 40% олова, то в 150 кг первого сплава олова будет кг, а во втором сплаве олова будет (х-60) кг. Поскольку второй сплав содержит 26% меди, то во втором сплаве меди будет кг. Во втором сплаве олова содержится (х-60) кг, цинка 120-45=75 (кг), меди 65 кг и, так как весь сплав весит 250 кг, то имеем:

х-60+75+65=250, откуда х=170 кг

Ответ: 170 кг.

Задача 2.

В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5 % железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20 %. Определите, какое количество железа осталось ещё в руде?

Решение.

Сначала составим таблицу (рис.9), в которой напишем массу руды, массу железа, концентрацию (долю железа в рудеапишем массу руды, массу железа, концентрацию () руде?

нем 12,5 % железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20) до и после удаления примесей.

Пусть х кг – масса железа в руде. Так как масса всей руды равна 500 кг, то концентрация железа в ней равна .

Так как масса железа в 200 кг примесей равна 0,125×200=25 (кг), то его масса в руде после удаления примесей равна (х-25) кг. Из того, что масса оставшейся руды равна 500-200=300 кг следует, что концентрация железа в ней равна .

По условию, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20%=1/5. Составим уравнение (рис. 10), по которому найдём, что х=212,5 кг – масса железа в руде.

Найдём остаток железа в руде после удаления примесей:

212,5-25=187,5 (кг)

Ответ: 187,5 кг.

Мы решили вторую задачу путём составления таблицы, помогающей зрительно воспринимать задачу.

Вывод: задачи «на смеси и сплавы» решаются множеством способов, но в них всегда присутствует концентрация (доля содержания одного вещества в другом), и они всегда решаются путём составления уравнений.

Заключение

В результате изученной темы было выяснено, что существует множество различных задач. Естественно, все их виды рассмотреть невозможно. Также мы научились правильно анализировать задачи и решать их разными методами (путём составления уравнений и систем уравнений, путём составления таблиц и т. д.) и разными способами: алгебраическим и арифметическим (старинным). Арифметические способы решения текстовых задач имеют больший развивающий потенциал, чем универсальный алгебраический способ решения. В наше время предпочтение отдаётся алгебраическому способу.