Семинарское занятие по теме "Решение тригонометрических уравнений"
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Семинарское занятие в 10 классе по теме

«Тригонометрические уравнения»

Тема:  «Решение тригонометрических уравнений»

Продолжительность урока 80 минут.

Аннотации. Урок следует после изучения «Тригонометрических уравнений» и на базе имеющихся у учащихся знаний о таких понятиях, как преобразование тригонометрических выражений, решение простейших тригонометрических уравнений, метода решения однородных тригонометрических уравнений первой и второй степени, решения тригонометрических уравнений методом разложения на множители и введения новой переменной.

Цели урока:

Образовательная:  систематизировать изученное, расширить представление учащихся о подходах к решению тригонометрических уравнений

Развивающая: развивать умения учебно – познавательной деятельности;

                           - умение выделять главное;

                           - умение логически излагать мысли

Воспитательная: способствовать воспитанию ответственности, активности, побуждению интереса к математике.

Межпредметные связи: математика, поэзия

Формы работы: индивидуальная, коллективная

Основные этапы урока:

1. Организационный момент;

А) знакомство с эпиграфом и целями урока

Б) история возникновения тригонометрии

2. Актуализация знаний:

А) вопрос – ответ

Б) письменный диктант

3.

А) расширим границы

Б) опасные зоны

В) сложные

Эпиграф: «Мышление начинается  с удивления»

План урока:

1. Немного истории
2. Вопрос-ответ
3. Расширим границы
4. Внимание! Опасная зона
5. А вам слабо!
6. Мини экзамен.

За две недели до семинарского занятия дается домашние задание учащимся: поработать с дополнительной литературой и подготовиться: а) главное по теме, б) новое и интересное,

в) 5 вопросов.,                                                                                        

Выбирается поэт урока, 2 эксперта.

У экспертов – оценочный  лист

Учитель: «Да, путь познания не гладок

                     Но знаем мы со школьных лет:

                     Загадок больше, чем разгадок

                     И поискам предела нет».

Учитель: Чувство ритма внушено человеку самой природой, ибо вся природа пронизана ритмами и колебаниями; явления, ими сопровождаемые, несут в себе и трагическое (землетрясение, цунами) и величественное (волнение океана) и прекрасное (трель соловья). Одни из этих явлений способны приводить в ужас, другие предстают как воплощенное величие природы, третьи доставляют наслаждение. Периодические колебания бесконечно разнообразны. Все периодические процессы математически описываются периодическими функциями, простейшие из которых: у=sinx, y=cosx.

Сообщения учащихся по истории возникновения тригонометрии и тригонометрических уравнений.

Учитель: Мы хорошо изучили  эту тему, а сегодня мы должны не только показать знания и умения но и доказать всем и себе, что мир познания неограничен и начнём мы с вопросов, которые у вас накопились.

Учащиеся задают вопросы,  эксперты оценивают ответы.

Учитель: Проведем письменный диктант.

№1 Вычислить:            Вариант-1                                                              Вариант-2

                                            arcsin                                                             arccos \2

                                           arcos (-\2)                                                   arcsin (-\2)

                                           (cos arcsin)                                                     sin (arccos)

№2 Решить уравнение:    sinx =0                                                           cosx =1

                                            cos3x =-1                                                       sin2x =0

                                            cos (+) =                                                cos (-\3) =

Пока эксперты проверяют диктант, проводятся устная работа:

1. Каким способом решить уравнение:

                                    2sin2x+sinx-1=0

                                     cos2x - =0

                                    3cos2x - 2sinxcosx = sin2x

                                    sin2x – cosx = 0

                                    cos7x – cos3x = 0

                                     tg5x = 2ctgx

Поэт урока: «Мы знаем: время растяжимо,

                       Оно зависит от того,

                       Какого рода содержимым

                       Вы наполняете его»

Учитель: Расширим границы познания.

а) Интересен способ решений уравнений вида asinx+bcosx=с

    Рассмотрим на примере:

     sinx+cosx=, введем замену, пусть

     sinx = a, cosx = b, то

       a+b =,          a =- b,                         a ==,

       a2+b2 =1;           (- b)2 + b2 =1;              b =.

2 - 2b+b2+b2 =1,                               sinx =

2b2 – 2b + 1= 0,                               x =(-1)n+n, nz

(b – 1)=0,                                         cosx =

b =  .                                                         X = + 2n, nz

Ответ: x = + 2n

б) Рассмотрим подход к уравнениям

1) sin=sin , на основании условия равенства двух синусов имеем:

    =2n

    + = (2n+1)

2. cos=cos

      =2n

      + =2n

3) tg =tg

       =2k при условии, что  (2k+1)

                                                           (2k+1)        

Например:  tg = tg11х, т.к функция периодическая, то

                    11х – х = k

                     Х =  k, из полученного ответа нужно выкинуть    

                   =  

                     k= 5 + 10n

Ответ:  х =  k  где k 5 + 10n    

    Основная схема отбора корней состоит:

а) нахождение наименьшего общего периода, если  Т=2, то обойти тригонометрический круг;

б) исключить те значения, функция в которых не существует.

   Поэт:       Кто более иль менее

                    С терпением знаком,

                    Считает он терпение

                    Совсем не пустяком

                    Не случай, не везение

                    Тебе помогут вдруг -

                    Терпение, терпение -

                    Твой самый лучший друг.

Учитель: При решение тригонометрических уравнений некоторые преобразования  не приводят данное уравнение к равносильному ему.  

Помни!   1) Одно и то же уравнение можно решать разными приемами.

                2) Подвергая тригонометрическое уравнения тому или иному               преобразованию, нужно заботиться, чтобы преобразованное уравнение  было равносильно исходному.                                      

               3) В случаи появления лишних корней необходимо проверить решения

               4) В случаи потери установить, какие корни могут пропасть и

                   действительно ли они пропадают.

Например: Лишние корни появляются при возведении обоих частей в квадрат.

№1   =cosx,

          cosx0,

          cos2x + sin3x = 2cos2x.

          cos2x – sin2x + sin3x - 2 cos2x=0

         -1 + sin3x=0          

            sin3x=1

           x=  k я

        x = kz

            X = +2n,  nz

Ответ:     x = kz

  X = +2n,  nz

№2 cosx cos2xcos4x=. Умножаем обе части на 8sinx

       Получим: 8sinx cosx cos2x cos4x = sinx

                        sin8x – sinх = 0
                  2cossin=0

cos=0                                                  sin= 0

x =+, nz                                           x =, kя

теперь исключим корни, при которых sinx= 0, т.е. x =, mk

+m                                      

n                                        k =любое.

Ответ: х =,  n

           X =

№3       tgx = 2sinx

              = 2sinx, делить на sinx нельзя, будет потеря корней

        Sinx (-2)=0

x1=               x2 =      

Ответ: x =

           X =

№4       sin1991x + cos1991x = 1

             sin1991x + cos1991x  - sin2x – cos2x = 0

             sin2x(sin1989-1) = cos2x(1-cos1989)

             Левая часть 0, а правая 0, отсюда следует

   sin2(sin1989-1) = 0

   cos2x(1-cos1989x) = 0

Учитывая, что если, sinx=0, то cosx0, то

 sinx = 0      или          cosx = 0

 cosx =1                      sinx =1              

  x =2 , n         x =+2k, кz        

Учитель. Итак, рассмотренные примеры  показывают, что могут появиться  посторонние  корни, если:                           

1)  уравнение  содержит  тангенс  или  котангенс;

2)  обе  части  уравнения  умножаются  (или  делятся) на  выражение, содержащие неизвестное;

3)  обе  части  уравнения  возводятся  в квадрат.

Потеря корней уравнения может произойти, если:

а) обе части уравнения делятся (или умножаются) на выражения , содержащие неизвестное

б) используется тригонометрические формулы, которые справедливы не при всех значениях   неизвестного.

в) при решении системы уравнений  для обозначения целого числа найденных  значениях х и у употребляется только одна буква.

Поэт:    Если верный конь, поранив ногу,

              Вдруг споткнулся, а потом опять,

              Не вини его – вини дорогу

              И коня не торопись менять.

Учитель:    Попробуем решить эти номера

№1           2sinxsin3x – cos2x = 0

                 2sinxsin3x – cos(3x-x) = 0

                 2sinxsin3x – cos3xcosx – sin3xsinx=0

                 - cos (3x+x)=0

                 cos4x=0

                 x =, nz

                 Ответ:    x =, nz

 №2             2arccos x = 6,3

               Решение:    arccos x =3,15 , нет решений, т.к

               0  arccos x, а »3,14

  №3           arcsin (x2+x+) = arccos (x2+x+)

                   Arcsin (x2+x+)= - arcsin (x2+x+)

                   Arcsin (x2+x+)=

                   x2+x+=

                  х=0;      х=-1.

№4             .

                 Ответ:                     nz

                                                + nz

                                               + nz

Поэт:             Да, много решено загадок

                       От прадеда и до отца,

                       И нам с тобой продолжить надо

                       Тропу, которой нет конца.

Учитель: Проведём мини - экзамен  и подведём итоги. 

В-1             2cos2x + 2sinx =2,5                                (-1)nk, kz

                    sin2x =-cos2x                                          -, kz

                    sin2x =2                                               n;   n, nz

B-2               2sin2x-2cosx =                                      +2n, nz

                          2sin2x- sin2x =0                                n, +n, nz

                     sinx-cosx =2                                        +2n,  nz

B-3               sin4x = cos(-2x)                                   ;  (-1)n+1

                     2cos2x+5sinx-4 = 0                                  (-1)n +n,  nz

                     cos2x- sinxcosx =0                              x=+n,  +n,  nz

B-4               sin3x+sinx =sin2x                                     +2n, nz

                    2cos2x+2tg2x =5                                       +n, nz

                   sinx+cosx =1                                          2n, (-1)n +n, nz

   B-5     sin2x+sin22x =sin23x                                      +n, nz

                   Sinx = sin2xcos3x                                         n,  + n, nz

                   3cos7x-5sin7x = 0                                         , nz

         Слово экспертам.      

Поэт:             Пускай останется известный мир загадок,

                       Чтоб продолжалась жизнь, не ведая конца,

                       И трезвые умы, и строгие сердца,

                       Все чувства привести способные в порядок,

                       Пускай останется извечный мир загадок!

Учитель: Мы расширили границы изученного, привели в систему знания, теперь вам предстоит решить зачёт и доказать, что вами получены крепкие знания по этой теме.

Домашнее задание:

               2cos4x-cos3x=2-16cos2x                  Ответ:   +n;  +2n,  nz

               sin22x+sin23x+sin24x+sin25x=2                       +n, ; , n