Примеры решения логарифмических неравенств с переменным основанием.(Подготовка к ЕГЭ)
учебно-методический материал по алгебре (11 класс) на тему

Примеры  решения  логарифмических неравенств  с переменным основанием целесообразно применять правил равносильности.  Преимущество использования условий равносильности по сравнению с обычным способом решения даже таких простейших неравенств состоит в том, что мы не думаем о том, большим или меньшим единицы является основание. Кроме того, нет необходимости писать фразы о той или другой монотонности. Это особенно важно при решении  тестов ЕГЭ, когда время для их решения ограничено.

Ниже приводятся  несколько  примеров  с  использованием  правил  равносиль-ности при  решении  логарифмических  неравенств.

С3.(А.Г.Клово) Решить неравенство  logx/3 (log3).

Решение. ОДЗ:

Отсюда ОДЗ: х (0;3)(3;10).

Имеет место условие равносильности

loga(x)f(x)0(0),т.е. знак функции loga(x)f(x) совпадает со знаком  произведения (а(х)-1)(f(x)-1) в ОДЗ.

 Используя  это правило имеем:

Решим  полученное   неравенство  методом  интервалов.

Пусть f(x)==0

            -                 +                              -                               +           -

f(x)               //////////////////////                                              ////////////                             

                    0                         3                                             9         10

            Анализируя  рисунок, получаем  окончательный  ответ.

                                                                             Ответ: (0;3)

С3.(Ф.Ф.Лысенко).

 Решите неравенство  

Решение. ОДЗ:

2-x>0,   2-x;(-3;1)(1;2)

x+5>0, x+5;  x>-5,x-4, x<6  x(-5;-4)(-4;6)

х>0, x

Отсюда  x(0;1)(1;2).

Имеет место условие равносильности

loga(x)f(x)0(0),т.е. знак функции loga(x)f(x) совпадает со знаком  произведения (а(х)-1)(f(x)-1) в ОДЗ.

 Используя  это правило имеем:

Учтем ОДЗ и получим, что  х

                                                              Ответ:

С3. Решите систему неравенств

     log(х-1)2 (х2 – 4х + 4) < 0,

       log2 (х2 – 3х + 3) > 1.

Решение:

ОДЗ:

(х  – 1)2  ≠ 1                                х – 1 ≠  - 1,             х ≠ 0,

х2 – 3х + 3 > 0.                         х – 1 ≠  1                 х ≠ 2

                                      х – любое

Отсюда:   х  (-∞; 0)  (0;2)  (2; +).

Имеет место условие равносильности

loga(x)f(x)0(0),т.е. знак функции loga(x)f(x) совпадает со знаком  произведения (а(х)-1)(f(x)-1) в ОДЗ.

 Используя  это правило имеем:

  ((х  – 1)2 – 1)((х – 2)2 – 1) < 0,              (х-1-1)(х-1+1)(х-2-1)(х-2+1)  0

  х2 – 3х + 3 > 2.                                    х2  - 3х + 1  0

         (х-2)х(х-3)(х-1)  0,                х(х-1)(х-2)(х-3)  0

         х2  - 3х + 1  0                        х      ;  х  

х2  - 3х + 1 = 0

Д = 9 - 4 = 5

х =  

/////////                 /////////////   х

f(x) = х(х-1)(х-2)(х-3)

Нули функции: 0; 1; 2; 3.

    х  (0;1)  (2; 3),

    х  (-∞;)  (; +).

                       / / / / / / / / / / /                   / / / / / / / / / /

                  0                   1                  2           3             х

Ответ: ( 0;  )  ( ; 3).

↔

↔

↔

↔

↔