"Прогрессия" 9 класс
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме
Тема: Последовательности. Арифметическая, геометрическая прогрессии.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 94 КБ |
Предварительный просмотр:
Алгебра
9 класс
Тема: Последовательности. Арифметическая, геометрическая прогрессии.
(повторение, обобщение и систематизация знаний)
Цели:
- Обобщив и закрепив знания учащихся по данной теме, подготовить их к оперативному контролю.
- Развивать формально-логические навыки решения задач по данной теме, предусмотренные стандартом образования; способствовать развитию умения видеть и применять изученные закономерности в нестандартных ситуациях.
Форма организации деятельности учащихся на уроке: фронтальная, самостоятельная работа учащихся обучающего характера, парная работа (взаимоконтроль).
Ход урока
I. Постановка целей урока. Проверка домашнего задания. Устная работа.
Урок начинается с постановки задач перед учащимися. В беседе учитель акцентирует внимание старшеклассников на том, что материал урока дает им возможность развивать как формально-логические умения по данной теме, так и умения находить закономерности, применять полученные знания при решении нестандартных задач. Учащиеся имеют возможность повысить свою математическую культуру вычислений и повторить решение рациональных и дробно-рациональных, линейных и квадратичных неравенств. Учащимся сообщается план проведения урока.
- Проверка домашнего задания. (Проводится способом сличения с доской).
- Работа у доски. Один ученик решает следующее задание во время устной работы:
Сколько членов последовательности y=|n2 – 5n + 6|, где n€ N удовлетворяет неравенству 2 < yn < 6.
(Решение:
n – 5n + 6 > 0 n – 5n + 6 < 0
D = 25 – 24 = 1
n1 = 2, n2 = 3 n1 = 2, n2 = 3
n€( - ∞ ; 2]U [3; +∞ ) n€ (2; 3),
т. к. n€ N, то нет решений.
1) n2 – 5n + 6 > 2 2) n2 – 5n + 6 < 6
n2 – 5n + 4 > 0 n2 – 5n < 0
n2 – 5n + 4 = 0 n2 – 5n = 0
n1 = 1, n2 = 4 n1 = 0, n2 = 5
n€ [0; 1]U [4; 5], т.к. n€ N, то n = 1, n = 4, n = 5.
Ответ: три члена.)
(После проведения устной работы выполненное задание оценивается.)
Дополнительные вопросы:
1) Какая последовательность называется арифметической (геометрической) прогрессией?
2) Тело в первую секунду движения прошло 7м, а за каждую следующую секунду – на 3м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние тело прошло за восьмую секунду; за восемь секунд; за n секунд?
(Решение:
имеем (аn) – арифметическую прогрессию, где а1 =7, d =3
а8 = а1 + d(8 – 1), а8 = 7 + 3 х 7, а8 = 28 (м) за восьмую секунду
а9 = 7 + 3 х 8 , а9 = 31 (м) за восемь секунд
аn = 7 + 3х(n – 1) , аn = 4 + 3n (м) за n секунд
Ответ: 28м; 31м; 4 + 3n (м).
3. Устная работа. Направлена на актуализацию знаний учащихся по следующим вопросам: определение последовательности, возрастающие и убывающие последовательности, рекуррентный способ задания последовательности, определение арифметической и геометрической прогрессии, их характеристические свойства.
1) Записать формулу общего члена последовательности:
а) 1; 1/2; 1/6; 1/24; …
(Решение:
1; 1/2; 1/6; 1/24; …
x1 , x2 , x3 , x4 , …
x1 , 1/2x1 , 1/3x2 , 1/4x3 , xn = xn-1 1/(n+1)
б) 1/√ 3; -1/√ 4; 1/ √5; …
(Решение:
1/√ 3 ; -1/√ 4 ; 1/√ 5 ; …
x1 , x2 , x3 , …
(-1)2 /√ ( 1+2) ; (-1)3 /√ (2+2) ; (-1)4 / √( 3+2) ; … xn = (-1)n+1 /√( n+2)
2) Является ли число -21 членом последовательности (bn ), если bn = n2 – 10n ?
(Решение:
bn = n2 – 10n,
-21 = n2 – 10n
n2 – 10n + 21 = 0
n1 = 3, n2 = 7 Ответ: да, является
3) Могут ли числа быть членами одной арифметической (геометрической) прогрессии?
а) 1; √3 ; 3; б) 1; 15; 8; в) 2; 6; 4,5.
(да) (нет) (нет)
4) Известен а1 = -81, q = -1/3 геометрической прогрессии (аn ). Является ли эта прогрессия монотонной последовательностью? Ответ объясните.
(Решение:
Не является, т.к. q<0, то нечетные члены прогрессии будут отрицательными, а четные – положительными.)
5) (bn ) – геометрическая прогрессия, b3 = 8, b5 = 32. Найти b1 , b7 .
(Решение: bn = b1 x qn-1, q = 2, b3 = b1 x q2, 8 = b1 x 4, b1 = 2, b7 = b1 x q6 = 128
Ответ: b1 = 2, b7 = 128.)
II. Решение задач репродуктивного характера. Организация взаимоконтроля в парах (самостоятельная работа).
Перед решением следующих задач учащимся предлагается оценить имеющиеся у них знания и умения по данной теме (по пятибалльной системе)
Знания и умения | Я | Другой |
Знания формул n-го члена, суммы первых членов прогрессии |
Умение преобразований выражений |
Вычислительная культура |
Задание: заполнить пропуски в таблице, если (аn ) – арифметическая и (bn ) – геометрическая прогрессии.
а1 | d | n | an | Sn | b1 | q | n | bn | Sn |
110 | -10 | 11 | 1 | 3 | 10 |
5 | 26 | 105 | 0,5 | 8 | 2 |
3 | 12 | 210 | 2 | 7 | 1458 |
2 | 15 | -10 | 0.5 | 1/128 | 127/128 |
Ответ:
а1 | d | n | an | Sn | b1 | q | n | bn | Sn |
110 | -10 | 11 | 10 | 660 | 1 | 3 | 10 | 19683 | 29524 |
5 | 4 | 26 | 105 | 220 | 256 | 0,5 | 8 | 2 | 510 |
1 | 3 | 12 | 34 | 210 | 2 | 3 | 7 | 1458 | 2186 |
38 | 2 | 15 | -10 | 210 | 0.5 | 0 .5 | 7 | 1/128 | 127/128 |
Работа выполняется учащимися самостоятельно. После следует взаимопроверка и взаимооцениванние. Проверяющий заполняет третью колонку таблицы, выражая свое мнение о знаниях и умениях партнера.
III. «Я и мир логики».
Решение задач (устно).
- Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300.
(Решение:
аn = 4n, где n€N, тогда (аn ) – арифметическая прогрессия, где а1 = 4, d = 1
аn < 300, 4n < 300, n < 300/4 или n < 75, значит n = 75, тогда
S =(a+a)/ 2 x75 = 152 х 75 = 11400
Ответ: 11400.)
- Найти количество всех трехзначных натуральных чисел, делящихся на 7.
(Решение:
14 х 7 = 98
15 х 7 = 105, значит это наименьшее трехзначное натуральное число, делящееся на 7
Тогда х1 = (14 + 1) х 7
х2 = (14 + 2) х 7
х3 = (14 + 3) х 7 … и т.д. т.е. хn = (14 + n) х 7
т.к. хn < 1000, то (14 + n) х 7 < 1000
98 + 7n < 1000
7n < 902
n < 1, т.к. n€ N , то n = 128.
Ответ: 128 чисел.)
IV. «Я и мир статистики».
Эти задачи предлагаются с целью включения в школьный курс математики новой содержательной линии – «элементы статистики». Подобные задания способствуют формированию интереса к предмету.
Решить задачи:
- На выборах президента России будут баллотироваться три кандидата (обозначим их буквами А, Б и С). Проводя опрос 50 избирателей, выяснили, за кого из кандидатов они собираются голосовать. Получили следующие данные:
Б, А, Б, Б, С, С, Б, Б, Б, А, С, А, А,
А, С, С, Б, С, А, А, Б, С, С, Б, С, Б,
С, А, Б, Б, Б, А, Б, Б, С, Б, А, Б,
С, С, Б, С, А, Б, Б, Б, А, А, С, Б.
Представьте эти данные в виде таблицы частот.
Решение:
Кандидат | А | Б | С |
Количество голосов | 13 | 23 | 14 |
Проверяем, что 13 + 23 + 14 = 50
Ответ: таблица частот.
- Учащимся девятых классов школ некоторого города была предложена контрольная работа по алгебре, содержащая 6 заданий. При подведении итогов составили таблицу, в которой указали число учащихся, верно выполнивших одно, два, три и т.д. задания:
Число выполненных заданий | Число учащихся |
0 1 2 3 4 5 6 | - 27 53 87 223 146 89 |
Пользуясь этой таблицей, составьте таблицу относительных частот (с точностью до 1%)
Решение:
Находим общее число учащихся (сумма чисел в правом столбце); n = 625.
Относительные частоты вычисляем делением каждого числа в правом столбце на 625 и умножаем на 100% (с округлением).
Число выполненных заданий | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Относительная частота (%) | 0 | 4 | 8 | 14 | 36 | 23 | 14 |
Сумма чисел во второй строке дает 99% (должно быть 100%). Это результат округления. В таких случаях увеличивают на 1 число, которое имеет самую большую отброшенную часть;
Это (53 х 100%)/625 = 8,48;
в таблице процент выполнивших 2 задания следует записать 9.
Ответ: таблица относительных частот (с изменениями).
V. Фронтальная работа учащихся по решению задач продуктивного характера.
Задание: решить уравнения
- 52 х 54 х 56 … 52x = 0,04-28
- 3х + 1 - х + х2 - х3 + х4 - х5 + … = 13/6, |x| < 1
При решении уравнений необходимо увидеть арифметическую или геометрическую прогрессии и применить известные формулы.
Решение:
- 52 х 54 х 56 х … 52x = 0,04-28
52 х 54 х 56 х … 52x = (1/5 )-28
52 х 54 х 56 х … 52x = 556
2 + 4 + 6 + … + 2х = 56
2; 4; 6; …; 2х – арифметическая прогрессия, где
а1 = 2, d = 2, n = x, аn = 2х = 2n, Sn = 56
тогда Sn =(a1+an)/2xn
56 = (2+2n)/2xn
112 = 2n + 2n2
2n2 + 2n – 112 = 0, n1 = -8, n2 = 7, т.к. n€ N, то n = x = 7.
2) 3x + 1 – x + x2 – x3 + x4 – x5 + … = 13/6, |x| < 1
1; -x; x2; -x3; x4; -x5; … - убывающая бесконечная геометрич. прогрессия
где b1 = 1 , b2 = - x , q = -x, Sn = b1/( 1 – q) Sn = 1/(1+ x)
3x + 1/(1+ x) = 13/6
6(3x + 3x2 + 1) = 13 + 13x
18x2 + 5x – 7 = 0, x1 = -7/9, x2 = 1/2.
Ответ: 1) 7; 2) -7/9; 1/2.
VI. Итог урока. Решение нестандартных задач.
Вычислить: √5√3√5√3...
Решение:
51/2 x 31/4 x 51/8 x 31/16 x 51/32 x 31/64 x …= 51/2 + 1/8 + 1/32 + x 31/4 + 1/16 + 1/64 + = 52/3 x 31/3 =
1/2; 1/8; 1/32; … - геометрическая прогрессия, где b1=1/2, q = 1/4<1,
тогда S = (1/2)/(1 – 1/4) = 1/2 x 4/3 = 2/3.
1/4; 1/16; 1/64; … - геометрическая прогрессия, где b1 = 1/4, q = 1/4 < 1,
тогда S = (1/4)/(1 – 1/4) = 1/4 x 4/3 = 1/3.
52/3 х 31/3 = 3√52 х 3√3 = 3√75 = 751/3
Ответ: 751/3.
VII. Домашнее задание.
- Проанализировать результаты взаимоконтроля. Составить и решить задачу для ликвидации выявленного пробела в знаниях.
- Выполнить задания:
№ 430 (г, д, е); 442, 467;
для сильного ученика дополнительно: 458 (б), 482 (в);
для слабого ученика: №369, 387, 391.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Авторские произведения учащихся литературного кружка "Вдохновение" (Виктория Баева (6-8 класс), Софья Орлова (8-9 класс), Яна Масная (10-11 класс), Надежда Медведева (10-11 класс)
Авторские произведения учащихся литературного кружка "Вдохновение" (Я. Масная (10-11 класс), Н. Медведева (10-11 класс), В. Баева (6-8 класс), С. Орлова (8-9 класс)...
![](/sites/default/files/pictures/2012/09/10/picture-107663.jpg)
Рабочая программа по географии на основе авторской программы Т.П. Герасимовой 6 класс), И.В. Душиной (7 класс), И.И. Бариновой (8-9 классы) при нагрузке 2 часа в каждом классе основной общеобразовательной школы
Программа содержит пояснительную записку, перечень мультимедийного обеспечения для использования на уроках географии, также содержит обязательный региональный компонент по географии Ростовской области...
![](/sites/default/files/pictures/2014/06/21/picture-175696-1403343937.jpg)
Рабочие программы по математике для 5 класса, по алгебре для 8 класса. УМК А. Г. Мордкович. Рабочие программы по геометрии для 7 и 8 класса. Программа соответствует учебнику Погорелова А.В. Геометрия: Учебник для 7-9 классов средней школы.
Рабочая программа содержит пояснительную записку, содержание учебного материала, учебно - тематическое планирование , требования к математической подготовке, список рекомендованной литературы, календа...
![](/sites/default/files/pictures/2017/11/29/picture-96746-1511985909.jpg)
Тематическое планирование по математике 5- 11 класс автор Мордкович, по физике 7-9 класс Громова, физике 10-11 класс Мякишева, факультативные курсы 9-11 классы по математике
В данном файле вложено тематическое планирование по математике. алгебре, геометрии, физике с 5 по 11 класс...
![](/sites/default/files/pictures/2018/09/28/picture-229100-1538157938.jpg)
Рабочая программа по направлению: "Швейное дело" 6 класс 2018-2019г., 7 класс 2019-2020г., 8 класс 2020-2021г., 9 класс 2021-2022г.
Рабочая программа по направлению: "Швейное дело" 6 класс 2018-2019г., 7 класс 2019-2020г., 8 класс 2020-2021г., 9 класс 2021-2022г....
![](/sites/default/files/pictures/2018/09/28/picture-229100-1538157938.jpg)
Рабочая программа по направлению: "Цветоводство и декоративное садоводство" 5класс 2019-2020гг.,6 класс 2020-2021гг., 7 класс 2021-2022гг.,8 класс 2022-2023гг., 9 класс 2023-2024гг.
Рабочая программа по направлению: "Цветоводство и декоративное садоводство" 9класс 2023-2024гг.",...
![](/sites/default/files/pictures/2017/12/01/picture-980585-1512101993.jpg)
КТП 5 класс ФГОС 2019-2020,РП 5 класс ФГОС 2020-2021, РП 5 класс ФГОС 2021-2022 , РП 6 класс ФГОС 2022-2023
Учебник алгебра 5 класс. Авторы : Г.В. Дорофеев , С.В. Суворова, Е.А. Бунимович , Л.В. Кузнецова , С.С. Минаева, Л.О. Рослова....