Семинарское занятие по теме "Решение тригонометрических уравнений"
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме
Урок следует после изучения «Тригонометрических уравнений» и на базе имеющихся у учащихся знаний о таких понятиях, как преобразование тригонометрических выражений, решение простейших тригонометрических уравнений, метода решения однородных тригонометрических уравнений первой и второй степени, решения тригонометрических уравнений методом разложения на множители и введения новой переменной.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 439 КБ |
Предварительный просмотр:
Семинарское занятие в 10 классе по теме
«Тригонометрические уравнения»
Тема: «Решение тригонометрических уравнений»
Продолжительность урока 80 минут.
Аннотации. Урок следует после изучения «Тригонометрических уравнений» и на базе имеющихся у учащихся знаний о таких понятиях, как преобразование тригонометрических выражений, решение простейших тригонометрических уравнений, метода решения однородных тригонометрических уравнений первой и второй степени, решения тригонометрических уравнений методом разложения на множители и введения новой переменной.
Цели урока:
Образовательная: систематизировать изученное, расширить представление учащихся о подходах к решению тригонометрических уравнений
Развивающая: развивать умения учебно – познавательной деятельности;
- умение выделять главное;
- умение логически излагать мысли
Воспитательная: способствовать воспитанию ответственности, активности, побуждению интереса к математике.
Межпредметные связи: математика, поэзия
Формы работы: индивидуальная, коллективная
Основные этапы урока:
- Организационный момент;
А) знакомство с эпиграфом и целями урока
Б) история возникновения тригонометрии
2. Актуализация знаний:
А) вопрос – ответ
Б) письменный диктант
3.
А) расширим границы
Б) опасные зоны
В) сложные
Эпиграф: «Мышление начинается с удивления»
План урока:
- Немного истории
- Вопрос-ответ
- Расширим границы
- Внимание! Опасная зона
- А вам слабо!
- Мини экзамен.
За две недели до семинарского занятия дается домашние задание учащимся: поработать с дополнительной литературой и подготовиться: а) главное по теме, б) новое и интересное,
в) 5 вопросов.,
Выбирается поэт урока, 2 эксперта.
У экспертов – оценочный лист
Ф.И. | Участие в уроке | Вопрос-ответ | Диктант | Устно | Мини-экзамен |
Учитель: «Да, путь познания не гладок
Но знаем мы со школьных лет:
Загадок больше, чем разгадок
И поискам предела нет».
Учитель: Чувство ритма внушено человеку самой природой, ибо вся природа пронизана ритмами и колебаниями; явления, ими сопровождаемые, несут в себе и трагическое (землетрясение, цунами) и величественное (волнение океана) и прекрасное (трель соловья). Одни из этих явлений способны приводить в ужас, другие предстают как воплощенное величие природы, третьи доставляют наслаждение. Периодические колебания бесконечно разнообразны. Все периодические процессы математически описываются периодическими функциями, простейшие из которых: у=sinx, y=cosx.
Сообщения учащихся по истории возникновения тригонометрии и тригонометрических уравнений.
Учитель: Мы хорошо изучили эту тему, а сегодня мы должны не только показать знания и умения но и доказать всем и себе, что мир познания неограничен и начнём мы с вопросов, которые у вас накопились.
Учащиеся задают вопросы, эксперты оценивают ответы.
Учитель: Проведем письменный диктант.
№1 Вычислить: Вариант-1 Вариант-2
arcsin arccos \2
arcos (-\2) arcsin (-\2)
(cos arcsin) sin (arccos)
№2 Решить уравнение: sinx =0 cosx =1
cos3x =-1 sin2x =0
cos (+) = cos (-\3) =
Пока эксперты проверяют диктант, проводятся устная работа:
- Каким способом решить уравнение:
2sin2x+sinx-1=0
cos2x - =0
3cos2x - 2sinxcosx = sin2x
sin2x – cosx = 0
cos7x – cos3x = 0
tg5x = 2ctgx
Поэт урока: «Мы знаем: время растяжимо,
Оно зависит от того,
Какого рода содержимым
Вы наполняете его»
Учитель: Расширим границы познания.
а) Интересен способ решений уравнений вида asinx+bcosx=с
Рассмотрим на примере:
sinx+cosx=, введем замену, пусть
sinx = a, cosx = b, то
a+b =, a =- b, a ==,
a2+b2 =1; (- b)2 + b2 =1; b =.
2 - 2b+b2+b2 =1, sinx =
2b2 – 2b + 1= 0, x =(-1)n+n, nz
(b – 1)=0, cosx =
b = . X = + 2n, nz
Ответ: x = + 2n
б) Рассмотрим подход к уравнениям
1) sin=sin , на основании условия равенства двух синусов имеем:
=2n
+ = (2n+1)
- cos=cos
=2n
+ =2n
3) tg =tg
=2k при условии, что (2k+1)
(2k+1)
Например: tg = tg11х, т.к функция периодическая, то
11х – х = k
Х = k, из полученного ответа нужно выкинуть
=
k= 5 + 10n
Ответ: х = k где k 5 + 10n
Основная схема отбора корней состоит:
а) нахождение наименьшего общего периода, если Т=2, то обойти тригонометрический круг;
б) исключить те значения, функция в которых не существует.
Поэт: Кто более иль менее
С терпением знаком,
Считает он терпение
Совсем не пустяком
Не случай, не везение
Тебе помогут вдруг -
Терпение, терпение -
Твой самый лучший друг.
Учитель: При решение тригонометрических уравнений некоторые преобразования не приводят данное уравнение к равносильному ему.
Помни! 1) Одно и то же уравнение можно решать разными приемами.
2) Подвергая тригонометрическое уравнения тому или иному преобразованию, нужно заботиться, чтобы преобразованное уравнение было равносильно исходному.
3) В случаи появления лишних корней необходимо проверить решения
4) В случаи потери установить, какие корни могут пропасть и
действительно ли они пропадают.
Например: Лишние корни появляются при возведении обоих частей в квадрат.
№1 =cosx,
cosx0,
cos2x + sin3x = 2cos2x.
cos2x – sin2x + sin3x - 2 cos2x=0
-1 + sin3x=0
sin3x=1
x= k я
k | 0 | 1 | 2 |
x | |||
cosx | - | 0 |
x = kz
X = +2n, nz
Ответ: x = kz
X = +2n, nz
№2 cosx cos2xcos4x=. Умножаем обе части на 8sinx
Получим: 8sinx cosx cos2x cos4x = sinx
sin8x – sinх = 0
2cossin=0
cos=0 sin= 0
x =+, nz x =, kя
теперь исключим корни, при которых sinx= 0, т.е. x =, mk
+m
n k =любое.
Ответ: х =, n
X =
№3 tgx = 2sinx
= 2sinx, делить на sinx нельзя, будет потеря корней
Sinx (-2)=0
x1= x2 =
Ответ: x =
X =
№4 sin1991x + cos1991x = 1
sin1991x + cos1991x - sin2x – cos2x = 0
sin2x(sin1989-1) = cos2x(1-cos1989)
Левая часть 0, а правая 0, отсюда следует
sin2(sin1989-1) = 0
cos2x(1-cos1989x) = 0
Учитывая, что если, sinx=0, то cosx0, то
sinx = 0 или cosx = 0
cosx =1 sinx =1
x =2 , n x =+2k, кz
Учитель. Итак, рассмотренные примеры показывают, что могут появиться посторонние корни, если:
1) уравнение содержит тангенс или котангенс;
2) обе части уравнения умножаются (или делятся) на выражение, содержащие неизвестное;
3) обе части уравнения возводятся в квадрат.
Потеря корней уравнения может произойти, если:
а) обе части уравнения делятся (или умножаются) на выражения , содержащие неизвестное
б) используется тригонометрические формулы, которые справедливы не при всех значениях неизвестного.
в) при решении системы уравнений для обозначения целого числа найденных значениях х и у употребляется только одна буква.
Поэт: Если верный конь, поранив ногу,
Вдруг споткнулся, а потом опять,
Не вини его – вини дорогу
И коня не торопись менять.
Учитель: Попробуем решить эти номера
№1 2sinxsin3x – cos2x = 0
2sinxsin3x – cos(3x-x) = 0
2sinxsin3x – cos3xcosx – sin3xsinx=0
- cos (3x+x)=0
cos4x=0
x =, nz
Ответ: x =, nz
№2 2arccos x = 6,3
Решение: arccos x =3,15 , нет решений, т.к
0 arccos x, а »3,14
№3 arcsin (x2+x+) = arccos (x2+x+)
Arcsin (x2+x+)= - arcsin (x2+x+)
Arcsin (x2+x+)=
x2+x+=
х=0; х=-1.
№4 .
Ответ: nz
+ nz
+ nz
Поэт: Да, много решено загадок
От прадеда и до отца,
И нам с тобой продолжить надо
Тропу, которой нет конца.
Учитель: Проведём мини - экзамен и подведём итоги.
В-1 2cos2x + 2sinx =2,5 (-1)nk, kz
sin2x =-cos2x -, kz
sin2x =2 n; n, nz
B-2 2sin2x-2cosx = +2n, nz
2sin2x- sin2x =0 n, +n, nz
sinx-cosx =2 +2n, nz
B-3 sin4x = cos(-2x) ; (-1)n+1
2cos2x+5sinx-4 = 0 (-1)n +n, nz
cos2x- sinxcosx =0 x=+n, +n, nz
B-4 sin3x+sinx =sin2x +2n, nz
2cos2x+2tg2x =5 +n, nz
sinx+cosx =1 2n, (-1)n +n, nz
B-5 sin2x+sin22x =sin23x +n, nz
Sinx = sin2xcos3x n, + n, nz
3cos7x-5sin7x = 0 , nz
Слово экспертам.
Поэт: Пускай останется известный мир загадок,
Чтоб продолжалась жизнь, не ведая конца,
И трезвые умы, и строгие сердца,
Все чувства привести способные в порядок,
Пускай останется извечный мир загадок!
Учитель: Мы расширили границы изученного, привели в систему знания, теперь вам предстоит решить зачёт и доказать, что вами получены крепкие знания по этой теме.
Домашнее задание:
2cos4x-cos3x=2-16cos2x Ответ: +n; +2n, nz
sin22x+sin23x+sin24x+sin25x=2 +n, ; , n
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Занятие по теме "Решение простейших тригонометрических уравнений. Уравнение tgx=a"
Занятие проводилось в рамках программы ШТК по математике. Презентация выполнена в программе Смарт и демонстрируется на интерактивной доске.Архив содержит все необходимые материалы....
Семинарское занятие для педагогов «Нравственно-половое воспитание школьников» Семинарское занятие для педагогов «Нравственно-половое воспитание школьников»
Семейное воспитание затрагивает самые сокровенные стороны жизни детей, которые не затрагиваются в общественном воспитании. Это богатство эмоционального мира, закладываемого семьёй, становится фу...
![](/sites/default/files/pictures/2013/11/22/picture-343905-1385142621.jpg)
Конспект урока по теме: ”Тригонометрические уравнения. Решение простейших тригонометрических уравнений вида sinx = a. “
Разобраны свойства функции sinx. Приведено решение уравнения sinx=a. Разобраны 4 примера....
![](/sites/default/files/pictures/2023/09/07/picture-3505-1694098453.jpg)
Открытый урок в сборнике "1001 идея интересного занятия с детьми" , урок математики в 10 классе по теме "Решение тригонометрических уравнений" (2013 г.)
Урок обобщения и систематизации знаний...
![](/sites/default/files/pictures/2013/11/27/picture-328328-1385526413.jpg)
Тема 17. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. Решение простейших тригонометрических уравнений. Общий приём. Метод разложения на множители.
Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, а также абитуриентов к вступительным э...
![](/sites/default/files/pictures/2013/11/27/picture-328328-1385526413.jpg)
Тема 17. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. Решение простейших тригонометрических уравнений. Общий приём. Метод разложения на множители.
Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, а также абитуриентов к вступительным э...
![](/sites/default/files/pictures/2013/11/27/picture-328328-1385526413.jpg)
Тема 21. Итоговый контроль по темам № 16-20: «Преобразования и вычисления тригонометрических выражений. Тригонометрические уравнения. Действия с обратными тригонометрическими функциями».
Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, а также абитуриентов к вступител...