Решение тригонометрических уравнений и неравенств с помощью скалярного произведения векторов
учебно-методический материал по алгебре (10 класс) по теме

Решение тригонометрических уравнений с помощью скалярного

 произведения  векторов

Известно, что скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними   .

Так как , то . Если вектора заданы в координатной форме, т.е.   и  , то 

Рассмотрим примеры:

1. Решить уравнение  

 Введем векторы  и , тогда  

Итак,    

Очевидно, что исходное уравнение можно записать в виде , но это равенство выполняется, когда угол между векторами равен .

Значит,  векторы  сонаправлены, т. е.  коллинеарны, а у коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорцианальны, т. е.

, причем  и  имеют  одинаковые знаки.

Возведя обе части уравнения в квадрат и выполнив преобразования,  получаем         

Так как  то и  ( они одного знака), то

2. Решить уравнение        

          Введем векторы   и   , тогда

Итак, .

Уравнение можно представить в виде      , воспользуемся коллинеарностью векторов и соответственно  пропорциональностью их координат    . Решим полученное уравнение:

Так как        , то

3.Найдите все пары   , удовлетворяющие уравнению:

Решение: рассмотрим векторы    и , тогда

.

Ясно , что векторы  и   для выполнения равенства должны быть сонаправлены, а их соответствующие координаты пропорциональны.

Получаем  

Запишем полученное равенство в виде системы:

Возводим обе части равенств в квадрат и складываем, получаем

, откуда  

       или     , что невозможно, следовательно решений нет.

Тригонометрические задачи со сложным аргументом

Рассмотрим решение тригонометрических уравнений и неравенств , в которых сложный аргумент – сложная функция . Эти задачи отсутствуют в школьных учебниках, но их можно встретить на вступительных экзаменах.

1. Решить уравнение :

     Решение: имеем, что , но так как

 , то и   , откуда  .

Далее решаем уравнение :  .

Оно равносильно уравнению

Значения   должны удовлетворять двойному неравенству

, откуда    .

Таким образом,  осталось решить уравнение

2. Решить уравнение  

 Решение:  Преобразуя левую часть уравнения получим,

, но   , поэтому должны быть верны неравенства , где     и

  , где

Итак,  и  

3. Решить уравнение:  

Решение: Исходное уравнение равносильно  уравнению

Поскольку  , то , но так как , то

Решаем три уравнения

Таким образом ,

4.Решить неравенство

    Решение:  Пусть

Находим нули функции , решая уравнение:  

Это уравнение не имеет корней  при целых , а поэтому функция сохраняет постоянный  знак на всей координатной прямой.

Так как , то ,

 при  .

Следовательно, данное неравенство решений не имеет.

5. Решить неравенство  

Решение:

Находим нули функции  

Имеем  

Так как   , то   и

Поскольку период функции    равен   , то применяем метод интервалов на промежутке длины  

Таким образом