Зачет по теме «Интеграл»
методическая разработка (алгебра, 11 класс) на тему

Зачет по теме «Интеграл» в профильном классе.

В старшей школе целесообразно проводить зачеты по основным темам курса математики. Предложенные мною билеты по теме «Интеграл» в 11 классах (профильном и общеобразовательном) –  форма письменного зачета. Не позднее, чем за неделю до зачетного урока учащиеся должны получить вопросы для подготовки в виде перечня основных определений и теорем. По усмотрению учителя в профильном классе можно сформулировать  основные типы задач (но не давать сами задачи), а для общеобразовательного класса можно предложить перечень  практических заданий в произвольном порядке.

  В вариантах зачета в профильном классе первое задание предполагает знание основных определений, второй – доказательство теоретического факта. Остальные задания практического содержания. При этом 5-е задание может быть включено в основной текст зачета, а может идти как задача  повышенной сложности на отдельную оценку, это зависит от подготовленности класса.

В билетах для общеобразовательного класса только первое задание носит характер теоретического изложения материала в явном виде. Остальные практические задания подразумевают умения учащихся применять на практике теоретические знания.

По усмотрению учителя можно за зачет поставить две оценки: за теоретические и практические знания по данной теме. Время, отводимое на зачет  - один урок. При желании учителя во время письменного опроса можно провести собеседование со слабыми учащимися.  

Билеты к зачету в профильном классе.

Билет 1.

1. Сформулировать определение первообразной.
2. Доказать свойство неопределенного интеграла (интеграл суммы двух функций).
3. Найти уравнение первообразной F(х) функции f(х)= , если график первообразной проходит через точку М(1;).
4. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками линиями у=х2, у=8, х=0.
5. Найти .

Билет 2.

1. Сформулировать определение неопределенного интеграла.
2. Доказать теорему о первообразной функции.
3. Найдите уравнение первообразной F(х) функции f(х)=3sin3х–3cos3х, если график первообразной проходит через точку М(;1).
4. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками линиями у=, у=2-х, у=0.
5. Вычислить .

Билет 3.

1. Сформулировать определение определенного интеграла.
2. Доказать свойство определенного интеграла (интеграл суммы двух функций равен сумме интегралов слагаемых).
3. Для функции f(х)=sin2х найдите первообразную, график которой проходит через точку М(0;1).
4. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций у=х2-2х+3, у=3х-1.
5.  Задана функция F(t)=. Найти F(π); (0), (π).

Билет 4.

1. Сформулировать определение криволинейной трапеции. Записать формулу Ньютона–Лейбница.
2. Доказать свойство неопределенного интеграла (о вынесении множителя за знак интеграла).
3. F(х) – первообразная f(х) = 5cosх-cos3х, F(хо)=0. Решить уравнение F(х)=0, если хо=π.
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = , у=1,5.
5. Найти .

Билет 5.

1. Сформулировать определение первообразной.
2. Доказать свойство определенного интеграла ( +  = …).
3. Найдите первообразную функции f(х)=.
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(х) = -х2+1 и двумя касательными, проведенными к нему в точках пересечения графика с осью абсцисс.
5. Найти .

Билет 6.

1. Сформулировать определение неопределенного интеграла.
2. Доказать свойство определенного интеграла (константу можно выносить за знак интеграла).
3. Докажите, что функция F(х)=х3 – 5х – одна из первообразных функции f(х) = х2-5 на промежутке (-∞;+∞).
4. Выполнить рисунок к задаче о нахождении площади фигуры, которая вычисляется по формуле:  S=–.
5. Найти пары чисел а и в, при которых функция f(х) = аsin+в, (4) = 2π, =.

Билет 7.

1. Сформулировать определение криволинейной трапеции.
2. Вывод формулы для вычисления площадей фигур с помощью определенного интеграла.
3. Материальная точка движется прямолинейно со скоростью v(t) = 1 – 2sin22t . Найдите уравнение движения точки, если при t =  с пройденный путь составляет  м.
4. Решить уравнение  = cos( -2х).
5. Фигура, ограниченная линиями у = -х2 + 2х + 3, у = 0, делится линией у = х + 1 на две части. Найти площадь каждой части.

Билет 8.

1. Сформулировать определение определенного интеграла.
2. Доказать теорему о первообразной функции.
3. Составить таблицу первообразных для функций f(х):

4. Выполнить рисунок к задаче о нахождении площади фигуры, которая   вычисляется по формуле:  S =  + .
5. Найти .

Билет 9.

1. Сформулировать определение первообразной.
2. Вывести формулу для нахождения неопределенного интеграла сложной функции от линейного аргумента.
3. Найти первообразную функции f(х) = , график которой проходит через точку М(1;).
4. Доказать, что если f(х) – четная функция, определенная для всех значений х, то для любого а  = 2 , а если f(х) – нечетная функция, то =0 (дайте геометрическое доказательство).
5. Вычислить .

Билет 10.

1. Сформулировать определение криволинейной трапеции. Записать формулу Ньютона – Лейбница.
2. Доказать свойство определенного интеграла ( +  = …).
3. Выполнить рисунок к задаче о нахождении площади фигуры, которая   вычисляется по формуле: – + .
4. Вычислить интеграл, используя геометрическую интерпретацию: .
5. Доказать, что функция F(х) = 3х + sin23х является первообразной для f(х) = 6cos2(–3х).

Билеты к зачету в общеобразовательном классе.

Билет 1.

1. Сформулировать определение первообразной.
2. Записать общий вид первообразной функций у = хn, n≠-1, у=cosх.
3. Для функции у=sinх укажите ту первообразную, график которой проодит через точку с координатами (;1).
4. По рисунку 1 записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой х = 0, графиком функции

      у=-х2+3 и касательной к этому графику в точке с абсциссой хо = 1.

Билет 2.

1. Сформулировать основное свойство первообразной.
2. Записать общий вид первообразной функций у = , у = sinх + 4.
3. Найдите уравнение первообразной F(х) функции f(х)=3х+18-х2, если график первообразной проходит через точку М(6;80).
4. По рисунку 2 записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой х = 0, графиком функции

      у=х2-4х+5 и касательной  к этому графику в точке с абсциссой хо=2.

Билет 3.

1.  Сформулировать определение интеграла.
2. Записать общий вид первообразной функций у = , у=.
3. Для функции у=2х4 укажите ту первообразную, график которой проодит через точку с координатами (-1;2).
4. По рисунку 3 записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х2-4х+6, у=4х-х2.

Билет 4.

1.  Сформулировать три правила нахождения первообразной.
2. Записать общий вид первообразной функций у = (1+2х)3,  у=3sinх.
3. Для функции у=х-4 укажите ту первообразную, график которой проодит через точку с координатами (2;-3).
4. По рисунку 4 записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=3, х=4, х=9.

Билет 5.

1. Записать формулу Ньютона-Лейбница для вычисления площади криволинейной трапеции.
2. Записать общий вид первообразной функций у = , у=-5.
3. Для функции у=cos3х укажите ту первообразную, график которой проодит через точку с координатами (0;).
4. По рисунку 5 записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=0,5х2+2х+2 и графиком ее производной.

Билет 6.

1. Записать формулу для вычисления площади фигуры с помощью интеграла, выполнить рисунок.
2. Доказать, что функция F(х) = х3 – 5х является одной из первообразных функции f(х) = х2 – 5 на промежутке (-∞;+∞).
3. Найти первообразные функции у = sin + cos.
4. По рисунку 6 записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=, у=х2+3, х=-3.

Билет 7.

1. Сформулировать определение первообразной.
2. Вычислить .
3. Для функции f(х) = (х+1)(х-3) найти первообразную, график которой проходит через начало координат.
4. По рисунку 7 записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.

5.   Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой у=х2-6х и прямой,   проходящей через ее вершину и начало координат.

Билет 8.

1. Сформулировать основное свойство первообразной.
2. Для функции у=2cosх укажите первообразную F, график которой проходит через точку М(;0).
3. Вычислить .
4. По рисунку 8 записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.

5.   Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой х = 0, графиком функции

      у=-4х-х2 и касательной  к этому графику в точке с абсциссой хо=-3.

Билет 9.

1. Сформулировать определение интеграла.
2. Записать общий вид первообразной функций у =х–7, у= .
3. Вычислить .
4. По рисунку 9 записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.

5.   Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х2+5, у=4-х2, х=-1, х=1.

Билет 10.

1. Сформулировать три правила нахождения первообразной.
2. Укажите первообразную F функции f(х)=3sinх, если известно, что F(π)=1.
3. Вычислить .
4. По рисунку 10 записать формулу для вычисления площади фигуры через интеграл.
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной биссектрисой первого координатного угла, графиком функции f(х) = -х2 + 4х и касательной, проведенной через его вершину.