Фрагмент урока
план-конспект урока алгебры (10 класс) на тему

Задачи, приводящие к понятию производной.

1) Задача о касательной к данной кривой.

   Пусть на плоскости  xOy  задана кривая уравнением  y = f(x).  Требуется провести касательную  к данной кривой в точке М0(x0; f(x0)). Так как точка касания М0  данa, то для решения задачи потребуется найти угловой коэффициент искомой касательной, то есть  tg φ  - тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси  Ох (обозначается k).

  Через точки  М0(x0; f(x0))   и   М1(x0 + ∆x; f(x0 +∆x))   проведём секущую  М0М1.  Из рисунка видно, что угловой коэффициент  tg α   секущей   М0М1   равен отношению      (обозначим  k1),   где   ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0).

х0                  х0 + ∆х

      ∆х

М0

М1

Т

     f(x0)

  f(x0+∆x)

  Угловой коэффициент касательной М0Т к данной кривой в точке М0 может быть найден так: tg α → tg φ (k1 → k)   то есть  → k   при  ∆x → 0   (при  ∆x → 0    секущая будет поворачиваться и стремиться к касательной, а затем и «сольётся» с касательной).

2) Задача о скорости движущейся точки.

  Пусть  S = S(t)   представляет закон прямолинейного движения материальной точки. Обозначим через ∆S   путь, пройденный точкой за промежуток времени ∆t  от момента t  до t + ∆t, то есть  ∆S = S(t + ∆t) – S(t)

  Отношение  называется средней скоростью точки за время от  t  до  t + ∆t (обозначается  vср. ).

Чем меньше  ∆t,  то есть чем короче промежуток времени  от t до  t + ∆t, тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент времени  t. Такая скорость в данный момент  t называется мгновенной скоростью точки  и обозначается  vмгн

  Итак   vср  →  vмгн   при  ∆t → 0   то есть

→ vмгн       при    ∆t → 0.

3) Задача о скорости химической реакции.

  Пусть дана функция m = m(t), где  m -  количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию к моменту времени  t.  Отношение  -  средняя скорость химической реакции за промежуток времени  ∆t. Нам интересна скорость химической реакции в данный момент времени  t.  

 → vмгн     при   ∆t → 0.

4) Задача о скорости роста популяции.

Пусть p = p(t) - размер популяции бактерий в момент t. Тогда   → vмгн    при   ∆t → 0,

где  vмгн -  скорость роста популяции в данный момент t.

5) Задача о производительности труда.

  Пусть к моменту времени t часов рабочий произвёл  F = F(t)  единиц  продукции (выработка составил F(t) единиц). Приращение выпуска продукции   ∆F  за время  ∆t  равно числу единиц продукции, выпущенной за время   ∆t, то есть

∆F = F(t + ∆t) – F(t). Отношение  называется средней производительностью труда рабочего за время  от  t  до  t + ∆t. Число, к которому стремится отношение    при  ∆t → 0 называется производительностью труда рабочего в момент времени  t.

  Математическая операция, требуемая для решения рассмотренных выше задач одна и та же. Выясним аналитическую сущность этой операции, отвлекаясь от вызвавших её конкретных вопросов.

  Пусть функция y = f(x)  определена на промежутке (a;b). Возьмём какое – нибудь  значение  x0   из  (a;b).  Затем возьмём новое значение аргумента  x0 + ∆x  из этого промежутка, придав первоначальному значению  x0  приращение  ∆x (положительное или отрицательное). Этому новому значению аргумента соответствует и новое значение функции  f(x0 + ∆x), где  ∆f = f(x0 + ∆x) – f(x).  Теперь составим отношение .   Оно является функцией от∆x.

  Число, к которому стремится отношение   при   ∆x стремящемся к нулю, называется  скоростью изменения функции  в  точке  х0  или производной функции в точке х0.

Определение: Производной функции  f  в  точке  х0, называется число, к которому стремится разностное отношение  при  ∆x, стремящемся к нулю.

  Производная функции  f в точке  х0  обозначается  f (x0).

  Действие нахождения производной функции называется дифференцированием, а функция, имеющая производную в точке х0, дифференцируемой в этой точке.  Функция, дифференцируемая в каждой точке интервала, называется дифференцируемой на этом интервале.

  Из рассмотренных выше задач, приводящих к понятию производной, следует несколько выводов.

  Скорость прямолинейного движения есть производная пути  S = S(t) по времени t, то есть v = S.  В этом состоит механический смысл производной.

  Понятие производной позволяет определить не только мгновенную скорость прямолинейного движения, но и мгновенную скорость протекания других физических процессов.

  Скорость химической реакции есть производная количества вещества m = m(t)   по времени t, то есть  v = m.

  Скорость роста популяции есть производная размера популяции   p = p(t)  по времени  t, то есть  v = p.

  Скорость роста численности населения есть производная от количества населения A = A(t) по времени t, т. е . v = A(t).

  Сила переменного тока  есть производная количества электричества   q = q(t)  по времени  t, то есть   I = q.

  Угловой коэффициент касательной к кривой  y = f(x) в точке с абсциссой  х0  есть производная  f (x0).  В этом состоит геометрический смысл производной.

  Производительность труда   f(t)    есть производная от выработки продукции  F(t) по времени t, то есть  f(t) = F (t).

  Производная – скорость изменения функции.