Процентные расчеты на каждый день
методическая разработка по алгебре (7 класс) по теме

Районный смотр-конкурс методических и дидактических средств обучения

Управление образования Горнозаводского муниципального района

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Горнозаводская общеобразовательная школа №3»

                                                                                       Номинация: общее образование

                                                                                                                        (математика)

                   Процентные расчеты на каждый день

(методические разработки)

Автор: Данилова Наталия Евгеньевна, учитель математики высшей категории МОУ «Средняя общеобразовательная школа №3» г. Горнозаводска

                                                                                Почтовый адрес школы:  618820,

                                                                                             Пермский край, г. Горнозаводск,

                                                               ул. Кирова, д.6    

Горнозаводск, 2012

Пояснительная записка

Современный общеобразовательный процесс характеризуется переходом на концентрическое обучение по отдельным дисциплинам. В Российской педагогической энциклопедии читаем «Концентризм в обучении – это принцип построения изучения наук, характеризующийся тем, что часть учебного материала повторно, но с разной степенью углубления изучается на нескольких ступенях обучения». Проанализировав программу обучения математики в средней школе, можно с уверенностью сказать, что при изучении темы «Проценты», такая модель необходима. Так, программа предполагает изучение данной темы только в 5 классе в течение 5 уроков IV четверти. В учебнике под редакцией Н.Я. Виленкина предполагается решить определенное количество задач на «проценты»: 23-в классе, 14-дома, 3-в разделе «повторение».

В 6 классе при изучении темы «Пропорция» задачи на проценты решаются параллельно с другими задачами. В результате учащиеся старших классов решают задачи на проценты лишь с помощью двух «классических» действий,   совсем не подготовлены к решению задач более сложного уровня.         В 7 классе задачи на проценты встречаются крайне редко и только в рамках повторения. Выпускники школ относят задачи на проценты к группе «риска» на выпускных экзаменах, в том числе и при сдаче ЕГЭ. Так, предложив одинаковые задачи на проценты в 6 и 9 классе оказалось, что:

Данные позволяют сделать вывод: ученики 6-го класса решают задачи лучше, чем выпускники основной школы. Наряду с этим, анализируя материалы КИМов, демонстрационных материалов ЕГЭ за последние 5 лет, мною замечено, что задачи на проценты занимают значительное место от общего количества задач.

Приведенные выше сведения говорят о том, что данная проблема актуальна в современных условиях образования.  Учитель должен способствовать повышению качества обучения, формированию предметных компетенций, вместе с тем и развитию мотивации к предмету.

В связи с этим, предлагаемые мной методические разработки преследуют следующие цели:

1. Формирование качественного мышления у учащихся, характерного для математической деятельности и необходимого человеку для жизни в современном обществе, для общей социальной ориентации и решения практических проблем.

В связи с тем, что наша школа в течение ряда лет работает по проблеме «Создание здоровьеформирующей среды и использование здоровьесберегающих личностно-ориентированых технологий в учебном процессе», необходимо акцентировать внимание учащихся на заботу о своем здоровье.

Диагностические разработки позволят решить следующие  задачи: формировать умения производить процентные вычисления, необходимые для применения в практической деятельности;

- решать основные задачи на проценты;

- привить учащимся основы экономической деятельности;

- помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Предлагаемые мной разработки – это обобщение своего опыта работы с использованием некоторых идей математиков О.Бекоевой, В.Студенецкой, М.Кац, опубликованных в газете «1 сентября», предлагаемые материалы апробированы мной на занятиях элективных курсов в 8-А классе в этом учебном году, и в 9-А, 9-В в прошлом учебном году и обсуждены на методическом объединении учителей математиков.

      Если со всей ответственностью подойти к изучению темы «Проценты», а именно, заинтересовать учащихся в начале обучения историческими сведениями; предложить опорные конспекты; использовать схемы, таблицы при решении задач; организовать конкурс творческих заданий, то результат окажется положительным. Так, при проведении занятий элективных курсов в 8-А и 10-А классах, учащиеся стараются использовать приемы, рекомендованные в виде схем и графиков.  Ученики 6-А, 6-Б классов нашей школы с интересом составляли сказочные задачи на проценты и красочно их оформляли ( Приложение 4).

Методические разработки состоят из приложений:

1. История возникновения процентов.

2. Использование таблиц при решении задач в 5 классе.

3. Опорный конспект «Процент числа», 5 класс.

4.Творческие задания.

5. Внедрение приемов с позиций здоровьесбережения на уроках в 6 классе.

6.Фрагмент урока с экологическим содержанием 5 класс.

7.Задачи для 7-11 классов (с использование прямоугольников).

8. Схемы при решении задач на смеси.

9. Проценты в стихах.

Анализ результатов мониторинговых обследований качества подготовки учащихся общеобразовательных школ района Пермского края показал, что уровень сдачи тестов учащимися 5 классов в 2007 году и 6 классов в 2008 году практически не снижается.

По итогам мониторинга при определении динамики и тенденции развития уровня обученности учащихся в 2007-2008учебном году выявлено следующее: соблюдается стабильность с элементами роста, так при максимальном балле «20»:

Средний балл по району – 9,4

Средний балл по школе – 11,6

Все эти факты убедили меня пересмотреть подход к изучению темы «Проценты» уже в 5 классе. В своей работе я предлагаю фрагменты уроков в 5, 6 классах, фрагменты занятий элективных курсов по проблеме. Данные материалы, надеюсь, будут интересны ученикам и их родителям, молодым педагогам, учителям – стажистам любых общеобразовательных учреждений.

В дальнейшем планирую подборку и составление задач на проценты для всего курса математики  с 5 по 11 классы в виде небольшой  брошюры и публикации.

                                                                                                       Приложение 1.

История возникновения процентов

Проценты – одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, мы часто читаем или слышим, что например, в выборах приняли участи 52,5% избирателей, рейтинг победителя хит-парада равен 75%, промышленной производство сократилось на 11,3%, уровень инфляции 8/% в год, банк начисляет 12% годовых, молоко содержит 3,2% жира, материал содержит 60% хлопка и 40% полиэстера и т.д.

Слово «процент» происходит от латинского слова pro centum, что буквально переводится «за сотню», или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целыми. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. Уже в клинописных таблицах вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До нас дошли составленные вавилонянами таблицы процентов, которые позволяли быстро определить сумму процентных денег. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применив так называемое тройное правило, т. е. пользуясь пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов. Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам.

В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особо много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, т. е. сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов разрабатывали свои особые таблицы, которые составляли  коммерческий секрет фирмы.

Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в  1584 году Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий в том числе – особой записи десятичных дробей.

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль и убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Нынче процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента.

Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые «промилле» (от латинского pro mille – «с тысячи»), обозначаемые, по аналогии процентов. Изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и способствовало дальнейшему ее развитию.

Еще мы говорили о предметах о некоторой заданной совокупности – деньгах, зарабатываемых в семье, материалах, продуктах питания, то процент, разумеется, 100 сотых частей самого себя. Поэтому обычно говорят, что она «принимается за 100%».

Если речь   идет о проценте от данного числа, то это число принимается за 100%. Например, 1% зарплаты – это сотая часть зарплаты; 100% зарплаты – это 100 сотых частей зарплаты. Т.е. вся зарплата. Подоходный налог с зарплаты берется в размере 13%, т. е. 13 сотых от зарплаты. Надпись «60%» хлопка на этикетке обозначает, что материал содержит 60 сотых хлопка, т. е. более чем на половину состоит их чистого хлопка. 3,2 жира в молоке означает, что 3,2 сотых массы продукта составляет жир ( или, другими словами, в каждых 100 граммах этого продукта содержится 3,2 грамма жира).

Как известно из практики, с помощью процентов часто показывают изменение той или иной конкретной величины. Такая форма является наглядной числовой характеристикой изменения, характеризующей значимость произошедшего изменения. Например, уровень подростковой преступности повысился на 3%, в этом ничего страшного нет – быть может, эта цифра отражает только естественные колебания уровня. На если он повысился на 30%,  то это уже говорит о серьезности проблемы и необходимости изучения причин такого явления и принятия, соответствующих мер.

                                                                                                   Приложение 2

Использование таблиц при решении задач в 5 классе

Задача 1. Швейная фабрика выпустила 1200 костюмов. Из них 32% составляют костюмы нового фасона. Сколько костюмов нового фасона выпустила фабрика?

Задача 2. За контрольную работу по  математике отметку «5» получили 12 учеников, что составляет 30% всех учеников. Сколько учеников в классе?

Задача 3. Из 1800 га колхозного поля 558 га засажено картофелем. Какой процент засажен картофелем?

Детей сбивает с толку не только сложность рассуждений, но и разная запись кратного условия. Между тем задачи можно решать по одному образцу. Для решения задачи составим таблицу, форма которой не будет меняться. В графе количество обязательно укажем наименование (га, км, т, кг и т. д.)

                                                                                                      Приложение 3

Опорный конспект «Процент числа», 5 класс

В учебнике «Математика, 5», изучая тему главы «Дробные числа», учащиеся решают задачи на нахождение части от числа и числа по его части. Они знакомятся с понятием «числитель» и «знаменатель» дроби. Именно в этот момент удобно ввести и понятие процента, как 1/100 от числа (то есть число разделили на 100 частей и взяли 1 часть). Ученики учатся записывать в виде обыкновенной дроби любой процент числа. Четко проводится идея, что процент это та же часть числа, только записанная по-другому, и ей всегда можно вернуть привычный вид. Типизация задач на «проценты» и методы их решения «заключаются» в опорный конспект 1:

1%=1/100, 5%=5/100, 13%=13/100, 120%=120/100, 100%=100/100=1.

Опорный конспект №2, где сосредоточена работа с процентом как в виде десятичной дроби, так и в виде обыкновенной.

1%=1/100=0,01

                                                                                                      Приложение 4

Творческие задания

Чтобы заинтересовать учащихся, а также развить творческую деятельность, можно предложить в домашнем задании составить, решить или нарисовать задачу сказочного содержания. Вот некоторые из них – задачи составленные детьми 5-6 классов.

Задачи на нахождение процента от числа.

Медведь, волк и лиса нашли в лесу сундук с 5050 золотыми монетами. Они взяли 40% всех монет, остальные монеты растащили грабители. Сколько монет растащили грабители? (3030 монет)

Длина Волги 3530 км. Корабль проплыл 10% длины этой реки и сделал первую остановку. Сколько километров проплыл корабль до первой остановки? (353 км)

Карлсон купил новый шампунь. После того, как он помылся, от его прежних 450 волосинок осталось 38%. Сколько волосинок исчезло с головы Карлсона (279)

Кощей поспорил с бабой Ягой, что просидит в печке 200 минут, а просидел 68% этого времени. Сколько минут просидел Кощей в печке? (136 минут)

Кот Матроскин и почтальон Печкин ели леденцы. Кот съел 24 леденца, почтальон 50% этого количества. Сколько леденцов они съели вместе? (36 леденцов).

Задачи на нахождение числа по его процентам.

Колобок прокатился по лесу 25 км, что составило 20% пути. Каков путь, который должен был проделать колобок (125 км)

Золотая рыбка построила 12 замков для бедных и обездоленных людей, что составило 60% всех намеченных ею. Сколько всего замков хотела построить золотая рыбка? (20 замков).

Накануне Нового года гномам повезло. Они нашли 42 кг золота, что составляет 30% того, что имелось в пещере. Сколько золота находилось в пещере? (140 кг)

Винни-Пух так  увлекся вкусной едой, что съел 5 банок сгущенки, что составило 50% имеющейся у Кролика и 6 коробок конфет, что составило 60% всех запасов. Сколько и чего было у Кролика? (10 банок сгущенки; 10 коробок конфет)

Маленькая принцесса очень любила конфеты «Рафаэлло», она съела 20 штук, что составило 40% всех запасов ее родителей. Сколько конфет осталось в запасе? (30 штук)

                                                                                                  Приложение 5

Внедрение приемов с позиций здоровьесбережения на уроках в 6 классе.

Большинство ученых стран Запада, исследуя отравляющее действие табачного дыма на организм человека, пришли к выводу, что курение – очень опасный враг для здоровья и жизни человека. В развитых странах мира за последние 30 лет количество курящих сократилось в 2-3 раза; в нашей стране, наоборот, количество курящих увеличилось в 3 раза.

Задача 1. В табачном дыме одной сигиреты содержится много ядовитых веществ, разрушающих организм человека. Определите процентное содержание самых ядовитых веществ – синильной кислоты, табачного дегтя, окиси углерода, полония, - в одной сигарете, если никотина 2%, а синильная кислота составляет ½ часть никотина; табачного дегтя в 7,5 раз больше, чем никотина; окись углерода составляет 3/5 от количества табачного дегтя; полоний – 210 составляет 2/3 от количества окиси углерода.

Задача 2. Определите, сколько курящих детей в школе, в которой обучается 500 мальчиков и 600 девочек, если по статистике курящих мальчиков – 60%, курящих девочек – 40%.

Задача 3. Курящие дети сокращают себе жизнь на 15%. Определите, какова продолжительность жизни нынешних курящих детей, если средняя продолжительность жизни в России 67 лет?

Задача 4. при проверке состояния здоровья группы учеников школы, состоящей из 20 человек со стажем курения 3-5 лет обнаружено, что 70% из них имеет по 2 заболевания (органов дыхания и пищеварения). Остальные по одному заболеванию. Определите, сколько учащихся этой группы имеют по 2 и сколько по одному заболеванию?

Задача 5. Средний вес новорожденного ребенка 3 кг. 300гр. Если у ребенка курящий отец, то его вес будет меньше среднего на 125 гр; если курящая мать – меньше на 300 гр. Определите, сколько процентов теряет в весе новорожденный, если: а) курит папа; б) курит мама (ответ округлите до единиц)

Задача 6. Весь мир борется с табаком. Во многих странах запрещено курение на рабочем месте. Серьезный работодатель может не принять на работу, или уволить курящего. Причину этого может объяснить следующий пример: если хороший секретарь – машинист курит, то на страницах печатного текста в 800 знаков у нее будет 4% ошибок. Сколько ошибок будет у него на страницах, где знаков в 1,5 раза больше?

Задача 7. В 10-А классе нашей школы 21 учащийся, из них 3 человека курят. Каков процент курящих детей в классе?

Задача 8. Определите, сколько процентов своего годового дохода тратит на сигареты человек, выкуривающий одну пачку в сутки, если одна пачка сигарет стоит 13 рублей, ежемесячная зарплата 9000руб.

                                                                                                       Приложение 6

Заключительный урок по теме «Проценты»

(фрагмент урока с экологическим содержанием, 5 класс)

Цель урока: отработка навыка решения задач на проценты всех трех видов. Проверка знаний учащихся; воспитание любви к природе и её ценностям.

I Математический диктант

1 Заштрихуйте часть фигуры:

а) 50%        б) 20%

в) 25%        г) 10%

2 Данную часть выразите в  виде обыкновенной дроби:

а) 1/2

б) 1/5

в) 1/4

г) 1/10

3 Найдите:    50% от 6м.

20% от 35 дм

25% от 32 кг

10% от 78 ц

25% от 12 руб

10% от 32 м

50% от 4 т

20% от 45 га

4 Определите, какой процент всей фигуры заштрихован:

II Закрепление изученного материала. Решение задач.

Большую площадь Земного шара занимают леса. Мы можем отдыхать в тени деревьев, дышать свежим, чистым обогащенным воздухом. Лес дает человеку продукты питания. Это дом, в котором живут звери и птицы. Охраняйте и берегите лес.

Вопросы.

Сколько лет растет дерево?

Мамонтово дерево (Америка) – 2500 лет – 100%

Дуб (100 лет) - ? лет – 40%

Сосна (400 лет) - ? лет – 16%

Груша (300 лет) - ? лет – 12%

Чтобы догнать муху, птица должна развить скорость большую, чем муха.  Как в процентном отношении измеряется скорость мухи и скорость вороны от скорости стрижа?

Муха – 25 км/ч - ? % (25%)

Ворона – 50 км/ч - ? % (50%)

Стриж – 100 км/ч – 100%

Как долго живет паук, если его средняя продолжительность жизни составляет 1,2% от продолжительности жизни Мамонтова дерева? (30 лет).

Кто самый сильный на Земле?

Масса слона – 5 т – 100%

Масса переносимого им груза - ? – 30%

Муравей может переносить груз в 10 раз превышающий собственный вес.

Сколько лет живет муравей, если его продолжительность жизни составляет 1% от продолжительности Мамонтова дерева (25 лет).

Какое растение живет дольше и на сколько лет: брусника или черника, если 5% возраста брусники составляет 15 лет, а 7% возраста черники – 21 год?

Брусника.

Средняя продолжительность ? лет – 100%

15 лет – 5%

15:5*100=300 (лет) – брусника.

Черника.

Средняя продолжительность - ? лет – 100%

21 год – 7%

21:7*100=300 (лет) – черника.

Девочке 7 лет, что составляет 10% от средней продолжительности жизни человека. Какова средняя продолжительность человека?

III Самостоятельная работа.

Организм человека состоит из воды на 60% (в массовом отношении), из белка – на 14%, жиров – на 10%, углеродов – на 1%, золы – на 5% и других веществ. Определите массу каждого элемента в организме человека массой 50 кг.

Масса крови в организме человека составляет около 8% его массы. Определите массу крови в организме человека массой 70 кг.

                                                                                                         Приложение 7

Задачи для 7-11 классов.

Задачи на обратную пропорциональную зависимость.

Из n = mA/m при mA=const

                             m n=const

Графически указанную зависимость можно изобразить с помощью    
равновеликих прямоугольников.

                                            n        

                  n1

        n2

        0          m1     m2       m

        m1n1=m2n2          или          (m2-m1)*n2=m1(n1-n2)

Задача 1. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составляло 2%?

Решение. Масса соли не изменится после прибавления к 40 кг морской воды х кг пресной воды. (тА = const тп = const)

I вариант (40 + х) • 2 = 5 • 40

                  40 + х = 100, х = 60.          

II вариант     2 • x = 3 • 40, х = 60

        n(%)

        5

        2

        0

         40                40+x      m(кг)

Ответ. 60 кг

Задача 2. Кусок сплава меди с оловом массой 12 кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся сплав имел 40% меди?

                n(%)

        45

        40

        0           12    12+x                m(кг)

Решение. В данной задаче масса меди есть величина постоянная. Пусть масса прибавленного олова равна х кг

40• х = 5•12,  х = 1,5.

Ответ. 1,5 кг

Задача 3. Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98%. Какой стала масса грибов после подсушивания?

                                           n(%)

        2

        1

              0                 х                 100  m(кг)

Решение. Масса сухого вещества постоянна. Искомую массу примем за х

I вариант

2*х = 1*100, х =50.

II вариант 100 - х = х, х = 50.

Ответ. 50 кг.

Задача 4. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием 75% воды?

                                         n(%)

                                                  25

                                                         15

              0                   500- х     500    m(кг)

Решение. Масса целлюлозы постоянна. До

выпаривания было 15% целлюлозы, после выпаривания 25%. Пусть масса выпаренной воды равна х кг .

I        вариант 25(500 - х) = 15 • 500, х = 200.

II        вариант 15*х = 10(500 - х), х = 200.
Ответ. 200 кг.

Задача 5. В колбе имеется раствор поваренной соли. Из колбы в пробирку отливают 1/5 часть раствора и выпаривают до тех пор, пока процентное содержание соли в пробирке не повысится вдвое. После этого выпаренный раствор выливают обратно в колбу. В результате процентное содержание соли в колбе повышается на 3% . Определите исходное процентное содержание соли.

                                     n(%)

                                            n+3

        n

        0               9/10m  m            m

Решение. В данной задаче масса соли есть величина постоянная. Пусть первоначальная концентрация равна n%, тогда последующая концентрация будет (п + 3)% ; пусть первоначальная масса раствора равна т, тогда последующая масса раствора будет равна

4/5m+1/10m=9/10m

(4/5m – масса оставшейся части раствора в колбе после отлива 1/5т, 1/10m - масса отлитой части раствора после выпаривания)

 I вариант

9/10т(п + 3) = тп,

9/10m+27/10 = n, n=27.

II вариант

3*9/10m=n*1/10m, n=27

Ответ. 27%.

Задача 6. В сосуде находится определенное количество смеси воды с кислотой. Чтобы уменьшить концентрацию кислоты на 34%, в сосуд надо долить 3 л воды, а чтобы уменьшить ее на 17% , надо долить 1 л воды. Какова концентрация кислоты в сосуде?

Решение. Обозначим п - первоначальная концентрация, V - первоначальный объем смеси. Так как объем кислоты в смеси (Vк) есть величина постоянная, то произведение концентрации на объем смеси есть также величина постоянная. Из равенств

nV=(n-0.17)(V+1)=(n-0.34)(V+3)

составим систему уравнений

                                   (n-0.17)(V+1)=nV

                                   (n-0.34)(V+3)=nV

   n/n-0.17 = V+1/V, n/n-0.34 = V+3/V

   n/n-0.17 = 1/V+1,  n/n-0.34 = 3/V+1

   0.17/n-0.17 = 1/V,  0.34/n-0.34 = 3/V

   V = n-0.17/0.17, V = 3n-1.02/0.34

   n-0.17/0.17 = 3n-1.02/0.34,  n = 0.68

второй вариант      n

        n

                                n=0.17

                                n=0.34

        0                     V      V+1   V+2   V(л)

        3(n-0.34)=0.34V                 3n-1.02/n-0.17 = 2, n=0.68

               N – 0.17 = 0.17V

2. Задачи на прямую пропорциональную зависимость

Рассмотрим формулу n=mA/m ,   если  n=const

а тА и т - переменные величины, то mа и т находятся в пропорциональной  зависимости.

Графически пропорциональную  зависимость можно изобразить с помощью любого угла, стороны которого пересекаются параллельными прямыми.                                     m1          m

        m2

                                     m1

                   mA1         mA2         mA3             mA

m2/m1=mA2/mA1  или   m2-m1/mA2-mA1 = mA2/mA1   и др.

Задача 1. К 20 кг 12% -ного раствора соли добавили 3 кг соли. Сколько надо долить воды, чтобы концентрация соли в растворе не изменилась?

Решение. Масса соли в растворе

mA1   =  0,12 • 20 = 24 (кг),    тА2  = 2,4 + 3 = 5,4 (кг).

Пусть требуется долить х л воды. Тогда

20 + х/20 =  5,4/2.4

2,4x + 48 = 108, х = 25.

Второй вариант

                                               m(кг)

                                 20+x

        20

                   2.4     5.4       mA(кг)

х/3 = 20/2,4,  х = 25

Ответ. 25 кг.

Задача 2. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди?

Решение. Пусть добавленная масса меди равна х кг. В новом сплаве массы меди и цинка пропорциональны их концентрациям.

0,45 • 36 + х/ 0,55 * 36  =  0,6/0,4

х = 13,5.

    Другой вариант решения. По определению концентрация равна отношению массы компонента к массе сплава, так что

0,45*36+х/36+х = 0,6,    х = 13,5.

     Ответ. 13,5 кг.

Задача 3. Сплав меди с серебром содержит серебра на 1845 г. Больше, чем меди. Если к нему добавить некоторое количество чистого серебра, первоначально содержащегося в сплаве, то получится новый сплав, содержащий 83,5% серебра. Какова масса сплава?

Решение. Обозначим

х (г) - масса меди,

(х + 1845) (г) - масса серебра,

    4/3*(х + 1845) (г) - масса серебра после добавки,

(2х + 1845) (г) - масса сплава (рис. 12).

(х/3+ 2460)/67 = х/16,5

х = 660,

                                         2х + 1845 = 3165.

Ответ. 3165 г.

                                                                                                           Приложение 8

Схемы при решении задач на смеси.

Задача 1. в каких пропорциях надо смешать р-процентную и q-процентную кислоту, чтобы получить r-процентный раствор?

Пусть p

хр/100+уq = (х+у)r/100

(это уравнение наглядно показывает, что «проценты здесь ни при чем» - сотни сокращаются), откуда

x(r-p) = y(q-r),

и, следовательно,

x/y = q-r/r-p,

что просто представить схематически:

        p                                 q        

                   r

                            q-r                                        r-p

(От большего, естественно, отнимается меньшее.)

Проиллюстрируем применение схем, решая задачи из экзаменационного сборника для 9-го класса авт. Л.И. Звавича и др.

Задача 2. Один раствор содержит 20% кислоты, а второй 70% кислоты. Сколько литров первого и второго раствора нужно взять, чтобы получить 100 л раствора с 50% -ным содержанием кислоты?

Применим схему. Итак, объемы искомых растворов относятся как 20 : 30 = 2 : 3 Отсюда по условию

2х + Зх = 100, х = 20.

        20                                      70

                                                        50

                         70-50=20                                             50-20=30

Значит, первого раствора надо взять 40 л, а второго 60л.

Ответ: 40 л, 60 л.

Усложним задачу.

Задача 3. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15 кг, содержащий 40% меди. Сколько чистого олова нужно добавить к нему, чтобы получить сплав с 30%-ным содержанием меди?

     Схема к данной задаче содержит 0 (рис.)

                                          0                                              40

                                                                        40

        40-30=10                   30-0=30

Массы относятся как 1 : 3. 1/3 • 15 = 5 (кг)

     Ответ: 5 кг.

Рассмотрим еще более трудную задачу, предложенную на вступительном экзамене в Московском физико-техническом институте.

Задача 4. Имеется два раствора поваренной соли разной концентрации. Если слить вместе 100 г первого раствора и 200 г второго, то получится 50%-ный раствор. Если же слить 300 г первого раствора и 200 г второго, то получится 42%-ный раствор. Определите концентрацию каждого из двух данных растворов.

Так как 100 : 200 = х : 2х, то имеем схему, изображенную на рисунке

        ?                                       ?            50-2х                                      50+х

                                               50                                                            50

          х                                  2х                      х                                   2х

Исходные концентрации в процентах равны соответственно 50 - 2х и 50 + х.

Соответствующая схема для второй смеси изображена на рисунке. По условию

(х + 8) : (2х - 8) = 300 : 200, откуда х = 10.

                                           50-2х                                                        50+х

    42

        50+х-42=х-8                          42-(50-2х)=2х-8

Значит, концентрация первого раствора равна 50 - 2 • 10 = = 30 (%), а второго 50 + 10 = 60(%).

Ответ: 30%, 60%.

Задача 5. Сплав золота с серебром весит 2 кг 682 г, а при полном погружении в воду только 2 кг 502 г. Определите, сколько золота и серебра в сплаве, если известно, что плотность золота 19,3 г/см3, а серебра 10,5 г/см3.

 В этой задаче мы «обойдемся без процентов», но воспользуемся той же графической схемой (рис).

                                          10,5                                                         19,3

14,9

        19,3-14,9=4,4                                          14,9-10,5=4,4

Сплав теряет при погружении в воду

                2.682 - 2,502 = 0,180 (кг).

По закону Архимеда столько же весит вытесненная им вода. Находим объем этой воды и, следовательно, вытеснившего его тела: 180 см3. Теперь найдем плотность тела:

2682/180=14,9 (г/см3).

Плотность - вот что будет играть роль процентной концентрации!

Золота и серебра будет поровну.

 Ответ: 1,341 кг, 1,341 кг.

                                                                                                          Приложение 9

Проценты в стихах

Процент

Я – процент, - раздался крик, -

Заявляю сразу

В школе каждый ученик

Знать меня обязан.

Сотая доля числа

В школе учитель за наши дела

Ставит в журнале оценки.

Сотую долю любого числа

Мы называем процентом.

Задачи на проценты

Чтоб решить на проценты задачу

Поступайте вы так, не иначе:

Начинайте решенье с того –

Узнавайте цену одного.

Сколько надо процентов, тогда

Вы найдете легко, без труда.

Библиографический список

Предметная неделя математики в школе «Григорьева Г.И. Москва «Глобус», 2008.

Сборник элективных курсов 8-9 классы. В.И.Студунецкая, Л.С.Сагателова. Волгоград «Учитель», 2007.

Современный словарь иностранных слов. Нечаева И.В. ООО «Фирма «Издательство АСТ», 1999.

Математика. Приложение в «1 Сентября», № 27 1999г, № 17 2001г, № 23 2004г.

Учебник Математика 5,6. Н.Я. Виленкин. Москва «Мнемозина», 2005.

Демонстрационный вариант КИМ 2009г. ФИПИ (федеральный институт педагогических измерений).

ЕГЭ 2001-2009г. (учебно - тренировочные материалы).