Главные вкладки

    Методы решения уравнений
    методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

    Сайкун Найля Низамутдиновна

    В данном материале рассмотрены некоторые методы решения уравнений с одной переменной 1,2,3,4, степени. Это метод разложения на множители, метод введения новой переменной, решение биквадратного уравнения, графический метод. 

    Скачать:

    ВложениеРазмер
    Файл reshenie_uravneniy.rar42.59 КБ

    Предварительный просмотр:

    Урок по теме "Методы решения уравнений».

    Цели:

    1. Развитие интереса к математике.
    2. Знакомство с основными методами решения уравнений с одной переменной.

    План

    1. Целое уравнение. Степень уравнения.
    2. Методы решения уравнений.

    - уравнение 1 степени:

    - уравнение 2 степени:

    Методы решения уравнений:

    а) метод разложения на множители;
    б) метод введения новой переменной;
    в) рассмотри уравнение как квадратное;
    г) графический метод.

     Под  степенью уравнения Р(х) = 0 мы будем понимать степень многочлена стандартного вида Р(х), т.е. наибольший показатель степени входящей в него переменной.

    1. Рассмотрим решение уравнений разных степеней.
    1. Любое уравнение первой степени можно привести к виду , где – переменная, – числа, причем .

    Значит .

    Уравнение имеет 1 корень.

    1. Любое уравнение 2 степени можно привести к виду , где – переменная, – числа, . Это хорошо известное нам квадратное уравнение. Мы знаем, что корни этого уравнения можно вычислить по формуле

    , где .

    Т.о. уравнения 1 и 2-й степени мы можем решать с помощью формул.

    1. Любое уравнение 3-й степени мы можем привести к виду:

    4. Уравнение 4-й степени – к виду: .

    Для этих уравнений тоже существуют формулы для вычисления корней, но они очень сложные, а вот для уравнений 5 и 6 степени таких формул вообще не существует. Поэтому встает вопрос о решении таких уравнений каким-то другим способом, без применения формул корней.

    Попытаемся найти эти “ключики” к решению.

    а) Рассмотрим уравнение

    Как бы вы начали решать это уравнение?

    Разложить многочлен в левой части на множители

    Произведение = 0, если хотя бы один из множителей = 0, т.е.

    Значит уравнение имеет 3 корня: -6; 0; 6.

    А теперь внимательно посмотрим на такое уравнение: .

    В этом уравнении также можно левую часть разложить на множители, используя способ группировки.

    Ответ: –1; 1; 8.

    Как же можно назвать метод решения этих уравнений?

    (Метод разложения на множители)

    б) Дано уравнение:

    Ваши предложения по его решению?

    (Предлагают раскрыть скобки).

    Найти решение такого уравнения довольно сложно.

    Каковы особенности данного уравнения?

    (выражение встречается в уравнении дважды: во 2-й и 1-й степени, т.е. уравнение похоже на квадратное).

    Обозначим .

    Получим новое уравнение:

    Значит, выражение может принимать значения 36 или –6.

    Значит, исходное уравнение имеет четыре корня: – 4; 2; 3; 9.

    (Что мы сделали для решения?)

    (Ввели новую переменную).

    Поэтому этот метод и назовем метод введения новой переменной.

    Метод введения новой переменной можно применять для многих типов уравнений.

    Например:

    Найдем корни этого уравнения, а дальше решение аналогично предыдущему.

    Введение новой переменной позволяет решать и такие трехчленные уравнения:

    На какое известное уравнение похоже данное? (на квадратное, относительно )

    Такие уравнения называются биквадратными.

    Обозначим . Получаем уравнение

    Например: 

    Значит:

    Ответ: –1; 1; ;

    Вообще, многие уравнения можно свести к квадратным, даже если они на квадратные совсем не похожи.

    Например:

    – уравнение корней не имеет.

    в) Можно выделить целую группу уравнений, которые ни одним из рассмотренных методов не решаются.

    И тогда на помощь приходят графики.

    Рассмотрим уравнение

    В правой части хорошо знакомая квадратичная функция; слева – функция вида , графики которой умеем строить.

    Решить уравнение значит найти такие значения x, при которых значения этих функций будут равны, т.е. нужно найти абсциссы точек пересечения графиков этих функций.

    х

    0

    1

    –1

    –2

     

    – ветви вверх

    f(0)=f(6)=9

    f(2)=f(4)=4–12+9=1

    у

    0

    0,5

    –0,5

    –4

     

     

     

     

     

    Графики имеют одну точку пересечения, значит уравнение имеет один корень.

    Графический способ позволяет найти приближенные значения корней.

    Конечно же, мы рассмотрели далеко не все методы решения уравнений, а их существует множество.


    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    «Нестандартные методы решения уравнений и других задач в углубленном курсе математики.» Исследовательская деятельность.

    Исследовательская деятельность педагога - одна из форм работы  учителя. Современный учитель переживает период переосмысления, отказа от некоторых устоявшихся традиций и стереотипов, выбора и пост...

    Численные методы решения уравнений

    Решение уравнений: методом деления отрезка пополам (дихотомии), итераций,касательных, хорд...

    Графический метод решения уравнений

    Графический метод решения уравнений...

    Интегрированный урок в 9 классе математика+ физика «Применение математических методов решения уравнений 2-й степени при решении физических задач».

    Интегрированный урок в 9 классематематика+ физика«Применение математических методов решения уравнений 2-й степени при решении физических задач».     Разработали:  учитель...

    Презентация к уроку алгебры в 11 классе "Функционально-графические методы решения уравнений".

    Презентацию можно использовать на уроках итогового повторения....

    Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера

    Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера...