Образовательный модуль "Решение тригонометрических уравнений и неравенств различными методами"
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №7 городского округа г.Урюпинск

Образовательный модуль

«Решение тригонометрических уравнений и неравенств различными методами»  для 10 класса.

(методическое пособие для учителя)

                                                         Автор:

                                                         учитель математики

                                                          I квалификационной категории

                                                        Михайличенко Елена Николаевна

                                                        г. Урюпинск

Пояснительная записка.

Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время все шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык. Компьютеризация общества, внедрение современных информационных технологий требуют математической грамотности ученика, знакомства и понимания методов познания действительности, применения математики для решения научных и прикладных задач.

Методическое пособие содержит материал  для более глубокого изучения  методов решения тригонометрических уравнений и неравенств, необходимых для поступления выпускников образовательной школы в  вузы,  для сдачи единого государственного экзамена  по математике за курс средней школы.

Цель образовательного модуля  «Решение тригонометрических  уравнений и неравенств различными методами»  заключается в расширении и складывании у школьников цельного представления об основных методах решения уравнений и неравенств, развитии и совершенствовании техники решения тригонометрических  уравнений и неравенств.

        В рамках указанной цели решаются следующие задачи:

1) расширение сферы математических знаний учащихся возможностью знакомства и овладения  общими   методами решения тригонометрических уравнений и                 неравенств, а также решения одного уравнения несколькими методами;

2) овладение  другими методами решения тригонометрических уравнений и

неравенств;

3) применение изученных методов  к решению тригонометрических уравнений и      неравенств.

        Программа образовательного модуля  рассчитана на  17 учебных часов, из них один час отводится на проведение контрольной работы.

        В ходе проведения занятий образовательного модуля предполагается использование мультимедийных демонстраций, применение дифференцированных  заданий.

        Окончив курс образовательного модуля, учащиеся должны:

• решать тригонометрические уравнения общими методами (разложения на множители, введением новых переменных);
• решать тригонометрические уравнения методами рационализации, введением вспомогательного угла, нестандартными методами;
• решать одно тригонометрическое уравнение различными методами;
• решать тригонометрические неравенства различными методами.

Материал образовательного модуля: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств различными методами» для учащихся 10 класса направлен на интеграцию знаний, овладение  и систематизацию методов и приёмов решения уравнений и неравенств.

         Он может использоваться учителем как на уроках алгебры и начала анализа в 10 классе, при повторении курса алгебры в 11 классе, так и на факультативных занятиях.

Основные формы организации  учебных внеурочных занятий: лекция, объяснение, беседа, практическая работа, самостоятельная работа с использованием электронного учебника-справочника.

  В программе модуля  приводится распределение учебного времени, включающее план занятий. С учетом интересов учащихся, их образовательной подготовки (средней и высокой уровень) учитель может менять порядок изучения тем, исключать некоторые  из них и добавлять или заменять одни методы решения уравнений и неравенств другими. Все занятия направлены на расширение представлений об изучаемом материале, на развитие и закрепление знаний, умений и навыков  по решению тригонометрических уравнений и неравенств.

В  пособие входят:

1.Учебно-тематический план.

2.Программа и методические рекомендации к проведению занятий, решению уравнений.

3.Задания, упражнения для закрепления знаний , умений и навыков.

4.Литература для учителя и учащихся.

5.Приложения.

Учебно-тематический план.

Содержание программы.

Тема 1. Решение тригонометрических уравнений  общими методами. (2 часа).

Занятие 1.  Общие методы решения тригонометрических уравнений. Уравнения, сводимые к алгебраическим.(1 час).

Методы обучения:  лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Форма контроля: текущий контроль, интерактивный  контроль.

Занятие 2.Уравнения, решаемые разложением на множители.(1 час).

Методы обучения: проверочная беседа, выполнение тренировочных упражнений.

Форма контроля: индивидуальный контроль, проверка задач самостоятельного решения. интерактивный  контроль.

Тема 2.Решение тригонометрических уравнений методом понижения степени.

(2 часа).

 Занятие 3. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.(1 час).

Методы обучения: беседа, объяснение, решение тренировочных задач.

Форма контроля:  фронтальный опрос, текущий контроль.

Занятие 4.Решение тригонометрических  уравнений методом понижения степени.(1 час).

 Методы обучения:  учебная беседа, решение тренировочных упражнений.  

Форма контроля: интерактивный  контроль, проверочная самостоятельная рабата.

Тема 3.  Решение тригонометрических уравнений методом введения вспомогательного угла. (2 часа).

Занятие 5. Уравнение вида a sin x  + b cos x = c.(1 час).

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Форма контроля: текущий контроль.

Занятие 6. Решение тригонометрических уравнений методом введения вспомогательного угла.(1 час).

Методы обучения: беседа, выполнение тренировочных упражнений.

Форма контроля:  текущий контроль, практическая работа .

Тема 4. Решение тригонометрических уравнений методом рационализации. (2 часа).

Занятие 7. Второй способ решения уравнений вида a sin x  + b cos x = c.(1 час).

Методы обучения: мультимедийная демонстрация.

Форма контроля: текущий контроль, проверка выполненных заданий.

Занятие 8. Уравнения, решаемые с помощью метода рационализации.(1 час).

Методы обучения: решение тренировочных упражнений.

Форма контроля: фронтальный опрос, интерактивный  контроль

Тема 5. Решение однородных тригонометрических уравнений. (2 часа).

Занятие 9. Решений однородных тригонометрических уравнений первой степени.(1 час).

Методы обучения: обобщающая беседа, мультимедийная демонстрация.

Форма контроля :дифференцированная работа по карточкам.

Занятия 10. Решений однородных тригонометрических уравнений второй  степени(1 час)

Методы обучения: объяснение, выполнение тренировочных упражнений,

Форма контроля: интерактивный контроль.

Тема 6. Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений. (2 часа).

Занятие 11. Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений.(1 час).

Методы обучения: учебная беседа, решение тренировочных упражнений.

Форма контроля: практическая работа.

 Занятие 12. Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений.(1 час)

Методы обучения: объяснение , практическая работа по решению уравнений.

Форма контроля: индивидуальный контроль.

Тема 7. Решение одного тригонометрического уравнения различными способами.

(1 час).

Занятие 13. Решение одного тригонометрического уравнения различными способами.

(1 час).

Методы обучения: объяснение, решение тренировочных задач.

Форма контроля: фронтальный опрос, групповой контроль.

Тема 8. Решение тригонометрических неравенств методом введения новой переменной.

(1 час).

Занятие 14. Решение тригонометрических неравенств методом введения новой переменной.(1 час).

Методы обучения: объяснительный  рассказ, мультимедийная демонстрация

Форма контроля: интерактивный контроль.

Тема 9. Решение тригонометрических неравенств методом интервалов.(1 час).

Занятие 15. Решение тригонометрических неравенств методом интервалов.(1 час).

Методы обучения: мультимедийная демонстрация , практическая работа.

Форма контроля: текущий контроль.

Тема 10. Решение уравнений и неравенств различными методами. (1 час).

Занятие 16. Решение уравнений и неравенств различными методами. (1 час).

Методы обучения: объяснение, практическая работа.

Форма контроля: текущий контроль.

Тема 11. Контрольная работа по теме: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств».(1 час).

Занятие 17. Контрольная работа по теме: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств».(1 час).

Методы обучения: практическая работа.

Форма контроля: тематический контроль.

Материалы для занятий.

Все отвлечённые понятия пояснять как только можно,

                                                      и примерами, и задачами, и приложениями…

                                                                    М.В.Остроградский.

Занятие 1-2. Решение уравнений общими методами.

Решение тригонометрических уравнений и неравенств основано на приведении их к простейшим тригонометрическим уравнениям и неравенствам путём выполнения тригонометрических преобразований. При решении неравенств часто используются свойства тригонометрических функций и их графики.

 Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу относятся простейшие тригонометрические уравнения, т. е. уравнения вида:

sin x = a,   cos x = a,   tg x = а,   где а  — действительное число.

1)  если \a\ < 1, то решения уравнения cos x — а имеют вид

 х = ±arccos a + 2πп;

2)  если \a\ < 1, то решения уравнения sin x = а имеют вид

х = (-1)n arcsin a + πп, или, что то же самое,

х = arcsin a + 2πk,    x = π – arcsin a + 2πк;

3)  если \а\ > 1,  то уравнения cos x = a,   sin x = а не имеют решений;

4)  решения уравнения tg x = а для любого значения а имеют вид

х = arctg a + πп;

5) частные случаи:

sin x = 0,  х = πп; sin x = 1,  х =  + 2πn;

sin x = -1,  х = - + 2πn;

cos x = 0,   х =  + πn;

cos x = 1,  х = 2πn; cos x = - 1,  х = π + 2πn. Во всех перечисленных формулах параметр (n, k) принимает любые целочисленные значения (nZ, kZ).

К простейшим относят уравнения вида T( kx + m) = а, где Т — знак какой-либо тригонометрической функции.

Для решения тригонометрических уравнений чаще  всего используются  два метода:  метод  сведения тригонометрического уравнения к алгебраическому и разложение на множители.

Метод введения новой переменной применяется при решении тригонометрических уравнений в тех случаях, когда путем замены тригонометрического выражения на новую переменную уравнение удаётся свести к алгебраическому.

Тригонометрические уравнения a sin2 x + b sin x + с = 0, a cos3x+ b cos x + c = 0; a tg43x + b tg23x + c = 0, a ctg22x + b ctg 2x + c = 0 уже сведены к алгебраическим. Действительно, положив в них соответственно sin x = y, cos x = z, tg 3x = t, ctg 2x = u, получим алгебраические уравнения: ay2 + by + с = 0, az3 + bz + c = 0, at4 + bt2 + c = 0 и au2 + bu + c = = 0. Решив каждое из них, найдем sin x, cos x , tg 3x и ctg 2x.

Уравнения a sin2x + b cos x + c = 0,  a cos2x + b sin x + c = 0,  a tg x + b ctg x = 0 не являются по виду алгебраическими, но их можно    свести    к    алгебраическим:    

a cos2 x – b cos х - (а + с) = 0,

a sm2x - b sin x - (a+c) = 0 и a tg x +   =0.

Примеры. Решите уравнения.

а)   2 sin2x - 7cos x - 5 = 0.

Решение.

2(1 - cos2 x) - 7cos x -  5 = 0,

 2 cos2 x + 7cos x + 3 = 0,

cos x = y,

2у2 + 7у + 3 = 0,

y1 = -3, y2= -   .  

1) cos x= -3< -1, х — не имеет  решения;

2) cos x = -   , х = ±  π + 2πk, kΖ.

Ответ: х = ± π + 2 πk, kZ.

б)   cos 2x + 3 sin x = 2.

Решение.      

1 - 2 sin2x + 3 sin x = 2,      

2 sin2x - 3 sin x + 1 =0,

sin x = y,

2y2 - 3y + l= 0,

y1 =  ,   y2 = l.  

1) sin x =   , x = (-l)n  + πn , nZ;  

 2) sin x = l,   х = +2 πk,   kZ.                                                                  

Ответ: x = (- 1)n + πn,   + 2 πk, n,kZ.

в)   2 cos23x + sin 3x – 1 = 0.

Решение.

2(1— sin2 3х) + sin 3х - 1 = 0,

2 sin2 3х -  sin 3х - 1 = 0,

sin 3x = y,  

2у2 – y -1 = 0,  

 y1 = 1, y2 = -          

1) sin 3х = 1, 3х = + 2 π k,  

Зx =  (4k + 1),      х = (4k + 1),kZ;      

2) sin 3x= - ,    

Х = (-1)n+l +n, nΖ.  

Ответ: x = (4k+l) , x = (- 1)"+1+ n, nZ.

При решении уравнений методом разложения на множители кроме общепринятых способов разложения на множители, таких как  вынесение за скобки общего множителя, способ группировки, применение формул сокращённого умножения и  т.п., при решении тригонометрических уравнений также используются формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и другие. В результате удаётся привести исходное выражение к виду, удобному для разложения на множители.

Мультимедийная  демонстрация.(электронный учебник справочник 7-11 кл. алгебра).

Практические советы. ( Приложение 1. )

Задания для самостоятельной тренировочной работы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

Занятие 3-4. Решение тригонометрических уравнений методом понижения степени.

Если в формуле  заменить на , получим

Таким образом, , значит,

Если в формуле заменить на, получим

Таким образом, значит,

Полученные две формулы называют формулами понижения степени.

К формулам понижения степени относятся и формулы:

Пример:

Решите уравнение

Решение.

,

,

,

1) ,                                   2)

,                                

,nZ.                            , kZ

Ответ: ,, n,kZ.

Мультимедийная  демонстрация.(электронный учебник справочник 7-11 кл. алгебра).

Практические советы:

При решении уравнений методом понижения степени, необходимо знать формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведение.

Задания для тренировочной самостоятельной работы:

Решите уравнения:

1) ,

2) ,

3)

4)

Занятие 5-6. Решение тригонометрических уравнений методом введением вспомогательного аргумента.

Метод введения вспомогательного аргумента

Рассмотрим уравнение вида, , у которого a,b,c — любые действительные числа. Разделим обе части уравнения на, , тогда, уравнение примет вид

Так как

и

 то можно считать что  ,a . При этом выполняется

условие.   В результате уравнение принимает вид т.е. сводится к простейшему  тригонометрическому уравнению.

Пример

Решите уравнение.

Решение.

Разделим обе части уравнения на

Заменим на , а на

, kZ

,kZ

Ответ: ,kZ.

                               Практическая работа.

Решите уравнения методом введения вспомогательного аргумента:

1) ,

2)

3)

4) .

Занятие 7-8. Решение  тригонометрических уравнений методом рационализации.

При решении уравнений вида F () = 0, где в левой части уравнения стоит рациональная функция своих аргументов, можно выполнить замену переменной, называемую универсальной тригонометрической подстановкой. В результате преобразований исходное уравнение сводится к дробно-рациональному относительно переменной t.

Действительно, значения sin x и cos x можно выразить через t следующим образом:

,  

Запомните, что при использовании этого метода, область определения уравнения сужается на множество, kZ. Поэтому, выбрав указанный способ решения, следует проверить, не являются ли числа из множества , kZ корнями исходного уравнения.

Пример:

Решите уравнение.

Пусть , тогда ,

,

,

 t=1

Вернёмся к исходной переменной:

, kZ

Ответ: , kZ

Областью определения данного уравнения являются все действительные числа, кроме чисел вида

 , kZ. Заметим, что в данном случае нет необходимости проверять, являются ли числа из множества , kZ корнями уравнения, поскольку эти числа не входят в область определения.

Мультимедийная  демонстрация.(электронный учебник справочник 7-11 кл. алгебра).

Решите самостоятельно, используя универсальную тригонометрическую подстановку.

1) 

2)

3)

Занятие9-10. Решение однородных тригонометрических уравнений.

Уравнения вида,  и т.д. являются однородными относительно sin x и cos x. Сумма показателей степеней в каждом слагаемом при sin x и cos x       у таких уравнений одинакова, и она, называется степенью уравнения. Метод решения уравнений такого вида состоит в делении левой и правой частей на cosn x ≠ 0 и получении целого уравнения n-ой степени относительно tg x.

Отметим, что полученное уравнение равносильно исходному, т.к. cosn x ≠ 0 ограничение не приводит к потере корней. Действительно, если предположить, что cos x = 0, то из исходного уравнения следует, что и sin x = 0. что противоречит основному тригонометрическому тождеству.

Уравнение вида {z≠0) не является однородным, но его можно свести к однородному, представив правую часть в виде z = z  (sin x + cos2 x). Однако при его решении возможна потеря корней в результате деления нa  cos2 x.

Мультимедийная  демонстрация примеров решения.(электронный учебник справочник

7-11 кл. алгебра).

Задания для самостоятельного решения

(Дифференцированная работа по карточкам).(Приложение 2).

Занятие 11-12. Не стандартные методы решения тригонометрических уравнений

Решите уравнение

Решение:

Очевидно, что решениями исходного уравнения являются решения систем:

                        и                              

Других решений  уравнение не имеет.

Действительно, при всех остальных значениях x выполняются неравенства

sin3 2x < sin2 2x и cos5 2x < cos2 2x. Тогда sin3 2x + cos5 2x < sin2 2x + cos2 2x = 1, т.е. равенство левой и правой частей уравнения невозможно.

Ответ: ,.

Решите уравнение:

Решение.

Т.к.  и , то  

 .

Ответ: .

Задания для самостоятельной работы..

Решите следующие уравнения, оценивая множества возможных значений тригонометрических функций:

1) ,

2) .

Занятие 13. Решение одного тригонометрического уравнения различными способами.

                                                 То, что  знаем,  -  ограниченно,

         а то ,чего мы не знаем , - бесконечно.

                                                            П.Лаплас.

Решите уравнение:

I способ (сведение данного уравнения к однородному):

Т.к. , не содержит корней данного уравнения, то после деления на

получим равносильное уравнение.

Пусть , тогда

Вернёмся к исходной переменной

.

Ответ: .

II способ (использование формулы , где

a и b не равны нулю одновременно.)

Возьмем

Ответ: .

III способ(универсальная подстановка, используя формулы ,

, где )

Проверим являются ли числа вида корнями данного уравнения

Т.е. числа этого вида не являются корнями.

Применяя универсальную подстановку, получим равносильное уравнение

Пусть , тогда

Вернёмся к исходной переменной

.

Ответ: .

Методические рекомендации( Приложение 3.)

Самостоятельная работа по группам.

Решите уравнение выбирая наиболее рациональный способ решения:

1)

2)

3)

Занятие 14. Решение тригонометрических неравенств методом введения новой переменной.

Два тригонометрических выражения, соединенных между собой знаками «>» или «<», называются тригонометрическими неравенствами. Тригонометрическое неравенство может быть тождественным (безусловным) и условным.

Тождественные неравенства доказываются, а условные — решаются. Тригонометрическое неравенство называется тождественным, или безусловным, если оно справедливо при всех допустимых значениях неизвестных, входящих в неравенство.

Например:

1)    при всех xR, кроме ;

2)  при всех xR;

3) 

Тригонометрическое неравенство называется условным, если оно справедливо не при всех значениях неизвестных, входящих в неравенство.

Например:

1)  , что выполняется только на отрезках

2) , что выполняется только на отрезках

Решить тригонометрическое неравенство — это значит найти множество значений неизвестных, входящих в неравенство, при которых неравенство выполняется. Мы знаем, что тригонометрические функции sin x и cos x имеют наименьший положительный период , a tg x и ctg x имеют наименьший положительный период . При решении неравенств с тригонометрическими функциями следует использовать периодичность этих функций, их монотонность на соответствующих промежутках.

Для того чтобы решить неравенство, содержащее только sin x или только cos x, достаточно решить это неравенство на каком-либо отрезке длины . Множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида , где . Для неравенств, содержащих только tg x и ctg x, решения находятся на промежутке длиной π, а множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида , где. Тригонометрические неравенства можно решать, прибегая к графикам функций , ,  и,

.Мы будем решать неравенства, пользуясь окружностью единичного радиуса. При решении тригонометрических неравенств мы в конечном итоге будем  приходить к не-

равенствам,,, и т.п.

Мультимедийная  демонстрация: примеры и задания.(электронный учебник справочник

7-11 кл. алгебра).

Занятие15.Решение тригонометрических неравенств методом интервалов.

Мультимедийная  демонстрация: теория и примеры.(электронный учебник справочник

7-11 кл. алгебра).

Рассмотрим решение неравенства методом интервалов.

План решения неравенства методом интервалов

Решите неравенство.

План решения:

1) Рассмотрим функцию g(x)=

2) Найдем нули функции и её период.

3) Рассмотрим промежуток , длина которого равна .

4) Нули функции разбивают этот промежуток на интервалы, внутри которых функция в силу непрерывности сохраняет постоянный знак.

5) Определим знаки функции на полученных интервалах.

6) Найдем решения исходного неравенства на промежутке .

7) Запишим ответ с учётом периодичности функции.

Ответ: .

Задание самостоятельной работы.

Решите неравенства методом интервалов:

1)

2)

3)

4)

   Занятие16. Решение уравнений и неравенств различными методами.

Примеры решения неравенств:

Пример 1 ( решения неравенства на тригонометрической окружности)

Ответ:

Пример 2 ( решения неравенства с помощью графика)

Построим в одной системе координат графики функции у = tg.x и у= 1. Рассмотрим интервал  и найдём промежуток на оси абсцисс, на котором график функции

у = tg x проходит не ниже построенной прямой.

С учётом периодичности функции у = tg x запишем окончательный ответ.  

Ответ:

Пример 3 (решите самостоятельно  неравенство методом понижения степени)

Указания:

1) Примените формулы понижения степени

2) Найдите решение с помощью тригонометрической окружности        

Самостоятельная работа с последующей проверкой:

Решите уравнения:

1)

2)

Решите неравенство:

Занятие 17. Контрольная работа по теме: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»

                                                                    Способности развиваются тем успешнее, чем                                                                

                                                            чаще в своей деятельности человек добирается до

                                                             потолка своих возможностей и постепенно  подни-                      

                                                             мает этот «потолок»   всё выше и выше.

                                                                                                                     Б.Н.Никитин.                      

Контрольная работа по вариантам. (Приложение 4)

Литература для учителя

• И.Т. Бородуля Тригонометрические уравнения и неравенства. Книга для учителя М. «Просвещение» 1989 г.
• Краткое изложение стандартных и нестандартных методов решения  задач по элементарной математике: Учеб. пособие / И.А. Соловьев, Г.В. Арутюнян, Е.В. Марчевская и др. – М.: ГУЗ, 2005.
• А.Г. Мордкович Решаем уравнения. Учебное пособие. М. «Школа пресс» 1995 г.
• Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия: Учеб. пособие. -  М.: Просвещение, 1991.
• Математика. Часть 1. Мультимедийное пособие. / Дубровский В.Н. и др. Москва. Фирма «1С», 2002.
• Алгебра 7-11 класс. Электронный учебник справочник. «Кордис & Медиа».2000 г.

В.С.Крамор, П.А.Михайлов Тригонометрические функции. (Система упражнений для самостоятельного изучения.) .Пособие для учащихся.М. «Просвещение». 1979 г.

Литература для учащихся

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 кл.:  В двух частях. Ч. 1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – М. Мнемозина, 2003.
2. Алгебра и начала анализа 10-11 кл.:  В двух частях. Ч. 2: Задачник для общеобразоват. учреждений/ А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева, Т.А. Корешкова, Т.Н. Мишустина, Е.Е.Тульчинская; Под ред. А.Г. Мордковича.  – М. Мнемозина, 2005.
3. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУзы под редакцией М.И. Сканави. Книга для ученика и учителя. М. Столетие МИЧ 1997 г.
4. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика / Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др. – М.: Интеллект-Центр, 2004.
5. Симонов А.Я., Бакаев Д.С., Эпельман А.Г. и др. Система тренировочных задач и упражнений по математике. М. «Просвещение» 1991 г.
6. Единственные реальные варианты заданий для подготовки к государственному экзамену. ЕГЭ-2006. Математика / А.Г.Клово. – М.: Федеральный центр тестирования, 2006.
7. Математика. ЕГЭ – 2007. Учебно-тренировочные тесты. / под ред. Ф.Ф Лысенко. Ростов-на-Дону: Легион, 2007.
8. Краткое изложение стандартных и нестандартных методов решения  задач по элементарной математике: Учеб. пособие / И.А. Соловьев, Г.В. Арутюнян, Е.В. Марчевская и др. – М.: ГУЗ, 2005.
9. Математика. ЕГЭ-2008.Вступительные испытания. Учебно-методическое пособие.Ростов-на-Дону.

«Легион». 2007 г.

Приложение 1.

Практические советы.

При   решении   уравнений  общими методами необходимо   знать формулы:

1) sin2x + cos2 x = l ;      

2)tg x =  ;         

3) ctg x =;          

4) ctg x  = ;                       

5) l+tg2x =;          

6) l+ctg2x = ;                

7) 1 + cos 2x = 2 cos2 x;                  

 8) 1- cos 2x = 2 sin2 x;

9) tg 2x=  ;    

10) sin 2x=   ;

11) cos 2x= ;    

12) sin 2x = 2 sin x cos x;

13) cos 2x = cos2 x - sin2 x, или cos 2x = 2cos2 x - 1, или cos 2x= 1 - 2 sin2 x;

14) Формулы приведения;

Приложение 2

Задания для самостоятельной работы:

Вариант  I

Решите уравнения:

1)                        

2) 

3)

Вариант II

Решите уравнения:

1)                  

2)

3)

Вариант III

Решите уравнения:

1)

2)

3)

      Приложение 3.

При применении  методов решения уравнений необходимо  опираться на алгоритмы решения изученных  простейших тригонометрических уравнений. Решение таких заданий формирует алгоритмическую культуру учащихся, помогают овладеть качественно новыми методами решения, а также развивать себя и своё творческое мышление. Разработка алгоритмов решения ключевых задач является творческой деятельностью, поэтому совместная деятельность учителя  и учащихся на занятиях по выбору, обоснованию и систематизации алгоритмов способствует  развитию школьников. Использование опыта при поиске методов решения особенно эффективно осуществляется путём узнавания  в новых задачах последовательности ключевых задач.

Пример выбора ключевых задач по теме: «Тригонометрические уравнения».

1. Решите уравнения:

а)               

б)          

в)

2.Найти корни:

  , где А,В,С — числа

3.Найти решения:

 , где — числа или

 , где — числа                                                                                                                                                                              

4.Решите уравнение:

, где А,В,С,D — числа

5.Решите уравнение:

, где  — число

6. Решите уравнение:

а)

б)

7. Решите уравнение:

Приложение 4

Контрольная работа.

Вариант  I

1. Решите уравнения:

2.Решите неравенства:

Вариант  II

1. Решите уравнения:

2. Решите неравенства:

Вариант  III

1. Решите уравнения:

2.Решите неравенства: