"Прогрессия" 9 класс
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

Алгебра

9 класс

Тема: Последовательности. Арифметическая, геометрическая прогрессии.

(повторение, обобщение и систематизация знаний)

Цели:

1. Обобщив и закрепив знания учащихся по данной теме, подготовить их к оперативному контролю.
2. Развивать формально-логические навыки решения задач по данной теме, предусмотренные стандартом образования; способствовать развитию умения видеть и применять изученные закономерности в нестандартных ситуациях.

Форма организации деятельности учащихся на уроке: фронтальная, самостоятельная работа учащихся обучающего характера, парная работа (взаимоконтроль).

Ход урока

I. Постановка целей урока. Проверка домашнего задания. Устная работа.

Урок начинается с постановки задач перед учащимися. В беседе учитель акцентирует внимание старшеклассников на том, что материал урока дает им возможность развивать как формально-логические умения по данной теме, так и умения находить закономерности, применять полученные знания при решении нестандартных задач. Учащиеся имеют возможность повысить свою математическую культуру вычислений и повторить решение рациональных и дробно-рациональных, линейных и квадратичных неравенств. Учащимся сообщается план проведения урока.

1. Проверка домашнего задания. (Проводится способом сличения с доской).

2. Работа у доски. Один ученик решает следующее задание во время устной работы:

Сколько членов последовательности    y=|n2 – 5n + 6|,  где   n€ N  удовлетворяет неравенству      2 < yn < 6.

(Решение:

 n – 5n + 6 > 0                                                   n – 5n + 6 < 0

               D = 25 – 24 = 1

              n1 = 2,      n2 = 3                                                  n1 = 2,    n2 = 3

              n€( -  ∞ ; 2]U [3; +∞ )                                    n€ (2; 3),

                                                   т. к.  n€ N,   то нет решений.

              1) n2 – 5n + 6 > 2                             2) n2 – 5n + 6 <  6

                  n2 – 5n + 4 > 0                                  n2 – 5n < 0

                  n2 – 5n + 4 = 0                                     n2 – 5n = 0

                 n1 = 1,   n2 = 4                                     n1 = 0,    n2 = 5

      n€ [0; 1]U [4; 5],         т.к.    n€ N,         то   n = 1,    n = 4,    n = 5.

                                                                                  Ответ: три члена.)

    (После проведения устной работы выполненное задание оценивается.)

Дополнительные вопросы:

1) Какая последовательность называется арифметической (геометрической) прогрессией?

2) Тело в первую секунду движения прошло 7м, а за каждую следующую секунду – на 3м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние тело прошло за восьмую секунду; за восемь секунд; за n секунд?

(Решение: 

имеем (аn) – арифметическую прогрессию,  где   а1 =7,   d =3

 а8 = а1 + d(8 – 1),     а8 = 7 + 3 х 7,    а8 = 28 (м) за восьмую секунду

 а9 = 7 + 3 х 8 ,          а9 = 31 (м) за восемь секунд

 аn = 7 + 3х(n – 1) ,    аn = 4 + 3n (м) за n секунд  

                                                   Ответ: 28м;   31м;   4 + 3n (м).

       3. Устная работа. Направлена на актуализацию знаний учащихся по следующим вопросам: определение последовательности, возрастающие и убывающие последовательности, рекуррентный способ задания последовательности, определение  арифметической и геометрической прогрессии, их характеристические свойства.

   1) Записать формулу общего члена последовательности:

а)  1;  1/2; 1/6; 1/24; …

(Решение:

1;         1/2;          1/6;          1/24; …

x1 ,          x2 ,            x3 ,             x4 , …

x1 ,        1/2x1 ,       1/3x2 ,        1/4x3 ,                                     xn   = xn-1  1/(n+1)

б)  1/√ 3;  -1/√ 4;  1/ √5; …

(Решение:

 1/√ 3 ;                          -1/√ 4 ;                              1/√ 5 ; …

 x1 ,                                   x2 ,                                  x3 ,       …

 (-1)2 /√ ( 1+2) ;     (-1)3 /√ (2+2) ;           (-1)4 / √( 3+2) ;  …   xn = (-1)n+1 /√( n+2)  

2) Является ли число -21 членом последовательности (bn ), если bn = n2 – 10n ?

     (Решение:

       bn = n2 – 10n,

       -21 = n2 – 10n

       n2 – 10n + 21 = 0

       n1 = 3,       n2 = 7                             Ответ: да, является

3) Могут ли числа быть членами одной арифметической (геометрической) прогрессии?

    а) 1;   √3 ;   3;                               б) 1;   15;   8;                                в) 2;  6;  4,5.

            (да)                                              (нет)                                            (нет)

4) Известен   а1  = -81,  q = -1/3   геометрической прогрессии (аn ). Является ли эта прогрессия монотонной последовательностью? Ответ объясните.

 (Решение:

Не является,  т.к.   q<0,   то нечетные члены прогрессии будут отрицательными, а   четные  – положительными.)

5)     (bn ) – геометрическая прогрессия,   b3 = 8,    b5 = 32.    Найти   b1 ,   b7 .

(Решение:   bn = b1 x qn-1,   q = 2,   b3 = b1 x q2,   8 = b1 x 4,  b1 = 2,  b7 = b1 x q6 = 128  

                                                                                       Ответ: b1 = 2,  b7 = 128.)

II. Решение задач репродуктивного характера. Организация взаимоконтроля в парах (самостоятельная работа).

Перед решением следующих задач учащимся предлагается оценить имеющиеся у них знания и умения по данной теме (по пятибалльной системе)

Задание: заполнить пропуски в таблице, если (аn ) – арифметическая и (bn ) – геометрическая прогрессии.

Ответ:

Работа выполняется учащимися самостоятельно. После следует взаимопроверка и взаимооцениванние. Проверяющий заполняет третью колонку таблицы, выражая свое мнение о знаниях и умениях партнера.

III. «Я и мир логики».

Решение задач (устно).

1. Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300.

(Решение:

аn = 4n,   где   n€N,      тогда (аn ) – арифметическая прогрессия,               где    а1 = 4, d = 1

аn < 300,    4n < 300,    n < 300/4  или  n < 75,   значит    n = 75,  тогда

S =(a+a)/ 2 x75  = 152 х 75 = 11400              

                                                                                                 Ответ: 11400.)

2. Найти количество всех трехзначных натуральных чисел, делящихся на 7.

(Решение:

14 х 7 = 98

15 х 7 = 105, значит это наименьшее трехзначное натуральное число, делящееся на 7

Тогда               х1 = (14 + 1) х 7

                         х2 = (14 + 2) х 7

                        х3 = (14 + 3) х 7 …       и т.д.      т.е.         хn = (14 + n) х 7

т.к.         хn < 1000,             то        (14 + n) х 7 < 1000

                                                                   98 + 7n < 1000

                                                                           7n < 902

                                                                             n < 1,  т.к. n€ N  , то n = 128.    

                                                                                      Ответ: 128 чисел.)

IV. «Я и мир статистики».

Эти задачи предлагаются с целью включения в школьный курс математики новой содержательной линии – «элементы статистики». Подобные задания способствуют формированию интереса к предмету.

Решить задачи:

1. На выборах президента России будут баллотироваться три кандидата (обозначим их буквами А, Б и С). Проводя опрос 50 избирателей, выяснили, за кого из кандидатов они собираются голосовать. Получили следующие данные:

             Б, А, Б, Б, С, С, Б, Б, Б, А, С, А, А,

             А, С, С, Б, С, А, А, Б, С, С, Б, С, Б,

             С, А, Б, Б, Б, А, Б, Б, С, Б, А, Б,

              С, С, Б, С, А, Б, Б, Б, А, А, С, Б.

Представьте эти данные в виде таблицы частот.

Решение:

Проверяем, что 13 + 23 + 14 = 50  

                                                                         Ответ: таблица частот.

2. Учащимся девятых классов школ некоторого города была предложена контрольная работа по алгебре, содержащая 6 заданий. При подведении итогов составили таблицу, в которой указали число учащихся, верно выполнивших одно, два, три и т.д. задания:

Пользуясь этой таблицей, составьте таблицу относительных частот (с точностью до 1%)

Решение:

Находим общее число учащихся (сумма чисел в правом столбце); n = 625.

Относительные частоты вычисляем делением каждого числа в правом столбце на 625 и умножаем на 100% (с округлением).

Сумма чисел во второй строке дает 99% (должно быть 100%). Это результат округления. В таких случаях увеличивают на 1 число, которое имеет самую большую отброшенную часть;

    Это (53 х 100%)/625 = 8,48;  

в таблице процент выполнивших 2 задания следует записать 9.          

                       Ответ: таблица относительных частот (с изменениями).

V. Фронтальная работа учащихся по решению задач продуктивного характера.

Задание: решить уравнения

1. 52  х 54  х 56  … 52x  = 0,04-28
2. 3х  + 1  -  х  + х2  -  х3  +  х4  -  х5 +  … = 13/6,     |x| < 1

При решении уравнений необходимо увидеть арифметическую или геометрическую прогрессии и применить известные формулы.

   Решение:

1. 52  х  54  х  56  х  … 52x  = 0,04-28

52 х  54  х  56  х  … 52x  =  (1/5  )-28

            52  х  54  х  56  х  … 52x  =  556

            2 + 4 + 6 + … + 2х = 56

        2; 4; 6; …; 2х – арифметическая прогрессия,   где

        а1  = 2,  d = 2,   n = x,    аn = 2х = 2n,     Sn = 56

    тогда       Sn =(a1+an)/2xn

                        56 = (2+2n)/2xn

                      112 = 2n + 2n2

                  2n2 + 2n – 112 = 0,     n1 = -8,       n2 = 7,    т.к.  n€ N,     то n = x = 7.

      2)         3x + 1 – x + x2 – x3 + x4 – x5 + … = 13/6,      |x| < 1

 1;  -x;  x2; -x3; x4;  -x5;  … - убывающая бесконечная геометрич. прогрессия

       где    b1 = 1 ,      b2 = - x ,      q = -x,        Sn = b1/( 1 – q)          Sn = 1/(1+ x)                                              

                           3x + 1/(1+ x) = 13/6          

                        6(3x + 3x2  + 1) = 13 + 13x

                            18x2  + 5x – 7 = 0,                        x1 = -7/9,                  x2 = 1/2.    

                                                                         Ответ:   1)  7;           2)  -7/9;     1/2.    

VI. Итог урока.     Решение нестандартных задач.  

   Вычислить:        √5√3√5√3...    

    Решение:

51/2 x 31/4 x 51/8 x 31/16 x 51/32 x 31/64 x …= 51/2 + 1/8 + 1/32 + x 31/4 + 1/16 + 1/64 + = 52/3 x 31/3 =

1/2;   1/8;   1/32; … - геометрическая прогрессия,     где     b1=1/2,     q = 1/4<1,

тогда    S = (1/2)/(1 – 1/4) = 1/2 x 4/3 = 2/3.

1/4;  1/16;   1/64; … - геометрическая прогрессия,    где     b1 = 1/4,    q = 1/4 < 1,

тогда   S = (1/4)/(1 – 1/4) = 1/4 x 4/3 = 1/3.

                             52/3 х 31/3 = 3√52 х 3√3 = 3√75 = 751/3

                                                                                              Ответ: 751/3.

VII. Домашнее задание.

1. Проанализировать результаты взаимоконтроля. Составить и решить задачу для ликвидации выявленного пробела в знаниях.
2. Выполнить задания:

                                  № 430 (г, д, е); 442, 467;

                              для сильного ученика дополнительно: 458 (б), 482 (в);

                                 для слабого ученика: №369, 387, 391.