возведение в квадрат суммы и разности двух выражений
методическая разработка по алгебре (7 класс) по теме

Урок алгебры в 7 классе

Тема

Урок- исследование по теме « Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений»

Цели

1. Образовательная: Вывести формулы квадратов суммы и разности двух чисел. Сформировать умение практически их применять.

2.  Развивающая: развитие математического мышления, творческо-поисковой деятельности учащихся, математической речи, память, интерес к математике, умение рассуждать.

3.  Воспитательная: воспитание познавательной деятельности учащихся, активности, внимательности, самостоятельности.

Оборудование: Урок проводится с использованием компьютерной техники, интерактивной доски ,геометрические фигуры, карточки с заданиями для контроля, кубик с заданиями.

План урока.

1. Орг момент.

2. Мотивационно - ориентировочный этап.

3. Актуализация опорных знаний. Групповая работа.

4. Сравнительный анализ и вывод формулы.(работа в группах)

5. Геометрический смысл.

6. Физкультминутка

7. Закрепление.

8. Задание на дом.

9. Итог урока. Выставление отметок.

Ход урока .

1.

Здравствуйте ребята. Садитесь, сегодня у нас с вами не совсем обычный урок, поэтому и начнем мы его не обычно.

Эпиграф нашего урока

Китайская мудрость гласит,

«Я слышу –         я забываю,

я вижу – я запоминаю,         (1 слайд)

         я делаю – я понимаю» 

сегодня мы попробуем следовать ее указаниям.

Прочитайте следующие выражения.

1. Прочитайте  выражения.

а)  х + у                   в)    р – у        д) (а –b)2       (2 слайд)

б)  с2 + р2                г)    с2 – х2                е) (к + 1)2   

А что значит вот это выражение в квадрате ?

-значит, оно умножается на себя два раза.

Как бы вы стали упрощать данное выражение?

-Умножать многочлен на многочлен.

Введение.    (3 слайд)

Ещё в глубокой древности было подмечено, что некоторые многочлены можно умножать короче, быстрее, чем остальные. Первые общие утверждения о тождественных преобразованиях встречаются у древнегреческих математиков, начиная с шестого века до н.э. Среди математиков Древней Греции было принято выражать все алгебраические утверждения в геометрической форме. Вместо сложения чисел говорили о сложении отрезков, произведение двух чисел истолковывали как площадь прямоугольника. Отказ от геометрической трактовки наметился у Диофанта Александрийского, жившего в 3 веке. В его работах появляются зачатки буквенной символики и специальных обозначений. Формулы квадрата суммы и разности двух выражений знали еще в Древнем Вавилоне, а древнегреческие математики знали ее геометрическое истолкование.

 Так появились формулы сокращённого умножения. Их несколько. Сегодня  вам предстоит сыграть роль исследователей и «открыть» две из этих формул.

(4 слайд)

Итак, тема нашего урока квадрат суммы и разности.

 А как вы думаете для чего нужны формулы?

Правильно они упрощают вычисления.

Еще с помощью формул которые вы выведете можно  возводить большие  числа в квадрат и довольно быстро.

 Но чтобы их открыть нам необходимо, вспомнить, что мы знаем и умеем.

3. Актуализация опорных знаний.

(5 слайд)

I. Устные  упражнения.    

1. Найдите  квадраты  выражений.

b ;  - 3 ;  6а ;  7х2 у3.      13а   как найти квадрат 13? Правильно в таблице квадратов

2. Найдите  произведение  5 b  и  3 с.

3. Чему  равно  удвоенное  произведение  этих  выражений?

4. Как найти площадь квадрата со стороной а? Площадь прямоугольника со сторонами а и в?

(6 слайд)

5.  Представьте в виде квадрата

36;    49;   25с2;   х2у2;   с4х6; 9у4       

6.  Перемножить  данные  многочлены.

( 4 – а) · (3 + а).  

  (7 слайд)                                                                                                                                                 

6.   Как умножить многочлен на многочлен?  Показать это  на образе

(■ +▲)·(■ +▲)            

Одна ученица на доске, другая с магнитами.

II. Новый  материал.

(8 слайд)

Исследовательская работа.

Для исследовательской работы учащиеся объединяются в группы. В них входят ребята с разной математической подготовкой.  Каждой группе предлагается заполнить на доске три строки таблицы, перемножив пары двучленов, приведённых в этой строке. После того как ребята справились с заданиями, один из них выходит к доске и записывает в правом столбце таблицы полученный ответ. Средняя часть таблицы закрыта.

Задание:  Найти  произведение  данных  многочленов

Вопросы:  1) Есть  ли  нечто  общее  в  условиях  и  ответах?

                   2) Можно ли  выражения  в  I  cтолбце  записать  короче?

 Получив ответы, учитель открывает II столбец.                  

( Открыть  II  столбец)

- Вы  уже  приступили  к  исследованию  темы  урока,  поскольку  находили  произведение    двух  одинаковых  двучленов (1 столбец таблицы),  т.е.  возводили  в  квадрат  сумму  и  разность  двух  выражений (2 столбец таблицы).

Обсуждение полученных результатов

(9 слайд)

Анализ  III  столбца:

1. После  приведения  подобных  членов  подсчитайте,  сколько  получилось  членов  в  каждом  многочлене?    (ответ:  трёхчлен)

2. Что представляет  собой 1й, 2й  и  3й  члены  по  сравнению  с 1-м  и  2-м  выражениями, стоящими  в  основании  соответствующей  степени?

1-й  член – квадрат  первого  выражения.

2-й  член – удвоенное  произведение  первого  и  второго  выражений.

3-й  член – квадрат  второго  выражения.

Итог. (10 слайд)

Учащиеся записывают общую формулу квадрата суммы двух чисел и дают словесное описание.

(а + b)2 =  а 2 + 2аb + b2  - формула  сокращённого  умножения.

(подчёркивается, что эта формула в дальнейшем будет применяться для возведения в квадрат суммы двух выражений).

Исследование начинается с вопросов.

1) Изменяется  ли  результат, если  возвести  в  квадрат  не  (а + b)2, а  (а – b)2?

2) Как можно проверить наше предположение?

Учащиеся (проверка происходит в группах)  проверяют  результат  и  выясняют, что  « - «  стоит  только  перед  удвоенным  произведением.

(а – b)2 =  а 2 – 2аb + b2        

(10 слайд)

Записываем в тетрадь, обводим в рамочку.

(ссылка) Физкультминутка

ссылка)

Геометрическая интерпретация

2.Геометрическое истолкование. Используя геометрические фигуры выполняют учащиеся под руководством учителя. Работа выполнена в форме презентации

Используемые геометрические фигуры: Квадрат со стороной в, квадрат со стороной а, два прямоугольника со сторонами а и в.

 Геометрическое истолкование формулы (а+в) 2= а2+2ав+в2.

объясните геометрический смысл выражения (а+в)2 

Ответ: площадь квадрата со стороной а+в. Смоделируем данный квадрат.

Чему равна площадь данного квадрата?

Ответ: Сумме площадей квадрата со стороной а, двух площадей прямоугольника со сторонами а и в и площади квадрата со стороной в

Задание: Сформулируйте  эти  две  формулы, а  затем  прочитайте  по  учебнику  на  стр. 152 – 153.

(сдайд)

Приступаем  к  работе  компактным  методом.

Первый  шаг.      Ученики  выполняют  упражнение: «Разделить  правило  чёрточками  на  отдельные  указания».

Квадрат  суммы  двух  выражений ║ равен  квадрату  первого  выражения  ║  плюс  удвоенное  произведение  первого  и  второго  выражений  ║  плюс  квадрат  второго  выражения.

Расстановку  чёрточек  сверяют

Второй  шаг.      Учитель  даёт  образец  выполнения  упражнения  с  помощью  подготовленного  к  работе  правила.

Третий  шаг.       В  соответствии  с  образцом,  указанным  учителем,  вызванный  ученик  читает  правила  по  учебнику  и, останавливаясь  после  каждой  чёрточки, выполняет  соответствующую  часть  упражнения:«Квадрат  суммы  двух  выражений (убеждается, что  дан  именно  квадрат  суммы

(4х-5у)2, а  не  что-либо  другое)  равен  квадрату  первого  выражения , далее на доске.

(12 слайд)

Двое у доски по очереди

III  Закрепление  нового  материала

Групповая работа. Каждая группа работает  самостоятельно, получив тестовое задание.

Выбрать  правильный  ответ.

Результаты работы с тестами учащиеся записывают на доске.

Если остается время кубик –зкзаменатор с заданиями

3. Игра  «Кубик – экзаменатор».

На каждой грани, записан квадрат суммы или разности двух выражений.  Вызванный по желанию ученик, подбрасывает кубик и комментирует выпавшую ему на верхней грани часть формулы, называет многочлен, в который можно преобразовать данный квадрат двучлена.

Итог урока.

Молодцы. Как вы считаете вы справились с исследовательской деятельностью? Кто может сказать какие формулы вы сегодня вывели? Как звучит правило? Все ли было понятно?

Оценки за урок.

(сдайд)

Давайте запишем домашнее задание.

Рефлексия.