извлечение квадратного корня. Техника быстрого счета
элективный курс по алгебре (9 класс) по теме

Подготовка к ЕГЭ и ГИА. Техника быстрого счета

Извлечение корня квадратного из четырехзначного числа, представляющего полный квадрат

Рассматривая число, из которого предстоит извлечь квадратный корень, можно оценить искомое число, а иногда и сразу дать готовый ответ.

Так, рассматривая два старших разряда числа 7056, мы сразу можем точно определить число десятков А:

802 = 6400 < 7056 < 8100 = 902.

Единицы искомого числа можно оценить, вспомнив значения квадратов первых чисел натурального ряда:
12= 1;           22= 4;           З2 = 9;           42 = 16;               52 = 25;
92 = 81;       82 = 64;        72 = 49;         62 = 36;           52 = 25.

Таким образом по последней цифре квадрата числа можно сказать с точностью до двух цифр, как оно оканчивается.
Можно ли определить это окончание однозначно? Обратим внимание, что две последние цифры квадратов чисел второго десятка (11-19) различны:

112 = 121; 122 = 144; 132 = 169;
142 = 196; 152 = 225; 162 = 256;
172 = 289; 182 = 324; 192 = 361.

Попробуем воспользоваться этим обстоятельством. Рассмотрим два тождества:
SQRT(a2) = (а2 - b2)/ (а + b) + b = а; (1)
SQRT(a2) = (а* - b2)/ (а - b) - b = а. (2)

Скажем, что а + b = 100. Тогда вычисление корня квадратного становится совсем простым:
SQRT (7056) = ?
 
1) Если две последние цифры А образуют полный квадрат (например, 49), то берем это число за Ь, иначе (как в нашем случае) стараемся вспомнить двузначное число, квадрат которого оканчивался бы на эти две цифры. При этом поначалу вы можете положиться не на припоминание, а на узнавание квадрата числа, что легче:
56 - квадрата не образует;
156 - нет такого квадрата;
256 - это квадрат числа 16. Итак, b2 = 256, b = 16.
 
2) Далее надо применять одну из трех формул, связывающих (а) и (Ь) в зависимости от величины (а) (а > 75; 75 > а > 50; 50 > а).
У нас первый случай (а > 75), поэтому следуем формуле (1), где а + b = 100:
(а2 - b2)/100 = (7056 - 256) : 100 = 68.
Как видите, это несложно: достаточно освободиться от двух последних знаков (а2) или,

кроме того, из числа сотен а2 вычесть число сотен b2.
 
3) К полученному числу прибавляем (Ь): а = 68 + b = 68 + 16 = 84.
 
4) Проверим себя по формуле (а+b = 100): а + b = 84 + 16 = 100 - правильно.
 
Это позволяет убедиться, что мы использовали в п. 2 нужную формулу и не ошиблись в ином месте вычислений.
 
Для чисел 2500 < а2 <5625 (50 < а < 75) используется формула:
 
SQRT(a2) = (а2- b2)/(а - b) - b = а, где а - b = 50
для чисел а2 < 2500 ( а < 25) -
SQRT(a2) =(а2- b2)/(а + b) + b = а, где а + b = 50 

Примеры:
sqrt (3969) = ?
1) (502 = 2500 < 3969 < 5625 = 752) => 50 < а < 75.
(169= 132 = b2) => b = 13.
2) (а2- b2)/(а - b) = (3969 - 169) / 50 = 76 (умножаем на 2 и делим на 100).
3) а = 76-b = 76- 13 = 63.
а - b = 63 - 13 = 50 - правильно.
 
sqrt (1296) = ?
1) (1296 < 2500 = 502) => а < 50
196 = 142 => b= 14.
2) (а2 - b2)/(а + Ь) = (1296 - 196)/50 = 22.
3) а = 22 + b = 22+ 14= 36; а + b = 36 + 14= 50.
 
sqrt (5776) = ?
1) (752 = 5625 < 5776) => а > 75.
Но квадрата числа от 1 до 19, оканчивающегося на 76, нет. Попробуем посмотреть квадраты чисел > 20, оканчивающиеся на 4 или 6 (поскольку 5776). Первое подходящее - 242 = 576. b2 = 576; b = 24.
2) (5776 -576)/100 = 52.
3) а = 52 + 24 = 76; а + b = 76 + 24 = 100.