Задание С6 по подготовке к ЕГЭ
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Задание С6

Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел (то есть чисел, наибольший общий делитель которых равен 1) a и b, что если к десятичной записи числа a приписать справа через запятую десятичную запись числа b, то получится десятичная запись числа, равного .

Характеристика задания С6

Впервые предложено задание на целые числа. Обычно такие задания предлагались на математических олимпиадах разного уровня. При выполнении таких заданий ученики должны уметь:

1. Планировать и реализовывать перебор вариантов;
2. Использовать свойства операций над числами;
3. Применять свойства вспомогательных функций;
4. Применять методы решения уравнений в целых числах.

Отсюда понятна высокая трудность выполнения таких заданий учениками. Такие задания удастся выполнить только ученикам, которые готовятся поступать в вузы с высокими требованиями к математической подготовке учащихся.

Подготовку учащихся к выполнению таких заданий должны осуществлять все учителя школы, работающие с учениками с 5-го по 11-ый классы.

Прогноз на возможные изменения и усложнения задания С6

Изменения в задании может идти по таким направлениям:

1. Могут быть предложены задачи, по условиям которых будет составлено уравнение другого типа.

2. Могут задачи, в которых требуется обеспечить заданные свойства решений.

3. Задачи, в которых требуется найти число с определенными свойствами или доказать, что их нет.

4. Задания, в которых требуется решить уравнение в целых числах.

Примеры заданий типа С6

Задание 1. Решить уравнение в целых числах 3х+8=у2.

Ответ: (0; 3) и (0; -3).

Задание 2. Найдите все такие целые числа а и b, что корни уравнения x2+(2a+9)x+3b+5=0 являются различными целыми числами, а коэффициенты 2а+9 и 3b+5 – простые числа.

Ответ: а=-3, b=-1.

Задание 3. Найдите все такие значения параметра n, что при вычеркивании первой цифры у числа 4n снова получается число, являющееся натуральной степенью числа 4.

Ответ: 3.

Задание 4. Квадратный трехчлен f(x)=x2+px+q имеет два различных целых корня. Один из корней трехчлена и его значение в точке х=11 являются простыми числами. Найдите корни трехчлена.

Ответ: х1=12, х2=13.

Задание 5. Каждый из двух различных корней квадратного трехчлена f(x)=x2+(3a+10)x+5b-14 и его значение при х=1 являются простыми числами. Найдите а и b и корни трехчлена f(x).

Ответ: а=-5, b=4, x1=2, x2=3.

Задание 6. К десятичной записи целого числа n≠0 приписали справа какую-то цифру. К получившемуся новому числу прибавили квадрат  числа n, а потом вычли 3. Получилось число  14n. Какое число n было взято и какая цифра была приписана?

Ответ: 1 и 6; 2 и 7; 3 и 6; 4 и 3; -1 и 2; -2 и 9.