Готовимся к ЕГЭ
презентация к уроку алгебры (11 класс) на тему

Слайд 1

Реферат на тему Уравнения и неравенства в целых числах

Слайд 2

1. Соображения делимости 2. Метод разложения на множители 3. Графический метод решения 4. Метод решения уравнения относительно одного из неизвестных 5. Метод перебора

Слайд 3

Соображения делимости Найти целые положительные решения уравнения 2 x 2 + 2 xy – x + y = 112. Решение. Данное уравнение линейно относительно y : y (2 x + 1) = 112 + x – 2 x 2 . Так как x , y N , то 2 x + 1 0 , поэтому: 2 x + 1 = 1, 2 x + 1 = 3, 2 x + 1 = 37, 2 x + 1 = 111; x = 0, y = 112, x = 1, y = 37, x = 18, y = -14, x = 55, y = -53. После проверки получаем одно целое положительное решение x = 1, y = 37. Ответ: (1; 37).

Слайд 4

Метод разложения на множители Решение . Из первого условия следует, что m (2 n + 3) = 10, причём m – целое, а 2 n + 3 – целое и нечётное. Следовательно, возможны следующие варианты: 1. m = 2, 2 n + 3 = 5; m = 2, n = 1; m + n = 3 < 5 – не удовлетворяет второму условию; 2. m = -2, 2 n + 3 = -5; m = -2, n = -4; Найти все целые числа m и n такие, что 2 mn + 3 m = 10 и m + n 5. m + n = -6 < 5 – не удовлетворяет второму условию; 3 . m = 10, 2 n + 3 = 1; m = 10, n = -1; m + n = 9 > 5 – верно; 4 . m = -10, 2 n + 3 = -1; m = -10, n = -2; m + n = -12 < 5 – не удовлетворяет второму условию. Ответ: m = 10, n = -1.

Слайд 5

Графический метод решения Найти все целочисленные пары ( x ; y ), удовлетворяющие уравнению Решение. Найдём сначала все целые допустимые пары: 2 x – y – 3 0, 2 y – x + 3 0, 3 – x – y 0; y 2 x – 3, y y 3 – x . Изобразим множество решений последней системы на координатной плоскости: y = 2 x - 3 y = 3 - x y x 1 1 0 -3 3 Целые решения:(1; -1), (2; 1), (3; 0), (2; 0). Проверим эти решения, подставляя их в исходное уравнение: 1 . - не верно; 2 . - не верно; 3 . - не верно; 4 . - верно. Ответ: (2; 0).

Слайд 6

Графический метод решения ( x – 2) 2 + ( y – 3) 2 < 5, 4 y x + 8. Найти все целочисленные решения системы Решение. Найдем все целые допустимые пары: ( x – 2) 2 + ( y – 3) 2 < 5, Изобразим множество решений системы на координатной плоскости: y x 0 1 -1 ( x – 2) 2 + ( y – 3) 2 < 5 Целые решения: (1; 1), (2; 1), (3; 1), (0; 2), (1; 2), (2; 2), (3; 2), (4; 2), (4; 3). Точки (0; 2), (1; 1), (3; 1), (4; 2) не удовлетворяют первому неравенству системы, так как лежат на окружности. Ответ: (1; 2), (2; 1), (2; 2), (3; 2), (4; 3).

Слайд 7

Метод решения уравнения относительно одного из неизвестных Найти все целочисленные решения уравнения 2 x 2 – xy – 3 y 2 = 7. Рассмотрим уравнение как квадратное относительно x , тогда D = 25 y 2 + 56. Так как нас интересуют целочисленные решения, то 25 y 2 + 56 = K 2 ; ( K – 5 y )( K + 5 y ) = 56. Рассмотрим все варианты разложения числа 56 на целые множители: В итоге получим, что целые решения имеют две системы: 1) K – 5 y = 4, K + 5 y = 14; y = 1; 2) K – 5 y = -4, K + 5 y = -14; y = -1. Подставляя эти значения в исходное уравнение, имеем: x 1 = -2, y 1 = 1; x 2 = 2, y 2 = -1. Решение. Ответ: (-2; 1), (2; -1).

Слайд 8

Метод перебора Найти все целочисленные решения системы ( x – 3) 2 + ( y – 4) 2 < 5, 4 y x + 11. (1) Решение. ( x – 3) 2 < 5, ( y – 4) 2 < 5; < < , . Первое неравенство задаёт внутренность круга радиуса с центром в точке (3; 4) и С учётом целочисленности x и y имеем: и Разрешим второе неравенство системы сначала относительно y : (2) то есть Затем относительно x : (3) Пусть y = 2, тогда из (1) следует, что ( x – 3) 2 < 1 1. < 1; -1 < x – 3 < 1; 2 < x < 4. Целочисленное решение есть: x = 3. Оно удовлетворяет и (3). 2. Если y = 3, тогда из (1) следует, что ( x – 3) 2 < 4 < 2; -2 < x – 3 < 2; 1 < x < 5. Таким образом, получаем решения и все они удовлетворяют (3). Ответ: (3; 2), (2; 3), (3; 3), (4; 3), (5; 4). 3. При y = 4 из (1) следует, что < то есть Неравенство (3) приводит при этом к ограничению x 5. Таким образом, имеем одно решение x = 5.

Слайд 9

Универсальных методов для решения уравнений и неравенств в целых числах не существует. Чтобы решить в целых числах неравенство или уравнение, необходимо применить метод, подходящий для данного конкретного случая.