Пояснительная  записка.

Предлагаемый курс предназначен для тех, кто готовит учащихся к школьным выпускным экзаменам и к конкурсным экзаменам по математике при поступлении в высшие учебные заведения. Вопросы данной темы очень часто вызывают затруднения на вступительных экзаменах.  Он призван как можно полнее расширить рамки математических знаний каждого ученика, учитывая уровень его математической подготовки.

Несмотря на то, что «Тригонометрия»- одна из центральных тем программы, и на ней сосредоточено внимание учащихся, по- прежнему задания, содержащие тригонометрические функции, являются одними из самых сложных для выпускников.

           Обратным тригонометрическим функциям в стандартных школьных учебниках, к сожалению, должного внимания не уделяется. Изучают определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и котангенса только лишь для того, чтобы затем перейти к решению тригонометрических уравнений и неравенств. Однако немаловажную роль играют и понятия аркфункций и их свойства. Материал не изложен в учебниках, но содержится в программе ЕГЭ. Поэтому для успешной сдачи экзаменов необходимо расширить количество часов и круг вопросов, связанных с понятием обратимости и обратных тригонометрических функций - одному их наиболее тонких и трудных понятий школьной математики.

         Кроме этого, данный спецкурс преследует цель - сформировать основы графической культуры, способствует активизации умений и навыков в построении графических образов, связанных с тригонометрическими функциями. Практика показывает, что умение решать уравнения, неравенства и их системы, с обратными тригонометрическими функциями является необходимым условием успешной сдачи вступительных экзаменов. Поэтому эти вопросы требуют дополнительного освещения в этом спецкурсе. Кроме того, иногда необходимо применить некоторые оригинальные приемы решения задач, которые также рассматриваются в данном спецкурсе.

Цели курса:

- повышение уровня математической культуры учащихся,

- формирование устойчивого интереса к математике у учащихся, имеющих к ней склонности, и развитие их математических способностей;

- формирование умений решать задачи, отвечающие требованиям для поступающих в вузы, где математика является одним из профилирующих предметов.

Для реализации этой цели необходимо решение следующих задач:

- углубление знаний учащихся по теории обратных тригонометрических функций;

- формирование представлений о методах и способах решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции;

- развитие исследовательских умений и навыков учащихся.

Программа курса предполагает дальнейшее развитие у школьников математической, исследовательской и коммуникативной компетентностей. Курс направлен на более глубокое понимание и осознание математических методов познания действительности, на развитие математического мышления учащихся, устной и письменной математической речи. На занятиях решаются нестандартные задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил, определяющих точный алгоритм их решения. Учащиеся учатся находить и применять различные методы для решения задач.

В процессе изучения курса предполагаются следующие виды обучения: традиционное (объяснительно-иллюстративное) обучение, деятельностное (самостоятельное добывание знаний в процессе решения учебных проблем, развитие творческого мышления и познавательной активности учащихся) и инновационное (самообразование, саморазвитие учащихся посредством самостоятельной работы с информационным материалом).

Эти виды обучения предполагают следующие формы организации обучения:

- коллективные, индивидуальные и групповые;

- взаимного обучения, самообучение, саморазвитие.

Занятия включают в себя теоретическую и практическую части, в зависимости от целесообразности – лекции, консультации, практикумы, самостоятельную и исследовательскую работу.

Требования к знаниям и умениям школьников.

В результате изучения курса учащиеся должны

 уметь: 

1. бегло и уверенно выполнять вычисления значений функций, составленных из обратных тригонометрических функций;
2. свободно владеть техникой тождественных преобразований выражений, содержащих аркфункции;
3. строить графики функций указанных в программе видов, применять при построении графиков основные приемы преобразования графиков;
4. усвоить основные приемы решения уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств указанных в программе;
5. доказывать теоремы, изученные в курсе, давать обоснования при решении задач, опираясь на теоретические сведения курса.

владеть: 

методами исследования свойств обратных тригонометрических функций;

различными методами решения уравнений и неравенств с аркфункциями.

Оценка достижений учащихся.

Итоговый контроль предусматривает выполнение контроль. Для оценки результативности учебных занятий применяется входной, текущий и итоговый контроль, осуществляемый в устной, письменной, тестовых формах.

Цель входного контроля - диагностика имеющихся знаний и умений учащихся через анкетирование, тесты, интеллектуальные игры.

Текущий контроль - применяется для оценки качества усвоения материала посредством творческих заданий.

Промежуточная аттестация проводится в форме творческих заданий и проектов, тестирования по темам.

В конце курса проводится итоговая работа. Итоговая работа  должна выявить сформированность знаний и умений  учащихся. Итоговый контроль предусматривает выполнение контрольной работы.

Содержание итоговой работы и критерии их оценивания разрабатываются учителем.

Показателем эффективности обучения следует считать повышающийся интерес к математике, творческую активность и результативность учащихся.

Курс рассчитан на 17 часов, однако его программа может корректироваться. Учитывая особенности школы, класса, уровень подготовки учащихся, учитель может изменять последовательность изучения материала, уровень его сложности, самостоятельно распределять часы и выбирать конкретные формы занятий.

Тематическое планирование занятий по курсу

«Обратные тригонометрические функции»

 Содержание учебного материала.

Обратная функция. График обратной функции. Определения обратных тригонометрических функций: у=arcsinx,у=arccosx, у=arctgx, у=arcctgx.

Значения функций у=arcsinx и у=arccosx в точках  

Значения функции у=arctgx в точках  Нахождение числовых значений у=arctgx, у=arcsinx, у=arccosx с использованием вычислительной техники.

Область определения, множество значений, монотонность функций  y=arcsinx,  y=arccosx,  y=arctgx, непрерывность,ограниченность,наибольшее и наименьшее значения, экстремумы.

Графики функций y=arcsinx, y=arсcosх, y=arctgх и функций, связанных с ними.Тождества для обратных тригонометрических функций. Преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.Значения основных тригонометрических функций от обратных. Уравнения и неравенства, системы уравнений и системы неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции. Производные и  первообразные обратных тригонометрических функций. Исследование функций, содержащих обратные тригонометрические функции и построение их графиков.

Перечень рекомендуемой литературы:

Для учителя:

1. Вересова Е.е., Денисова Н.С., Полякова Т.П. Практикум по решению математических  задач.- Москва «Просвещение»,1979 г.

2. Ишханович Ю.А. Введение в современную математику.  Москва «Наука»,1965 г.

3. Кущенко В.С. Сборник конкурсных задач по математике. Москва «Просвещение»,1979 г.

4. Никольский С.М. Элементы математического анализа.  Москва «Наука», 1989 г.

5. Понтрягин Л.С. Математический анализ для школьников. Москва «Наука», 1983 г.

6. Цыпкин А.Г. Справочник по математике. Москва «Наука», 1983 г.

7. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач по математике. Москва «Наука»,1984 г.

8. Яковлева Г.Н. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. Москва «Наука», 1988 г.

9. Ястребинецкий Г.А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. Москва «Просвещение»,1972 Г.

Для учащихся:

1.Балан В.Г., Лавренок В.И., Шарова Л.И. «Библиотека для школьников и абитуриентов»

2.Говоров В.М., Дыбов П.Т., Мирошин Н.В., Смирнова С.Ф. «Пособие для поступающих в вузы».

3.Назаренко A.M., Назаренко Л.Д. «Тысяча и один пример»

 4.Ткачук В. В. «Математика абитуриента»

5.Шарыгин И.Ф. «Факультативный курс по математике».

А. Мерзляк, В. Полонский, Е. Рабинович, М. Якир «Тригонометрия».

Контрольная работа № 1.

Вариант 1.

№ 1. Вычислить:

а)

б) ;

в) .

№ 2. Доказать, что .

№ 3. Решить уравнение

№ 4. Решить неравенство

№ 5. Построить график функции

Вариант 2.

№ 1. Вычислить:

а)

б) ;

в) .

№ 2. Доказать, что .

№ 3. Решить уравнение

№ 4. Решить неравенство .

№ 5. Построить график функции .

Тест.

Вариант 1.

Задание А1

Вычислить arcsin (-1/2)

1) –π/3 2) π/6 3) -π/6 4) 5π/6

……………………………………………………………………………………….

Задание А2

Какое из выражений не имеет смысла?

1) arctg √3 2) arcctg √3 3) arcsin π/3 4) arccos π/4

……………………………………………………………………………………….

Задание А3

Вычислите arcctg (-1)

1) 3π/4 2) -π/4 3) π/4 4) π/3

……………………………………………………………………………………….

Задание В1

Вычислите 2 arcsin √3/2 + arctg 1 + arccos (-√2/2) - 5π/3

……………………………………………………………………………………….

Задание В2

Вычислите Sin (2arcsin 4/5)+ 1/25

Вариант 2.

Задание А1

Вычислите arccos (-1/2)

1) π/3 2) -π/3 3) -π/6 4.2π/3

………………………………………………………………………………………

Задание А2

Какое из выражений не имеет смысла?

1) arctg π/4 2) arccos √2/3 3) arccos π/2 4) arccos π/8

……………………………………………………………………………………….

Задание А3

Вычислите arctg (-1)

1) 3π/4 2) –π/4 3) π/2 4) π/6

……………………………………………………………………………………….

Задание В 1

Вычислите

3 arccos √3/2+ arcctg (-1) + arcsin√3/2 - 19π/12

……………………………………………………………………………………….

Задание В 2

Вычислите

Cos (2 arcsin 3/5) + 43/25

Ключи к ответам:

I вариант .

Задание А – 3,3,1.

Задание В – 0, 1.

II вариант .

 Задание А – 4, 3,2.

 Задание В – 0, 2.

Тест.

1 ВАРИАНТ/

Вычислить:

1) arcsin(-√2/2);   2) arccos1;   3) arctg√3;   4) arcctg(-1);   5) arccos√5;   6) arctg(-√3/3);    

 7) arcsin π;   8) arctg 0;    9) arccos(-1);   10) arcsin (0,5).

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1) 0;   2) π/6;   3) π/4;   4) π/3;   5) – π/6;   6) – π/4;   7) – π/3;   8) π/2;   9) – π/2;   10) 2 π/3;  

11) 3 π/4;   12) 5 π/6;   13) π;   14) решений нет.

2 ВАРИАНТ

Вычислить:

1) arccos (-√2/2);   2) arcsin1;   3) arcctg√3;   4) arctg(-1);   5) arcsin√5;   6) arcctg(-√3/3);    

 7) arccos π;   8) arcctg 0;    9) arcsin (-1);   10) arccos (0,5).

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ

1) 0;   2) π/6;   3) π/4;   4) π/3;   5) – π/6;   6) – π/4;   7) – π/3;   8) π/2;   9) – π/2;   10) 2 π/3;  

11) 3 π/4;   12) 5 π/6;   13) π;   14) решений нет.

Тест

по теме «Область определения обратных тригонометрических функций».

Вариант №1

Вариант №2

Ответы к тесту

«Область определения обратных тригонометрических функций»

Тест.

Часть А.

А1 Вычислите:

1)                 2)         3)                 4)                 5)

Решение.

Ответ: 3)

А2 Вычислите:

1)                 2) 0                3)                 4)                 5)

Решение.

Ответ: 4)

А3 Вычислите:

1)                 2) 0                3)                 4)                 5)

Решение.

Обозначим:

1.  тогда  

2.  

Следовательно, (*)=

Ответ: 1)

А4 Вычислите:

1)                 2)                 3)                 4)                 5)

Решение.

Обозначим:

 следовательно,

Ответ: 2)

А5 Вычислите:

1)                 2)                 3)                 4)                 5)

Решение.

Ответ: 3)

А6 Какие из выражений не имеют смысла?

1)                 2)                 3)

4)                 5)

Решение. Зная, что

 имеем

 значит, выражение

не имеет смысла.

Ответ: 2)

А7 Упростите выражение

1)                 2) 1                3)0                4)2                5)

Решение.

Так как  значит  принадлежит I четверти и

Значит,  то есть

Ответ: 2)

Часть В.

В1 Сколько целых чисел в области определения функции ?

Решение.

Так как  то область определения данной функции задается условиями:

Целых значений в этой области определения три:

0; -1; -4

Ответ 3

В2 Решите уравнение

Решение.

Переходим к следующему уравнению-следствию:

Проверка.  

 посторонний корень.

Ответ:

В3 Вычислите  при

Решение.

Так как   и  

Ответ: 0

В4 Вычислите

Решение.

Обозначим:

1)

2)  

Следовательно,

Ответ: 3-8

Часть С.

С1 Чему равно а, если ?

Решение. ОДЗ

Имеем

Так как  то

Ответ: