Решение тригонометрических уравнений
презентация к уроку алгебры (11 класс) на тему

Слайд 1

Решение тригонометрических уравнений Урок 11 класс Составила :Кенжалиева Фатима Аруновна – учитель МБОУ Наримановского района «СОШ №7»

Слайд 2

Решение тригонометрических уравнений Цели: Познакомиться с видами тригонометрических уравнений Познакомиться со способами решения уравнений. Выработать навыки применения способов решения уравнений для конкретных тригонометрических уравнений

Слайд 3

Этапы урока Актуализация знаний учащихся. Тест Теория Практическая работа. Изучение нового материала. Закрепление изученного материала. Домашнее задание. Итоги урока.

Слайд 4

Найти правильный ответ COS X = a COS X = 1 SIN X = a COS X = 0 COS X = - 1 SIN X = 1 SIN X = - 1 SIN X = 0 X = (-1) K arcsin a +  n, n € z. X = /2 + 2 n, n € z . X =  n , n € z. X = 2  n , n € z . X = + arccos a + 2  n, n € z. X =- /2 +2 n , n € z . 0 X =  + 2 n, n € z. X = /2 + n, n € z.

Слайд 5

Выберите правильный вариант ответа( ответы) 1.Sin 2x= -1 Вариант 1 1.Cos x =1/2 Вариант 2 1) -/4 +  n, n € z 2) -/4 + /2 n, n € z 3)-/4 + /2 n, n € z 1) +  /3 + 2 n, n € z 2) /6 +2 n, n € z 3) - + 4 n, n € z 2. Cos 3x =- √2 /2 2.2 sin 5x- √2 = 0 1) (- 1) n /4 +  n /3, n € z 2) + 3 /4 + 2 n/3 , n € z 3) + /4 + 2 n/3, n € z 1) (- 1) n /20 +  n /5, n € z 2) (- 1) n /20 +  n , n € z 3) + /20 + 2 n, n € z 3.√2 cos ( x + /4) =1 3.Cos x/5= - √3 /2 1) /3 +  n, n € z 2) +  /4 -  /4 + 2 n, n € z 3) -/4 + 2 n, n € z 1) (- 1) n 25 /6 +  n , n € z 2) + 25 /6 + 10 n , n € z 3) + /20 + 2 n, n € z 4. sin (3x+  /4)= = -√3 /2 4. Cos (3x+  /4)= = - √3 /2 1) (- 1) n+1 /9 -/ 12 + n/3 , n € z 2) + 25 /6 + 10 n , n € z 3) (- 1) n /9 +/4 + n/3 , n € z 1) 5 /18 +  n/12+ 2  n/3 , n € z 2) + 5 /18 -  / 12+ 2  n/3 , n € z 3) + 5 /3 + 6 n, n € z

Слайд 6

Виды тригонометрических уравнений Уравнения , сводящиеся к квадратным a sin 2 x + b sin x =c Однородные уравнения Первого порядка : a sinx + b cos x =0 Второго порядка: a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x =0 Почти однородные уравнения a sinx + b cos x = с a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x =d

Слайд 7

Методы решения уравнений Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует несколько основных методов решения тригонометрических уравнений. . Алгебраический метод. Разложение на множители. Приведение к однородному уравнению . Переход к половинному углу . Введение вспомогательного угла Преобразование произведения в сумму. Универсальная подстановка

Слайд 8

Блок схема Решения тригонометрических уравнений Углы одинаковые Да 1 . Привести к одинаковым углам нет Функции одинаковые Да Сделать замену и решить уравнение как алгебраическое да 2 . Приводится к одинаковым функциям нет да 3 . Привести к sin или cos нет Однородное Почти однородное 2-порядка ? Почти однородное 1-порядка ? 5 . Левую часть уравнения разложить на множители и каждый из них приравнять к нулю Нет Нет да 4 .Изменить углы Нет нет Обе части уравнения делим на sin или cos в степени равной порядку уравнения Да Сделать замену Sin 2 x+cos 2 x=1 Да нет

Слайд 9

Основные термины Определение 1. Тригонометрическим называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком тригонометрических функций. Например : sin( 5x+∏); cosx; tg3 α Определение 2. Говорят, что в тригонометрическом уравнении одинаковые углы, если все тригонометрические функции, входящие в него, имеют равные аргументы. Говорят, что в тригонометрическом уравнении одинаковые функции, если оно содержит только одну из тригонометрических функций. Например : cos4x+ sin4x Определение 3. Степенью одночлена называется сумма показателей степеней, входящих в него переменных. Например : 7 x 5 * y Определение 4. Степенью одночлена, содержащего тригонометрические функции, называется сумма показателей степеней тригонометрических функций, входящих в него.

Слайд 10

Определение 5. Уравнение называется однородным, если все одночлены, входящие в него, имеют одну и ту же степень. Эта степень называется порядком уравнения. Например : x 2 +xy-3y 2 =0 Определение 6. Тригонометрическое уравнение, содержащее только функции sin и cos, называется однородным, если все одночлены относительно тригонометрических функций имеют одинаковую степень, а сами тригонометрические функции имеют равные углы и число одночленов на 1 больше порядка уравнения. Например : cos 2 x+ 3sinx*cosx- 4sin 2 x=0 Определение 7. Тригонометрическое уравнение называется почти однородным, если один одночлен является числом, а степени остальных одночленов равны. Например : Sin(4X) – cos(4x)+3=0

Слайд 11

Формулы соответствующие блокам Блок # 1 . Формулы приведения тригонометрических функций к одинаковым углам: 1. sin2a = 2sina . cosa 2. cos2a = cos 2 a - sin 2 a 3. 2sin 2 a/2 = 1 - cosa 4. 2cos 2 a/2 = 1 + cosa Блок # 2 . Формулы приведения тригонометрических уравнений к одинаковым функциям: 1. cos 2 a = 1 - sin 2 a 2. sin 2 a = 1 - cos 2 a 3. ctga = 1/tga 4.Формулы приведения Блок # 3 . Формулы приведения тригонометрических уравнений к функциям синус и косинус: 1. tga = sina/cosa 2. ctga = cosa/sina

Слайд 12

Блок # 4 . Формулы изменения углов в тригонометрических уравнениях: 1. cos2a = cos 2 a - sin 2 a 5. cosx=cos 2 x/2- sin 2 x/2 2. sin2a = 2sina · cosa 6, sin x = 2 sin x/2*cos x/2 3. cos 2 a/2 = ( 1 + cosa )/ 2 4. sin 2 a/2 = ( 1 – cosa )/ 2 Блок # 5 . Формулы и приемы разложения левой части тригонометрического уравнения на множители: 1. Вынесение за скобку. 2. Способ группировки. 3. sina+sinb = 2sin(a+b)/2 · cos(a -b)/2 4. cosa+cosb=2cos(a+b)/2 · cos(a-b)/2 5. cosa - cosb = -2sin(a-b)/2 · sin(a+b)/2 6. а 2 - b 2 = (a - b)(a + b) 7. a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 -ab + b 2 ) 8. a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 9. sin x – sin y=2 sin( x-y)/2*cos(x+y)/2

Слайд 13

Закрепление изученного материала Решите уравнение: Sin 2x+2cos2x =1 1 .Углы одинаковые ? 2. Функции одинаковые ? 3 .Приводится к одинаковым функциям ? 4.Содержит функции sin и cos? 5 .Является однородным ? Нужно изменить углы , для этого применим формулы блока 4 : cos2a = cos 2 a - sin 2 a sin2a = 2sina · cosa Получим : 2sinxcosx+2(cos 2 x - sin 2 x)=1 ( Почти однородное 2-порядка ) Применив замену имеем : 2sinxcosx+2(cos 2 x - sin 2 x) -( Sin 2 x+cos 2 x ) = 0 Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые получили уравнение: cos 2 x-3sin 2 x+2sinxcosx=0 Полученное уравнение однородное, поэтому делим каждое слагаемое на cos 2 x или sin 2 x , Тогда получится уравнение:1-3 tg 2 x+ 2 tgx =0 Введем новую переменную : tgx = t , получили уравнение:1-3 t 2 + 2 t =0 Его корни t 1 = 1 , t 2= - 1/3 Таким образом решение исходного уравнения свелось к решению простейших уравнений : tgx = 1, tgx = - 1/3 X=∏/4+ ∏n, n€z ; x=arctg(-1 /3)+ ∏n, n€z Ответ: X=∏/4+ ∏n, n€z ; x=arctg(-1 /3)+ ∏n, n€z № 1 .Решить уравнение: а) 2-3sinx - cos2x = 0 Б) sinx = 2sin2x В) sin3x + sin5x = 0 .

Слайд 14

Домашнее задание ξ 36 разобрать задачу 8 № 624,626,1223,1217

Слайд 15

Итоги урока 1.Являются ли данные уравнения однородными ? А) cos7 x + cos x = 0. Б) sin 2 x + 14sin x · cos x = 15cos 2 x . В) 4 sinx + 2 cos x = 5 2. Одинаковые ли углы у данных функции ? А) cos x + cos3 x = 0. Б) sin 2 (4 x) - 15cos 2 x .=3 В) 4 sin(3x) + 2 cos(3x) = 5 3 . Каким способом решить данное уравнение ? (1 - √2 cosx /4)( 1+ tgx)=0 2sinx + cosx =0

Слайд 16

Это интересно Слово «тригонометрия» впервые встречается ( 1505г) в заглавии книги немецкого математика Питискуса. Понятие синуса встречается уже в III веке до нашей эры в работах великих математиков Древней Греции- Евклида, Архимеда. Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращенное латинское выражение complementy sinus то есть « дополнительный синус» cos α = sin( 90 0 - α ) Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс ( а также котангенс, секанс и косеканс) введен в X веке арабским математиком Абу-л-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангесов.