Элективный курс "Функции и графики"
элективный курс по алгебре на тему

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №11»

«ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ»

Программа элективного курса

для учащихся 8 класса.

                                Разработал:    Губарь Оксана Михайловна,                                                учитель математики,

              первая квалификационная категория.

г. Усть-Илимск. 2010 г.

Содержание:

Пояснительная записка        

Требования к уровню подготовленности школьников        

Организация деятельности школьников        

Содержание курса        

Тема 1. Основные понятия. (3 часа)        

Тема 2. Применение компьютера и программных приложений к построению графиков функций и исследованию свойств.  (3 часа)        

Тема 3.      Геометрические преобразования графиков функций (6 часов)        

Тема 4. Основные способы и приёмы построения графиков функций.  (12 часов)        

Тема 5. Применение графиков функций к решению задач. (10 часов)        

Тематическое планирование учебного материала        

Учебно-методическое обеспечение        

Литература        

Пояснительная записка

Настоящее время – период возрастающей роли математики в развитии наук, производства, цивилизации в целом. Без конкретных математических знаний затруднено понимание принципов устройства и использования современной техники, восприятие научных знаний, малоэффективна повседневная практическая деятельность. Важным для жизни в современном обществе является математический стиль мышления. Особую роль при изучении математики играет функциональная линия.

Предлагаемый элективный курс по предпрофильной подготовке учащихся 8 классов посвящен одному из основных понятий современной математики – функциональной зависимости. Понятие функциональной зависимости, являясь одним из центральных в математике, пронизывает все ее приложения, оно, как ни одно другое, приучает воспринимать величины в их живой изменчивости, во взаимной связи и обусловленности. Изучение поведения функций и построение их графиков являются важным разделом школьного курса. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать сложные задачи, а порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой интерес для самих учащихся. Однако на базе основной школы материал, связанный с этим вопросом, представлен несколько хаотично, изучается недостаточно полно, многие важные моменты не входят в программу и, следовательно, не изучаются.

    В процессе изучения курса у учащихся развивается абстрактное мышление и пространственное воображение. Включенный в программу материал представляет познавательный интерес для учащихся и может применяться для разных групп школьников вследствие своей обобщенности и практической направленности. Развертывание учебного материала четко структурировано и соответствует задачам курса. Материал для занятий подобран таким образом, чтобы можно было проиллюстрировать красоту построения графиков, подчеркнуть эстетические аспекты, показать связь с другими областями знаний (например, физика, экономика).

В курсе заложена возможность дифференцированного обучения, как путем использования задач различного уровня сложности, так и на основе различной степени самостоятельности  осваивания нового материала. Следовательно, программа применима для самых разных групп школьников, в том числе не имеющих хорошей подготовки.

На изучение всего курса отводится 34 ч, по окончании предусмотрено зачетное мероприятие на 2 ч в виде контрольной или тестовой работы, возможны также другие, даже комбинированные формы диагностики (защита проектов и презентаций творческих работ учащихся).

    Установление степени достижения учащимися промежуточных и итоговых результатов производится на каждом занятии благодаря использованию практикумов, самостоятельных работ, тестов, консультаций, творческих заданий. Планируется организация разных форм деятельности учащихся: индивидуальной и групповой, коллективной.

Изучение  темы позволяет наглядно, в доступной форме рассмотреть возможности применения информационно-коммуникационных технологий  для решения математических задач. Курс предметно-ориентированный

Цели: Развитие представлений о математических объектах, о целостной составляющей картины мира через углубление и расширение знаний учащихся по теме «Функции и графики». Формирование навыка применения информационно-коммуникационных технологий в учебной деятельности.  

    Задачи:

1. Углубление и обобщение    знаний, полученные учащимися в процессе изучения тем, раскрывающих понятие функции, функциональной зависимости  в школьном курсе алгебры; вопросов,  связанных с исследованием свойств элементарных  функции в процессе построения графиков. 
2. Развитие  навыков применения компьютера и информационных технологий к решению различных практических задач по математике и другим предметам.
3. Применение геометрических преобразований к построению графиков и исследованию свойств элементарных функций
4.  Совершенствование графического способа решения уравнений, неравенств, систем уравнений.
5. Создание условия для развития исследовательских и творческих способностей детей.

           Особенностью данного элективного курса является его направленность на освоение учащимися основных умений и навыков, способов деятельности при изучении функций,  построении графиков и исследования свойств функций.

           Учащиеся курса приобретают пользовательский навык применения информационно-коммуникационных технологий решению математических задач: построение графиков функций, решение уравнений, неравенств, систем уравнений. Это  поможет им в дальнейшем успешно усваивать основные разделы математики, применять приобретённые знания в изучении других предметов.  

Требования к уровню подготовленности школьников

1 уровень

Учащиеся должны знать:

понятие функции, основные элементарные функции, основные свойства функции;

Учащиеся должны уметь:

1. определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;
2. строить графики изученных функций, выполнять преобразование графиков.

2 уровень

Учащиеся должны знать:

1. методы геометрических преобразований графиков функций;

Учащиеся должны уметь:

2. описывать по графику и по формуле поведение и свойства функций.

3 уровень

Учащиеся должны знать:

1. что функции могут описывать различные зависимости между реальными величинами и процессами, уметь приводить примеры таких процессов;

Учащиеся должны уметь:

3. решать уравнения, системы уравнений, неравенства; используя свойства функций и их графические представления.

4 уровень

Учащиеся должны знать:

1. программные приложения «Excel» и «Advanced Grapher».

Учащиеся должны уметь:

1. применять компьютерные программы  для построения графиков функций, с последующим изучением свойств, решения задач с помощью графиков;
2. создавать проекты по темам элективного курса в   форме компьютерных презентаций или Web-сайтов.
3. использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для описания и исследования с помощью функций реальных зависимостей, представления их графически; интерпретации графиков реальных процессов.

Организация деятельности школьников

        При реализации курса предполагается на занятиях использование частично-поискового метода, самостоятельных видов деятельности, игровых технологий, компьютера и информационных технологий,  что дает возможность около 60 процентов учебного времени направить на организацию творческой  деятельности учащихся при работе в малых творческих группах (оптимальный вариант - в парах).

   Курс имеет практико-ориентированную направленность, формы занятий разнообразны: семинары, практикумы, мастерские, тренинги и др. Количество часов и объем изучаемого материала позволяют принять темп продвижения по курсу, который соответствует возрасту учащихся 8 классов.

Отработка и закрепление основных умений и навыков осуществляется при выполнении практических заданий.

Формирование важнейших умений и навыков происходит на фоне развития умственной деятельности, так как школьники учатся анализировать, замечать существенное, подмечать общее и делать обобщения, переносить известные приемы в нестандартные ситуации, находить пути их решения.

Уделяется внимание развитию речи: учащимся предлагается объяснять свои действия, вслух высказывать свою точку зрения, ссылаться на известные правила, факты, высказывать догадки, предлагать способы решения, задавать вопросы, публично выступать. Реферативная и исследовательская деятельность учащихся позволяет удовлетворять их индивидуальные потребности и интересы, выявлять их индивидуальные возможности, т.е. максимально индивидуализировать обучение.

Итоговой формой контроля, подводящей изучение курса к логическому завершению, предполагается написание учащимися научно-исследовательской работы, реферата, проекта.

Преподавание курса строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление.

Содержание курса

 Программа элективного курса рассчитана на 34 часа, и содержит 4 основных блока:

1. первый блок содержит основные понятия темы «Функции и графики», определение функции, способы задания, понятие графика, основные свойства функции;

1. второй блок предоставляет возможность применения вычислительной техники к решению математических задач, в частности к построению графиков функций;
2. третий блок направлен на расширение представление учащихся о приемах построения графиков;
3. четвёртый блок направлен на изучение  способов и приёмов построения графиков функций, полученных из элементарных;
4. пятый блок носит практическую направленность: применение графиков и свойств  функций к решению уравнений, неравенств, систем уравнений.      

Тема 1. Основные понятия. (3 часа)

Функция. Основные элементарные функции. Проверка владения базовыми умениями.

 На первых занятиях учащимся сообщается цель и значение данного элективного курса, выявляются и систематизируются их знания о функциональной зависимости. Определяется понятийный аппарат, круг доступных задач, предоставляется дополнительная информация для расширения возможностей учащихся. При этом целесообразно использование разнообразного наглядного материала.

Тема 2. Применение компьютера и программных приложений к построению графиков функций и исследованию свойств.  (3 часа)

Построение графиков функций с применением программы «Advanced Grapher» и в среде электронных таблиц “Excel”. Изучение свойств функции по графику. Практикумы по указанной теме.

Тема 3.      Геометрические преобразования графиков функций (6 часов)

Геометрические преобразования графиков функций. Параллельный перенос. Деформация (растяжение и сжатие) графиков.  Коэффициенты сжатия и растяжения графиков от осей координат. Отражение (относительно осей ОХ и ОУ) графиков. Симметричные отображения относительно осей Практикумы на построение графиков функций, полученных из элементарных с помощью геометрических преобразований, исследованию свойств. Применение компьютерных технологий по теме.

В результате учащиеся получают практическое руководство для построения эскизов графиков многих функций.

Тема 4. Основные способы и приёмы построения графиков функций.  (12 часов)

Построение графиков, содержащих модуль, на основе геометрических преобразований. Учащиеся знакомятся с основными приемами построения графиков, содержащих модули. Вводится понятие классов функций, подклассов. На этом этапе учащиеся должны уметь классифицировать функции.

Знакомство с понятием разрывной функции, их видами, способами задания, свойствами и графиками. Практическое занятие направлено на отработку навыков построения графиков разрывных функций.

Кусочно-линейные функции. Функции задаются различными способами и один из них - кусочно-линейное задание. Построение графиков таких функций – одна из важнейших целей данной темы. Демонстрация приемов построения графиков на характерных примерах и выполнении упражнений.

Построение графиков многочленов очень непросто и требует особого внимания. Особенно нужно учитывать условие существования данной функции и, что ее графиком является гладкая кривая. Учащиеся на данных занятиях должны научиться четко это понимать, и применять на практике.

Графики дробно-рациональных функций в школьном курсе алгебры изучаются недостаточно, однако, их знание и практические навыки построения, необходимы. На занятиях учащиеся знакомятся с понятием асимптоты, их видами и расположением график относительно асимптот.

Тема 5. Применение графиков функций к решению задач. (10 часов)

Действия над функциями. Графики суммы (разности) произведения и частного двух функций также можно построить без применения методов математического анализа, используя определенные правила. Особенно эффективен этот метод в случае, когда исходные функции являются элементарными.

Функционально-графический подход к решению задач.

Использование графиков функций для решения различных задач. На данных занятиях учащиеся знакомятся с использованием графиков различных функций при решении систем уравнений. При решении уравнений и неравенств как с одним неизвестным.

Презентации проекта «Графики вокруг нас». Защита рефератов « Графики в окружающем нас мире».

 Тематическое планирование учебного материала

Учебно-методическое обеспечение:

1. Конспект занятия по теме: «Растяжение и сжатие графиков. Параллельный перенос графиков функций».
2. Тест по теме: «Геометрические преобразования графиков функций»
3. Контрольное тестирование по теме "Функции и графики"
4. Сборник задач по темам курса
5. Список тем предлагаемых для исследовательских проектов учащихся.

Список тем предлагаемых для исследовательских проектов учащихся.

1. Функции в практической деятельности человека.
2. Линейная функция. Свойства, график и применение.
3. Квадратичная функция. Свойства, график и применение.
4. Функция обратной пропорциональной зависимости. Свойства, график и применение.
5. Степенная функция. Свойства, график и применение.
6. Преобразование графиков функций при параллельном переносе.
7. Преобразование графиков функций при симметричных отображениях.
8. Преобразование графиков функций при сжатии и растяжении.
9.  Построение графиков функций, содержащих модуль.
10.  Применение графиков функций к решению уравнений.
11.  Применение функции к решению физических задач.

Для выполнения зачётной работы учащиеся могут сами предложить любую тему по своему желанию.

Литература

1. М.Е. Козина  Сборник элективных курсов. Волгоград, 2007  г.  Факультативный курс по математике 7-9 класс.
2. Ершов Л.В., Райхмист Р.Б. Построение графиков функций. Книга для учителя. – М.:  Просвещение, 1984 г.
3. Никольская И.Л. “Факультативный курс по математике”, М: “Просвещение”, 1991г.
4. Петраков И.С. “Математические кружки в 8-10 классах”, М: “Просвещение”, 1987г.
5. Дороднов А.М. и др. “Графики функций”, “Высшая школа”, 1972г.
6. Глейзер Г.И. “История математики в 4-6 классах”, М: “Просвещение”,1981г.
7. Анина О.В. и др. “Развитие интереса к математике” (часть 2), “Воронеж”, 1995г. (ВОИПКРО).
8. Л. В. Ершов. Построение графиков функций.   Москва «Просвещение» 1984.
9. Факультативный курс по математике для 7-9 классов. Учебное пособие для средней школы. Москва «Просвещение». 1991.
10. Е. Ю. Лукичёва.  Математика в профильной школе. Санкт-петербургский филиал «Просвещение» 2005.

Тема урока: «Растяжение и сжатие графиков. Параллельный перенос графиков функций»

Разработка урока с использованием презентации Power Point и графической программы ADVANCED GRAPHER .

Цели урока: 

1. рассмотреть графики функций y=f(x), y=kf(x), y=f(x)+n, y=f(x-m) и y=f(x-m)+n и их свойства;
2. расширить представления о преобразованиях графиков более сложных функций;    
3. способствовать развитию навыков чтения и построения графиков функций.                      

Ход урока:

Актуализация знаний:

2 слайд. Сгруппируйте функции на две группы по какому-нибудь признаку:

y = x2+2; y= 2x2; y=1/2x2; y=x2 - 5; y=1/3x2; y=4-x2; y= (x-5)2; y=(x+2)2;        

 3 слайд. Проверьте свои группы со следующими:

Изучение нового материала:

1. Постройте с помощью программы ADVANCED GRAPHER графики функций:

y= x2; y= 2x2; y=1/2x2   и определите изменение графика  в зависимости от изменения аргумента.

Проверьте свои выводы на слайде, запишите алгоритм

 построения данных графиков:

Алгоритм построения графика функции y= 2x2:

1. построить график y=x2
2. сжать в 2 раза по оси ОХ

Алгоритм построения графика функции y=1/2x2  

1. построить график y=x2
2.    растянуть в 2 раза по оси ОХ

Алгоритм построения графика функции y= - x2:

1. построить график  y=x2;
2. выполнить зеркальное отображение относительно оси ОХ

2.  Постройте с помощью программы ADVANCED GRAPHER графики функций:

y=x2;  y= (x-5)2; y=(x+2)2определите изменение графика  в зависимости от изменения аргумента.

Проверьте свои выводы на слайде, запишите алгоритм построения

данных графиков:

Алгоритм построения графика функции  y=(x+2)2

1. построить график y=x2;
2. сдвинуть график на 2 единицы влево по оси ОХ.

Алгоритм построения графика функции y= (x-5)2:

1. построить график y=x2;
2. сдвинуть график на 5 единиц вправо по оси ОХ.

4.  Постройте с помощью программы ADVANCED GRAPHER графики функций:

y = x2;              y = x2+2;                 y=x2 - 5;                     y=4-x2;

определите изменение графика  в зависимости от изменения функции.

Проверьте свои выводы на слайде, запишите алгоритм построения данных графиков:

Алгоритм построения графика функции y = x2+2:

1.  построить график y = x2;
2.  сдвинуть график на 2 единицы вверх по оси ОY.

Алгоритм построения графика функции y=x2 – 5:

1.  построить график y = x2;
2.  сдвинуть график на 5 единиц вниз по оси ОY.

Алгоритм построения графика функции y=4-x2:

1.  построить график y = -x2;
2.  сдвинуть график на 4 единиц вверх по оси ОY.

5. Постройте с помощью программы ADVANCED GRAPHER графики функций:

       y = x2;              y = (x-3)2+2;

Проверьте свои выводы на слайде, запишите алгоритм построения данных графиков:

Алгоритм построения графика функции y = (x-3)2+2:

1.  построить график y = x2;
2. сдвинуть график на 3 единицы вправо по оси ОХ
3.  сдвинуть график на 2 единицы вверх по оси ОY. 

Итог урока:

Сделать вывод о расположении графиков на координатной плоскости в зависимости изменения значения аргумента и значения функции.

1. Сборник заданий по темам курса.

1. Постройте графики функций:

2. Постройте графики функций, проверти верность с помощью программы «Advanced Grapher»:

.

Для каждой функции укажите область определения и множество значений функции.

3. Постройте график функции   Какие значения принимает функция, если
4. Постройте графики функций:  

        ;  

5. На рисунке изображён график функции на отрезке .

       Укажите по графику наибольшее и наименьшее значения функции, нули

   функции. Задайте функцию аналитически (формулами).

6. Постройте графики функций:

Для каждой функции укажите множество значений и промежутки монотонности.

7. Постройте графики функций и проверьте   верность с помощью программы «Advanced Grapher»:

Для каждой функции найдите наименьшее значение.

8.  Постройте график функции  с помощью программы «Advanced Grapher»

Найдите количество промежутков возрастания функции.

9. Постройте график функции у=g(x), где

Сколько корней имеет уравнение g(x)=2?

Какие значения принимает функция, если -3

10.  Постройте график функции

. При каких значениях аргумента значение функции:

а) равно нулю;

б) принимает отрицательные значения;

в) принимает неотрицательные значения?

   11.  На рисунке изображён график функции у=f(x) на отрезке .

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции, нули функции.

При каких значениях х значения функции у=f(x) отрицательны?

12. Постройте график функции у=f(x), где  

При каких значениях х значения функции у=f(x) неотрицательны?

13. Постройте график функции .

Применяя геометрические преобразования плоскости постройте графики функций: .

14. Постройте график функции у=х2.

Применяя геометрические преобразования плоскости постройте графики функций: у=х2+3;  у=(х-4)2-3; y=-(x-4)2; y=2x2; y=x2-4x+7.

 15. На рисунке дан график функции у=f(x).

Применяя геометрические преобразования плоскости постройте графики функций: у=f(x)+3; у=f(x+3);  у=f(x-2)+3;  у=-f(x); у=0,5*f(x).

16. По графикам на рисунках задайте функции аналитически (формулой).

17. Постройте графики функций:

Задания б) проверьте с помощью программы «Advanced Grapher».

Найдите область определения и множество значений каждой функции.

18. Постройте график функции  с помощью программы «Advanced Grapher»

 Найдите наименьшее значение функции и промежутки убывания.

19. Постройте графики функций:

При каких значениях аргумента функция принимает: а) положительные значения, б) отрицательные значения; в) значение равное нулю?

20. Постройте график функции    .

При каких значениях  х выполняется неравенство у<2?

21. Постройте график функции    .

При каких значениях  х выполняется неравенство у>6?

22.Постройте графики функций:

При каких значениях  х функция убывает?

21. По графикам на рисунках задайте функции аналитически (формулой).

а)                                                                   б)  

в)                                                                      г)

22. На рисунке изображены графики функций:

а) у=х3+3х2-4х-12; б) у=-х3-х2+9х+9.

Найдите координаты точек пересечение  графика с осями координат.

а)                                                                       б)

23. Постройте графики функций в среде электронных таблиц  «Excel»:

a)   б)в)

г)

Найдите область определения и множество значений каждой функции, нули функции.

24.Постройте график функции у=х3.

Применяя геометрические преобразования плоскости постройте графики функций: у=х3+2; у=(х-3)3-4;  у=0,5х3; .

25. Постройте график функции .

Применяя геометрические преобразования плоскости постройте графики функций: ;.

Найдите область определения каждой функции.

26. Функция задана формулой .

Запишите уравнение каждой функции,

графики, которых изображены

на рисунке.

26. С помощью графиков функций у=f(x), y=g(x) решите уравнение f(x)= g(x) и неравенства: f(x)< g(x); f(x)> g(x). Функции заданы на всей числовой оси.

27. Решите уравнение графическим способом, выполните проверку:

а) б) в) г)

д) е) ж)

28. С помощью графиков определите, сколько решений имеет система уравнений:

а) б)в) г)

Для системы г) найдите решения, выполните проверку.

29. С помощью графиков функций у=f(x), y=g(x) решите уравнение f(x)= g(x) и неравенства: f(x)< g(x); f(x)> g(x). Функции заданы на отрезке .

а)

30. С помощью графиков функций найдите решения неравенств:

а) б)в) г)

31. Опытным путём была установлена зависимость получения меди из руды

Найдите примерное уравнение функции, с помощью которого можно рассчитать получение массы меди из данного объема  руды.

32. Опытным путём была установлена зависимость количества покупателей  от стоимости товара

Найдите примерное уравнение функции, с помощью которого можно рассчитать число покупателей в зависимости от стоимости товара.

33. При тестировании учащихся по теме «Функции и графики» была составлена таблица зависимости количества баллов от числа верных ответов

Найдите примерное уравнение функции, с помощью которого можно рассчитать оценку в зависимости от числа верных ответов.

34. Функция задана таблицей. Найдите уравнение функции и постройте её график.

у

у

у

у

у

х

х

хх

у

у

х

х

у

у

х

х

у

у

х

х

у

f(x)

у

g(x)

х

у

f(x)

g(x)

х

Тест по теме: «Геометрические преобразования графиков функций»

Определите уравнение функций, заданных графиками.

Контрольное тестирование по теме "Функции и графики"

х

у

у

g(x)

f(x)

x