Различные способы при разложении многочлена на множители
методическая разработка по алгебре (7 класс) на тему

Тема урока: Различные способы при разложении многочлена на множители.

Учитель: Чайникова Татьяна Викторовна

  МБОУ «СОШ №2 с углублённым изучением отдельных предметов»,

Г. Лысьва, Пермский край.

Тип урока: Урок-исследование.

Образовательная цель:

1. создать условия для отработки умений и навыков разложения многочлена на множители с использованием различных способов.

Развивающие цели:

1. развивать интеллектуальные умения (анализ, синтез)
2. развивать такие качества мышления, как убедительность, доказательность, гибкость, критичность.

Воспитательные цели:

1. воспитывать чувство ценности интеллектуального труда, чувство удовлетворенности своей учебной работой, умение работать в группе.

1. Орг.момент.

       Здравствуйте ребята! Как ваше настроение?  Надеюсь, сегодня на уроке, мы с вами отлично поработаем. Желаю вам в группах взаимопонимания, чёткости, гибкости, умения слышать друг друга!

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ГРУППЕ:

1.Внимательно слушать задания.

2. Группа совместно обсуждает и решает, выдвигает идеи или опровергает их.

3. Выберите выступающего.

4. Помните, что успех группы зависит от того, насколько каждый проявит свои достоинства.

5. Во время работы с уважением относитесь к товарищам: принимая или отвергая идею, делайте это вежливо. Помните, что каждый имеет право на ошибку.

6. Каждый член группы должен работать в полную меру своих сил.

Эпиграф «Первое условие, которое надлежит выполнить в математике,- это быть точным, второе – быть ясным и, насколько можно, простым»(Слайд 2)

                                                                                                                             Л. Карно.

2.          Откройте тетради, запишите сегодняшнее число 26.04.12 и тему урока «Различные способы при разложении многочлена на множители».

            Вы когда- нибудь слышали кто такие исследователи? Исследователь – человек, занимающийся  научными   исследованиями. Исследовать –    подвергнуть научному изучению.  Сегодня мы будем учиться проводить исследование. Любая профессия предполагает постановки цели, выдвижения гипотез. Все учёные – исследователи работают по определенному плану. Итак:

   Этапы исследования:(Слайд 3)

1. Актуальность.
2.  История вопроса.
3. Теоретическая база.
4.  Постановка гипотезы.
5.  Доказательство гипотезы.
6.  Вывод.

              Исследование начинается с проблемы. Вспомним короля математики Карла Гаусса. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел  от 1 до 100. Юный Гаусс ( а было ему 10 лет) заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: . Математики народ особый, они ищут более рациональные (рациональный, значит разумный) пути решения проблем.  Сегодня мы поступим как истинные математики.

 3.   1) Актуальность.

 На доске записано  задание: Найти значение многочлена:(Слайд 4)

X6+2 X5+9 X4+16 X3 +24 X2+32 X+16, если X=2.

Получение ответа непосредственным счётом займёт слишком много времени.

Как нам выполнить это задание?

2) История вопроса. У любой проблемы есть своя история. Поэтому обязательным этапом  является история вопроса. Чтобы решить эту проблему, мы используем наш опыт.  

Какие способы вы знаете разложения многочлена на множители? В группах подумайте. Слушаю ваши ответы.(Слайд 5)

 Способы разложения многочлена на множители

Вынесение общего множителя за скобки

Способ группировки

С помощью формул сокращенного умножения.

3) Теоретическая база. Как настоящие исследователи вспомним теорию. У вас на столах есть учебники, воспользуйтесь ими.

        Подумайте и ответьте на следующие вопросы:  1)Что такое многочлен? 2)Что значит разложить многочлен на множители? 3)  Формулы сокращенного умножения.

Ответ 1)Многочленом называется сумма одночленов. Ответ 2)Представить многочлен в виде произведения двух или нескольких многочленов или одночленов.

Ответ 3)Формулы сокращенного умножения.(Проговорите формулы).(Слайд 6)

a2+ 2аb + b2 = (a + b)2

a2 - 2аb + b2 = (a - b)2

a2 - b2 = (а – b)(а + b)

a3+ b3 = (а + b)( a2 - аb + b2)

a3- b3= (а - b)( a2+ аb + b2)    

Теорию мы повторили, сейчас проверим ваши практические навыки разложения многочлена на множители. Следующее задание для группы: разложить на множители каждый многочлен, выбрать ответ и записать соответствующую букву, в итоге у вас получится слово. (Слайд 6)

1)6a3x-9a2y;    =3a2(2ax-3y)  Е

2) ac+ad+2bc+2bd;  =(c+d)(a+2b) В

3) c2-4;    =(c-2)(c+2)  К

4)x2-2x+1;     =(x-1)2    Л 

5) 5a2-5ax-7a+7x;    =(a-x)(5a-7) И

6)4b2+4b+1.  = (2b+1)2 Д

«Евклид».  На стр.206 прочитайте о формулах сокращённого умножения. (Слайд 8)

Некоторые правила сокращённого умножения были известны ещё около 4 тыс.лет тому назад. Их знали вавилоняне и другие народы древности. Тогда они формулировались словесно или геометрически.

   У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили, на « a2», а «квадрат на отрезке a», не « ab», а «прямоугольник, содержащийся между отрезками a  и  b». Например, тождество     (a + b)2=  a2+ 2аb + b2  во второй книге «Начала» Евклида(3 в.до н.э.) формулировалось так: «Если прямая линия ( имеется в виду отрезок) как- либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключённым между отрезками».

    Некоторые термины подобного геометрического изложения алгебры сохранились до сих пор. Так, мы называем вторую степень числа квадратом, а третью степень – кубом.

     Что поняли? Что запомнилось?

Евклид был учёным-одиночкой, ему приходилось работать одному. Вам должно быть легче работать в группах.

Первый пример был с использованием, какого способа? ( Вынесение общего множителя за скобки). А второй?  (Способ группировки). Третий? С помощью формул сокращенного умножения. Четвёртый? (С помощью формул сокращенного умножения). Пятый?  (Способ группировки). И шестой? (С помощью формул сокращенного умножения). Где возможно применить? (Слайд  9) 1. При  решении уравнений:  

  х2 – 15х +56 =0;

2. При доказательстве тождеств:

(а2 +3а)2 +2(а2 +3а)= а(а+1)(а+2)(а+3);

4) Постановка гипотезы. Возвращаемся к нашему заданию. Как настоящие учёные- исследователи, мы должны выдвинуть гипотезу: как выполнить задание? Я предлагаю  разбить наше выражение на мелкие части. Ведь если есть одна большая проблема, решать её сложно, а разбив её на маленькие части, мы сможем постепенно, теми способами, которые мы знаем разрешить её.

          Но для начала я предлагаю вам выполнить следующее задание. (Слайд10).Выполните разложение многочлена на множители, выбрав любой уровень, эта работа индивидуальная. Задание выполняет каждый, на карточке, их подпишите.

  Давайте сверим ответы. Кто выполнял задания 1 уровня? Кто -2уровня?

Решение: (Слайд 11)

1 уровень

1. Разложить на множители:

а) 3x2-12=3(x2-4)=3(x-2)(x+2);

б) 50b-2a2b=2b(25- a2)= 2b(5-a)(5+a).

2. Представить в виде произведения:

а) 3 a2-6 ab+3 b2=3(a2-2ab+b2)=3(a-b)2;

б) ax2+4 ax +4a=a(x2+4x+4)=a(x+2)2;

в) 2x2- 4x+2=2(x2-2x+1)=2(x-1)2.

2 уровень

1. Разложить на множители:

а) -3a3+3ab2=-3a(a2- b2)=-3(a-b)(a+b);

б) –abc-5ac-4ab-20a=-a(bc+5c+4b+20)=-a(c(b+5)+4(b+5))=-a(b+5)(c+4).

2. Представить в виде произведения:

а) -5a2- 10ab-5 b2=-5(a2 +2 ab+ b2)= -5(a+b)2;

б) -12x3-12x2 -3x= -3 x(4 x2+4x+1)=-3х(2x+1)2.

    Работа для группы. Возьмите карточку, на которой у вас одно выражение и разложите его на множители. По одному человеку от группы к доске, записать решение.

1. X6+2 X5+ X4= X4(X2+2 X+1)= X4(X+1)2;
2. 8X4+16 X3+8 X2=8 X2(X2+2 X+1)= 8 X2(X+1)2;
3. 16 X2+32 X+16=16(X2+2 X+1)=16(X+1)2;

5)Доказательство гипотезы. Наша гипотеза, что выражение можно, разложить на множители,  разбив его на мелкие части, может подтвердиться, а может, и нет.  Давайте проверим. Кто может выйти к доске и собрать все части вместе?

 X6+2 X5+9 X4+16 X3+24 X2+32 X+16= (X6+2 X5+ X4)+ (8X4+16 X3+8 X2)+ (16 X2+32 X+16)= =X4(X+1)2+8 X2(X+1)2+16(X+1)2=(X+1)2(X4+8 X2+16)= (X+1)2(X2+4).

Если X=2, то (2+1)2(22+4)2=32 * 82=9*64=576.

Когда легче найти значение многочлена, до его разложения на множители или после?

- После.

6) Вывод. Мы решили одно задание, а, сколько знаний мы при этом использовали! Какие способы мы применяли для разложения многочлена на множители?

1. Вынесение общего множителя за скобки;
2. Способ группировки;
3. С помощью формул сокращенного умножения.

          Составим алгоритм  разложения многочлена на множители: (Слайд 18)

4. Вынести общий множитель за скобку (если он есть).
5. Попробовать разложить многочлен на множители по формулам сокращенного умножения.
6. Попытаться применить способ группировки

(если предыдущие способы не привели к цели).

Для решения любой проблемы нужна большая теоретическая база и навыки практического применения алгоритмов. Давайте ещё раз повторим, какие этапы пути мы прошли  с вами как исследователи.

4.      Вы сегодня поработали в командах. Оцените свою работу. Было ли вам комфортно работать? Какие у вас возникли проблемы?

5. Дом. задание: Я приготовила для вас карточку с заданиями 3 уровня, пожалуйста, выполните их.

                       3 уровень

1. Разложить на множители:

а) x2(x-3)-2x(x-3)+(x-3);

б)  4a2-4 b2-4a+4b;

2. Какой многочлен надо записать вместо знака #, чтобы выполнялось равенство:

(x+1)* #=x2+3x+2.

С каким настроением вы уходите с урока? Вы сегодня хорошо потрудились! Молодцы! Всем спасибо! Урок закончен!

Для урока нужно:

Детям – 1. Иметь приличный вид. 2. Знать теорию. 3. Уметь применять её на практике. 4. Учебники. 5. Тетради, ручки.

Учителю – 1. Следующие карточки для групп:

3. Карточку с решением.

Решение:

1 уровень

1) Разложить на множители:

а) 3x2-12=3(x2-4)=3(x-2)(x+2);

б) 50b-2a2b=2b(25- a2)= 2b(5-a)(5+a).

2)Представить в виде произведения:

а) 3 a2-6 ab+3 b2=3(a2-2ab+b2)=3(a-b)2;

б) ax2+4 ax +4a=a(x2+4x+4)=a(x+2)2;

в) 2x2- 4x+2=2(x2-2x+1)=2(x-1)2.

2 уровень

1)Разложить на множители:

а) -3a3+3ab2=-3a(a2- b2)=-3(a-b)(a+b);

б) –abc-5ac-4ab-20a=-a(bc+5c+4b+20)=-a(c(b+5)+4(b+5))=-a(b+5)(c+4).

2)Представить в виде произведения:

а) -5a2- 10ab-5 b2=-5(a2 +2 ab+ b2)= -5(a+b)2;

б) -12x3-12x2 -3x= -3 x(4 x2+4x+1)=-3х(2x+1)2.

3. 4 файла, в которые нужно сложить1) Карточку с Евклидом. 2) Одно задание .3)  По шесть карточек 1 и 2 уровень. 4) Шесть карточек 3 уровень. 5) Чистый лист бумаги (на котором будут фиксировать теоретические вопросы). 6) Демо.вариант.