Выпускная работа "Обратные тригонометрические функции. Задачи, содержащие обратные тригонометрические функции"
учебно-методический материал по алгебре (10 класс) по теме

ВЫПУСКНАЯ РАБОТА

ТЕМУ:

«ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

ЗАДАЧИ, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ»

Выполнила:

учитель математики

МОУ СОШ №5, г. Лермонтова

ГОРБАЧЕНКО В.И.

Пятигорск 2011

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

ЗАДАЧИ, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1.1. Решения простейших уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Таблица 1.

1.2. Решение простейших неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции

Таблица 2.

1.3. Некоторые тождества для обратных тригонометрических функций

Из определения обратных тригонометрических функций, вытекают тождества

,                                                                            (1)

,                                                                           (2)

,                                                                            (3)

,                                                                        (4)

Кроме того, верны тождества

,                                                                         (5)

,                                                                             (6)

,                                                                             (7)

,                                                                             (8)

Тождества, связывающие разноименные обратные тригонометрические функции

                                                                                    (9)

                                                                                    (10)

2. УРАВНЕНИЯ,  СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

2.1. Уравнения вида  и т.д.

Такие уравнения сводятся к рациональным уравнениям подстановкой.

Пример.

Решение.

Замена  () приводит уравнение к квадратному, корни которого .

Корень 3 не удовлетворяет условию .

Тогда получаем обратную подстановку

.

Ответ.

Задачи.

1.

2.

3.

4.

5.

2.2. Уравнения вида , где  - одна из обратных тригонометрических функций,  - рациональная функция.

Для решения уравнений такого вида необходимо положить , решить уравнение простейшего вида  и сделать обратную подстановку.

Пример.

Решение.

Пусть . Тогда

.

Ответ. .

Задачи.

1.

2.

3.

2.3. Уравнения, содержащие либо разные аркфункции, либо аркфункции от разных аргументов.

Если в уравнение входят выражения, содержащие  разные аркфункции, или эти аркфункции зависят от разных аргументов, то сведение таких уравнений к их алгебраическому следствию осуществляется обычно вычислением некоторой тригонометрической функции от обеих частей уравнения. Получающиеся при это посторонние корни отделяются проверкой. Если в качестве прямой функции выбирается тангенс или котангенс, то решения входящие в область определения этих функций могут быть потеряны. Поэтому перед вычислением значения тангенса или котангенса  от обеих частей уравнения следует убедиться в том, что среди точек, не входящих в область определения этих функций, нет корней исходного уравнения.

 Пример.

.

Решение.

Перенесем  в правую часть и вычислим значение синуса от обеих частей уравнения

В результате преобразований получим

.

Корни этого уравнения

.

Сделаем проверку

При  имеем

Таким образом,  является корнем уравнения.

Подставляя , заметим, что левая часть получившегося соотношения положительна, а правая часть отрицательна. Таким образом,  - посторонний корень уравнения.

Ответ. .

Задачи.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

2.4. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции одного аргумента.

Такие уравнения можно свести к простейшим с помощью основных тождеств (1) – (10).

Пример.

Решение.

Ответ. 

Задачи.

1.  

2.

3.

4.

5.

3. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

3.1. Простейшие неравенства.

Решения простейших неравенств основано на применении формул табл.2.

Пример.

Решение.

Т.к. , то решением неравенства является промежуток .

Ответ.

Задачи.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

3.2. Неравенства вида ,  - некоторая рациональная функция.

 Неравенства вида ,  - некоторая рациональная функция , а  - одна из обратных тригонометрических функций решаются в два этапа – сначала решается неравенство относительно неизвестного , а затем простейшее неравенство, содержащее обратную тригонометрическую функцию.

Пример.

Решение.

Пусть , тогда

Решения неравенства

.

Возвращаясь к исходному неизвестному, получаем, что исходное неравенство сводиться к двум простейшим

 .

Объединяя эти решения, получаем решения исходного неравенства

Ответ.

Задачи.

1.

2.

3.

4.

5.

3.3. Неравенства, содержащие либо разноименные аркфункции, либо аркфункции разных аргументов.

Неравенства, связывающие значения различных обратных тригонометрических функций или значения одной тригонометрической функции, вычисленные от различных аргументов, удобно решать, вычислив значения некоторой тригонометрической функции от обеих частей неравенств. Следует помнить, что получающееся при этом неравенство будет равносильно исходному лишь в том случае, когда множество значений правой и левой частей исходного неравенства принадлежат одному и тому же промежутку монотонности этой тригонометрической  функции.

Пример.

Решение.

Множество допустимых значений , входящих в неравенство: . При  . Следовательно, значения  не являются решениями неравенства.

При  как правая часть, так и левая часть неравенства имеют значения, принадлежащие промежутку . Т.к. на промежутке  функция синус монотонно возрастает, то при  исходное неравенство равносильно

Решаем последнее неравенство

, пересекая с промежутком , получим решение

Ответ. 

Замечание. Можно  решить с использованием  

Задачи.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

3.4. Неравенство вида , где  - одна из обратных тригонометрических функций,  - рациональная функция.

Такие неравенства решаются с помощью подстановки  и сведением к простейшему неравенству табл.2.

Пример.

Решение.

Пусть , тогда

.

Сделаем обратную подстановку, получим систему

Ответ.

Задачи.

1.

2.

3.

4.