Разработка элективного курса "Функции. Графики функций"
элективный курс по алгебре (9 класс) по теме

Пояснительная записка

   В настоящее время  к числу наиболее актуальных вопросов математического образования относится осуществление функциональной подготовки школьников. Элективный курс “Функции. Графики функций” рассчитан на 17 часов для учащихся 9 классов. Программа составлена в соответствии с программой по математике для общеобразовательных учреждений за курс основной школы, но имеет расширенный характер и опирается на все виды деятельности, которые используются при обучении математике в 10 – 11 классах.

    Вопросы, предлагаемые для изучения, интересны и доступны учащимся 9 класса, требуют знаний только базового курса. Уровень сложности таков, что к их рассмотрению можно привлечь значительное число школьников. Курс состоит из 8 разделов, т.е. учащиеся имеют возможность подключиться к знаниям на любом этапе. Данный курс посвящен разбору основных приемов построения графиков на примерах элементарных функций. Методическими особенностями данного курса является то, что процесс построения осуществляется постепенно, шаг за шагом, в ходе обсуждения свойств и особенностей функции.

   Целью прохождения данного курса является:

- Содействие формированию понятий: числовая функция, область определения и область значения функции, свойства функции.

- Формирование умения устанавливать связь между свойствами функций и ее графиком.

- Формирование умения построения графиков функций путем преобразований графиков элементарных функций.

- Содействие эффективной подготовки к  государственной итоговой аттестации..

   Наряду с достижением основной цели курс « Функции. Графики функций» предусматривает расширение знаний обучающихся по данной теме, формированию устойчивого интереса к предмету, развитие эстетического вкуса.

   В курсе освещаются следующие темы:

1. Функции. График функции.
2. Преобразование графиков.
3. Линейная функция.
4. Функция у =|х|.
5. Квадратичная функция.
6. Дробно – линейная функция.
7. Степенная функция.
8. Рациональные функции.

Ожидаемые результаты 

По окончании курса учащиеся должны

знать:

- методы построения графиков функций;

- алгоритмы построения графиков не только элементарных функций, но и более сложных;

      - примеры применения функций в физике.

уметь:

- Правильно употреблять функциональный терминал, понимать его в тексте, в речи учителя, в формулировке задач;

- Находить значения функции, заданной формулой, таблицей, графиком, решать обратные задачи;

- Находить по графику функции промежутки возрастания, убывания, промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значение;

- Строить графики линейной, дробнорациональной, квадратичной, а так же функции у= |f(х)|, используя основные приемы построения графиков (сдвиг, растяжение, зеркальное отображение, «сложение» графиков, «деление» графиков и т.д.).

   Материал для занятий подобран таким образом, чтобы можно было проиллюстрировать красоту построения графиков, подчеркнуть эстетические аспекты, показать связь с другими областями знаний (например, физика, химия). На занятиях используется большое количество таблиц, чертежей, эскизов различных функций, в результате чего у обучающихся должен возникнуть зрительный образ непрерывной и разрывной функции, четной и нечетной, возрастающей и убывающей функции, знакопостоянства функции,  секущей и касательной к графику функции.

  Большая часть времени отводится к практическим занятиям, на которых отрабатываются навыки построения графика функции как цепочки преобразований графика простейшей функции (сдвиг, растяжение, зеркальное отображение).

    Наряду с проведением традиционных занятий программа курса предусматривает проведение лабораторных и практических занятий, лекции, семинары, написанием рефератов. Освоение курса предполагает помимо посещения коллективных занятий (лекции, лабораторные работы, практические занятия) выполнения домашних заданий по исследованию и построению графиков функций, реферативной работы по темам: «Линейная функция», «Квадратичная функция», «Дробно – рациональная функция». Планируется организация разных форм деятельности учащихся: индивидуальной и групповой, коллективной.

Успешность усвоения курса можно будет проследить по результатам самостоятельных работ и выполнению творческих заданий.

Знания, полученные на занятиях данного элективного курса, необходимы для ребят физико-математического профиля для успешного построения графиков сложных функций, исследования функций и построения графиков.

   Прохождение курса поможет учащимся в выборе профиля обучения в 10 классе. Курс адресован преподавателям математики, его материалы могут быть использованы не только в рамках элективного курса, но и во внеклассной работе, во время проведения предметной недели, в урочной деятельности.

   Программа курса «Функции. Графики функций» общим объемом 17 часов изучается в течение полугодия.

Основное содержание курса

1. Функция.

Основная цель – обобщить все имеющиеся у учащихся знания об элементарных функциях, их графиках, способах задания, функции, области определения и области значений.

Основное содержание :

1. Определение функции, Д(f), Е(f).
2. Способы задания функций.
3. Соединение элементарных функций с помощью арифметических действий.

II. Преобразование графиков

Основная цель — расширить представление учащихся о приемах построения графиков, актуализация знаний и умений.

Основное содержание :

1. Построение графика по точкам.
2. Сдвиг графика в системе координат.
3. Построение графика методом введения вспомогательной системы координат.
4. Построение графика методом сдвига осей.
5. Сжатие и растяжение.

3.  Линейная функция. График функции у =|х|

Основная цель — расширить представление учащихся о приемах построения графиков линейной функции,  познакомить с основным приемом построения графиков, содержащих модули, актуализация знаний и умений.

Основное содержание:

1. Линейная функция. Характерные  свойства линейной функции.
2. Модуль числа. График функции у =|х|

4. Квадратичная функция

   Основная цель – расширить представление учащихся о приемах построения графика квадратичной функции, построения графиков, содержащих модуль. Привлечь внимание к эстетической стороне данного вида деятельности. Предусмотреть возможность творчества учащихся.

Основное содержание:

1. Понятие квадратичной функции. Область определения и множество ее значений.
2. Наибольшее и наименьшее значение функции. Возрастающая и убывающая, четная и нечетная функция. Функция, ограниченная снизу и сверху. Выпуклость (геометрическая интерпретация). Точки максимума и минимума.
3.  Преобразования графика квадратичной функции (параллельный перенос вдоль оси ОХ, оси ОY; растяжение и сжатие вдоль осей координат; симметричное отражение относительно осей ОХ и ОY. Построение графика функции, содержащей знак модуля.

5. График функции у=1/х. Графики функций вида у = 1/f(х)

Основная цель — показать связь между графиками многочлена у = f(х) и дробно-рациональной функции у = 1/f(х); исследовать (на наглядном уровне) поведение этой функции при стремлении знаменателя к нулю и при неограниченном (по модулю) возрастании знаменателя.

Основное содержание :

1. График функции у=1/х. Ассимтоты гиперболы.
2. График дробно – линейной функции.
3. Упражнения (вариации, дополнительные условия).
4. Выполнение заданий на готовом чертеже.

6. Степенная функция.

Основное содержание:

1. Степенная функция. Четность и нечетность степенной функции.
2. Секущая и касательная к  графику функции.

VII. Рациональные функции.

Основное содержание:

1. Рациональные функции и построение графиков:

у=  ; у=; у= .

Учебно – тематический план

Список литературы для учителя

1. Л.В.Кузнецова, С.Б.Суворова «Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе. Алгебра», Москва «Просвещение», 2009г.
2. Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк «Дополнительные главы к школьному учебнику», М: «Просвещение»,2004г.
3. В.С.Крамор «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа», Просвещение»,1990.
4.  Ершов Л.В., Райхлист Р.Б. Построение графиков функций. Книга для учителя. – М.:  Просвещение, 1984 г.
5. Математика: Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 кл. Учебник для общеобразовательных учебных заведений. /Под ред. Г.В.Дорофеева. – М.: Дрофа,2000 г.
6. 6. Ж. “Математика в школе” № 10, 2003 г.

Список литературы для учащихся

1. Л.В.Кузнецова, С.Б.Суворова «Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе. Алгебра», Москва «Просвещение», 2009г.
2. Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк «Дополнительные главы к школьному учебнику», М: «Просвещение»,2004г.

Перечень ключевых слов:

Функция

Аргумент

Значение функции

График функции

График функции

Четная функция

Нечетная функция

Область определения функции

Область значения функции

Линейная функция

Модуль числа

Сдвиг

Зеркальное отображение

Растяжение

Квадратичная функция

Парабола

Дробно – линейная функция

Гипербола

Ассимтоты гиперболы

Степенная функция

Касательная к графику функции

Секущая

Рациональная функция

Проверочная работа № 1.

В – 1.

1. Постройте график функции у = -1/2х + 3. Какое значение принимает функция, если 0≤ х ≤ 8?
2. Постройте график функции у=. При каких х выполняется неравенство 0≤ у ≤ 1,5?
3. Постройте график функции у = f (х), где

        -1/2х + 3, если х≤2,

f (х) =

        х – 4, если х>2.

          Укажите промежуток, на котором функция убывает.

4. Найдите все значения k, при которых прямая у = kх пересекает в трех различных точках ломаную, заданную условиями:

1, если |х|≤ 2,

у =      2х-3, если х >2,

                   2х+5, если х<-2.

В – 2.

1. Постройте график функции у = 1/3х - 2. Какое значение принимает функция, если 0≤ х ≤ 9?
2. Постройте график функции у=. При каких х выполняется неравенство -2≤ у ≤ 0?
3. Постройте график функции у = f (х), где

        х - 1, если х<2,

f (х) =

        -1/2х + 3, если х≥-2.

          Укажите промежуток, на котором функция убывает.

4. Найдите все значения k, при которых прямая у = kх пересекает в трех различных точках ломаную, заданную условиями:

2, если |х|≤ 2,

у =     - 2х+6, если х >2,

                   -2х-2, если х<-2.

Проверочная работа № 2 по теме «Квадратичная функция»

В – 1.

Л.В.Кузнецова, С.Б.Суворова «Алгебра. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе», Москва «Просвещение», 2009.

1. Задание № 5.8 (1), стр. 129.

2. Задание № 5.16 (1), стр. 131.

3. Задание № 5.19 (1), стр. 132.

4. Задание № 5.33 (1), стр. 136.

В – 2.

Л.В.Кузнецова, С.Б.Суворова «Алгебра. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе», Москва «Просвещение», 2009.

1. Задание № 5.8 (2), стр. 129.

2. Задание № 5.16 (2), стр. 131.

3. Задание № 5.19 (2), стр. 132.

4. Задание № 5.33 (2), стр. 136.

Проверочная работа № 3 по теме «Рациональные функции»

В – 1.

Л.В.Кузнецова, С.Б.Суворова «Алгебра. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе», Москва «Просвещение», 2009.

1. Задание № 511 (1), стр. 130.

2. Задание № 5.14 (1), стр. 130.

3. Задание № 5.24 (1), стр. 133.

4. Задание № 5.37 (1), стр. 137.

В – 2.

Л.В.Кузнецова, С.Б.Суворова «Алгебра. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе», Москва «Просвещение», 2009.

1. Задание № 511 (2), стр. 130.

2. Задание № 5.14 (2), стр. 130.

3. Задание № 5.24 (2), стр. 133.

4. Задание № 5.37 (2), стр. 137.