Текст олимпиадных заданий.
олимпиадные задания по алгебре (7 класс) по теме

5 класс.

Задача №1

Составьте из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 магический квадрат, то есть разместите их в таблице 3 × 3 так, чтобы суммы чисел по строкам, столбцам и двум диагоналям были одинаковы.

Решение:

Задача №2

ЧАЙ : АЙ = 25 

Ответ: 625 : 25 = 25

Задача №3

Задача №4

6 класс.

Задача №1

ФИЗИК = 0,5*ЛИРИКА 

Ответ: 87375 = 0,5*174750

Задача №2

Вифсла, Тофсла и Хемуль играли в снежки. Первый снежок бросил Тофсла. Затем в ответ на каждый попавший в него снежок Вифсла бросал 6 снежков, Хемуль – 5, а Тофсла – 4 снежка. Через некоторое время игра закончилась. Найдите, в кого сколько снежков попало, если мимо цели пролетели 13 снежков. (В себя самого снежками не кидаются.)

Ответ: в Хемуля, Вифслу и Тофслу попали по одному разу. Если в Вифслу, Тофслу и Хемуля попали x, y и z снежков соответственно, то всего было брошено 13 + x + y + z снежков (поскольку 13 снежков не достигли цели). С другой стороны, Вифсла бросил 6x, Хемуль – 5y, а Тофсла – 4z + 1 снежков (вместе с первым снежком). Получаем уравнение

6x + 5y + 4z + 1 = 13 + x + y + z, откуда 5x + 4y + 3z = 12. Так как x, y, z – целые неотрицательные числа, x может быть равен 0, 1 или 2, y – 0, 1, 2 или 3, z – 0, 1, 2, 3 или 4. Перебором находим решения (1,1,1), (0,3,0) и (0,0,4). Но, поскольку в самого себя кидать снежки нельзя, то среди чисел x, y, z не может быть двух нулей. Поэтому возможен только первый случай.

Задача3

Задача №4

7 класс.

Задача №1

Восстановите пример: АВС × СВА = 692443.

Ответ: 739 ×937 = 692443.

Задача 2

Найдите все корни уравнения |х - 2008| = 2009

Ответ:  4017  и  -1.

Задача №3

Задача № 4

На клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см нарисован треугольник. Чему равна его площадь?

Ответ: 25,5 см2 

Задача №5

У мамы четыре дочери Поля, Валя, Катя и Маша. Девочки играли и разбили вазу. На вопрос: «Кто это сделал?» Поля, Валя и Катя ответили: «Не я», а Маша – «не знаю». Потом оказалось, что две из них сказали правду, а две неправду. Знает ли Маша, кто разбил вазу? Ответ объясните.

Среди ответов Поли, Вали и Кати может быть только один ложный ответ, иначе при двух ложных ответах получается, что стекло разбили двое. Тогда вторым ложным ответом будет ответ Маши. Значит, Маша знала, кто разбил стекло.

Задача №1

Корень из числа 49 можно извлечь по такой «формуле»: √ 49 = 4 + √9. Существуют ли другие двузначные числа, квадратные корни из которых извлекаются аналогичным образом и являются целыми? Укажите все такие двузначные числа.

Ответ: Да, существуют: 64 и 81. Рассмотрим все двузначные числа, являющиеся квадратами целых чисел. Корни из чисел 16, 25 и 36 не могут быть извлечены указанным способом, так как квадратные корни из их последних цифр не являются целыми. Числа 49, 64 и 81 являются решениями. Ответ в задаче не изменится, если не требовать, чтобы корень был целым. Действительно, если , то 10a + b = a2 + 2a√b + b. Так как в левой части равенства стоит целое число, то и число, стоящее в правой части, должно быть целым. Отсюда следует, что b = 0, 1, 4 или 9, то есть a + √b  - целое число.

Задача №2

Постройте график функции y = |x - 2| - 2. 

Ответ:

Задача №3

Про числа aи b известно, что a = b+ 1. Может ли оказаться так, что a4  =  b4?

Ответ: да, может. Пусть а = 1/2, b = -1/2, тогда a4 = b4 = 1/16. Можно доказать, что этот пример – единственный (от учащихся это не требуется). Действительно, a4 = b4 ⇔ |a| = |b|. Случай a = b невозможен, случай a = -b дает указанный пример.

Задача №4

ABC – равнобедренный треугольник с вершиной А. ﮮА=27°. Точка D симметрична точке В относительно А. Чему равен угол ﮮBCD?

Ответ: 90°.

Задача №5

Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 1990?

Решение: На каждом листе сумма номеров страниц нечетна, а сумма 25 нечетных чисел – нечетна.

Задача №1

К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы четна.

Решение:

Разберите два случая: сумма первой и последней цифр числа меньше 10, и сумма первой и последней цифр числа не меньше 10. Если допустить, что все цифры суммы – нечетны, то в первом случае не должно быть ни одного переноса в разрядах (что, очевидно, приводит к противоречию), а во втором случае наличие переноса при движении справа налево или слева направо чередуется с отсутствием переноса, и в результате мы получим, что цифра суммы в девятом разряде обязательно четна.

Задача №2

Рассматриваются функции вида y = x2 + ax + b, где  а + b = 2008. Докажите, что графики всех таких функций имеют общую точку.

y(1) = 1 + a + b = 2009. Следовательно, каждый из данных графиков проходит через точку с координатами (1; 2009).

Задача №3

В окружности с центром в точке О проведены радиусы ОВ и ОА так, что ﮮАОВ=60°, ОВ = DС. Найдите величину ﮮАDО.

Ответ:  ﮮCDO = 20°.

Задача 4

Решите уравнение x2 + 2005x – 2006 = 0.

Исходное уравнение имеет очевидный корень 1. Второй корень найдем по формулам Виета. Так как x1x2 = -2006 и x1 = 1, то x2 = 2006.

Задача №5