Формула корней квадратного уравнения
методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему

Урок  1

Беседа первая

Тема «Формула корней квадратного уравнения»

Создание проблемной ситуации

Учитель:

- Вы знаете, что математика - одна из древнейших наук. Еще в глубокой древности возникла необходимость решать задачи, содержащие уравнения не
только первой, но и второй степени. Это было связано с нахождением площадей земельных участков, а
также с развитием астрономии и самой математики.
Квадратные уравнения решали еще в Древнем Вавилоне.        

В Древней Индии были распространены публичные соревнования по решению трудных задач. Задачи часто представлялись в стихотворной форме. Вот одна из таких задач;

Обезьянок резвых стая

Вдоволь поевши, развлекалась

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялось

А двенадцать по лианам стали

Прыгать повисая …

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?

Далее по тексту задачи составляется уравнение. При этом ребята могут допустить сами или учитель может спровоцировать следующую ошибку:

1/8х2 + 12 = х

После проверки окончательно получаем уравнение:

1/64х2 - х + 12 = 0. (1)

Это уравнение вида

ах2 + Ьх + с = 0.

Далее выясняется, почему оно называется квадратным, являются ли квадратными уравнения вида

ах2 + bх = 0, ах2 + с = 0, bх + с = 0.

Возникает проблема, как решать такие уравнения.

Затем рассматриваются предлагаемые учащимися пути решения неполных квадратных уравнений; предпринимаются безуспешные попытки решения полученного уравнения (1) или уравнения, записанного в общем виде

 ах2 + bх = 0.

Вынесение общего множителя

 х(ах + b) + с = 0 по аналогии с решением уравнения ах2 + bх = 0 или перенос свободного члена ах2 + bх = - с по аналогии с уравнением ах2 + с = 0 не приносят желаемых результатов.

Все попытки решения обсуждаются. Если ученики высказывают сомнение, можно ли вообще решить эту задачу, учитель предъявляет им уравнение

1/64(х - 16)(х - 48) = 0, которое ребята способны решить и в котором после проведенных преобразований «узнают» исходное уравнение.

Один из вариантов решения предлагает учитель. Он сообщает, что в древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, такие уравнения решал не алгебраически, а геометрическим. Вот, например как древние греки решали уравнение у2 + 6у – 16=0. Решение представлено на рис. 1. Это решение следует сопроводить записями:

y + 3 = 5,

откуда у = 2.

Далее разбирается, что такое у + 3; как в уравнении (*) появляется число 5; что сделано с обеими частями уравнения; где на рисунке добавленное к обеим частям равенства число 9; является ли - 8 корнем исходного уравнения, в ходе какой операции это корень потерян, почему древние греки были «обречены» его потерять.

Затем выясняется, что выражения

у2 + 6у + 9 и 16 + 9

геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение и уравнение у2 + 6у – 16 + 9-9 = 0 - одно и то же уравнение. Откуда и полу чаем, что y + 3 =± 5.

Далее учитель выделяет новую проблему: как изобразить ситуацию геометрически, если второй коэффициент в квадратном уравнении отрицателен? Пусть, уравнение имеет вид

у2 - 6у - 16 = 0.

По аналогии с рассмотренной выше ситуацией, на рисунке появляются квадраты со сторонами y и у - 3. Если учащиеся, исходя из рис. 2, предлагают рассмотреть равенство у2 = (у - З)2 + 6(у - 3) + 9, то после преобразований получим 0 = 0. На вопрос, почему последняя запись не позволила продвинуться в решении уравнения, следует ответ, что эта запись - алгебраическое тождество и в нем не использовано условие, что у2 - 6у - 16 = 0. Преобразуя последнее равенство,  получаем у2 - 6у = 16. На рис. 2 находим «изображение» выражения у2 - 6у, и обращаем внимание что в нем из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3

Значит, если к выражению у2 - 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у - 3.

Заменяя выражение у2 - 6 равным ему числом 16, получаем:

(у - 3)2 = 16 + 9, т. е. у - 3 = ± √25= ± 5.

Далее возникает очередная под проблема: как представить рассмотренные решения квадратных уравнений в краткой алгебраической форме, обобщив геометрические решения. В результате такого обобщения получаем метод выделения полного квадрат. Затем возвращаемся к исходной задаче.

Приведенная беседа удовлетворяет всем выдвинутым требованиям: изучение темы начинается с ситуации невозможности решить практическую задачу, обнаруженную в старинных рукописях. Проблема разбивается на ряд под проблем. Решению проблемы способствует рассмотрение истории решения квадратных уравнений. На уроке показаны два способа решения - геометрический и алгебраический. В беседе рассмотрен ряд гипотез, не приведших к решению, и ошибочные шаги. Исторический материал естественно «вплетается» в содержание урока, делая его живым и занимательным.