Задачи районного тура олимпиады по математике для 11 класса
олимпиадные задания (алгебра, 11 класс) по теме

Задачи олимпиады для 11 класса

1 задача (2 балла). Доступна большинству учащихся и соответствует программе 10 класса, аналогичная задачам из контрольной работы на пятерку.

Задача 1. Решите уравнение:

.

Решение:

Прологарифмируем это уравнение по основанию 2012:

;

;

; х;

.

Обозначим ,

;

По теореме, обратной теореме Виета,

 t =                          или         t = ,

 ;                         = ,

x = 2011.                                        .

Ответ: ; 2011.

Критерии оценивания:

2 задача (2 балла). Доступна большинству учащихся и соответствует программе 10 класса, содержит «изюминку», благодаря которой сильный ученик ее решает быстрее и рациональнее.

Задача 2. Решите неравенство: .

Решение.

1 способ. Рассмотрим функцию f (x) = . Ее область определения x  1.

На этой области функция f (x) строго возрастает как сумма двух возрастающих функций, определенных в этой области (эти функции возрастают по свойству функции ).

Значит, функция f (x) принимает наименьшее значение при наименьшем значении х из области определения, то есть в точке х = 1.        

f (1) = .

Таким образом, для всех x  1  , поэтому исходное неравенство

  выполняется лишь в случае равенства обеих частей 2, то есть при х = 1.

Ответ: 1.

2 способ. ОДЗ x  1.

По свойствам неравенств, для любого x  1

x  0;        x  4;

;        ,                         (1)

значит, .                        (2)

Так как для любого x  1 имеет место (1) , то равенство (2) возможно лишь в случае

 то есть при x = 1.

Ответ: 1.

Критерии оценивания:

3 задача (3 балла). Содержит геометрический материал, доступна большинству учащихся.

Задача 3. Ребра AD и BC пирамиды DABC равны 24 и 10 см. Расстояние между серединами ребер BD и AC равно 13 см. Найдите угол между AD и BC.

Решение.

Обозначим M – середина BD, N – середина АС.

По условию MN = 13 см.

1) Проведем NK параллельно BC, NK является средней

линией треугольника АВС, поэтому

NK =  BC; NK = 5 см.

2) К – середина АВ, МК – средняя линия  

треугольника ABD, значит,

МК =  AD; МК = 12 см.

3) Так как прямая NK параллельна прямой BC,

прямая  KM параллельна прямой AD, то угол MKN равен углу

между прямыми AD и BC.

4) В треугольнике KMN имеем: NK = 5 см, МК = 12 см, MN = 13 см.

MN2 = MK2 + NK2 (действительно, 169 = 144 + 25), по теореме, обратной теореме Пифагора, угол MKN прямой.

Ответ: 900.

Критерии оценивания:

4 задача (4 балла). Соответствует по уровню задаче, предлагаемой на городском туре, тема произвольная.

Задача 4. Найдите все натуральные значения n, при которых  является простым числом.

Решение.

Очевидно, n – нечетное число (если бы оно было четно, то сумма  была бы четна), то есть n = 2k + 1. Тогда   =  =  =

Воспользуемся тождеством:

 =  = .

Тогда

 = .

Но по условию   число простое, следовательно, меньший множитель равен 1:

 = 1;

;

что возможно лишь в случае, когда  и , то есть при k = 0.

Отсюда n = 1.

Ответ: 1.

Критерии оценивания:

5 задача (5 баллов). Соответствует по уровню задаче, предлагаемой на городском туре, тема произвольная.

Задача 5. Найдите все значения параметра а, при которых длина интервала, являющегося решением неравенства , равна 2 + .

Решение.

Пусть a – x = t, тогда x = a – t. Подставив x = a – t в данное неравенство, приходим к равносильной задаче: найти все значения параметра а, при которых длина интервала, являющегося решением неравенства , равна 2 + .

Построим эскизы графиков функций y =   и y = t.

Графиком функции y =   является полуокружность радиуса | a | с центром в начале координат, расположенная в I и II координатных четвертях.

В прямоугольном треугольнике ОМР  ОМ = |a|,

ОР =МР, значит, ОР =МР = .

Итак, решением данного неравенства является отрезок , длина которого по условию должна равняться 2 + .

Имеем:

;

;

;  откуда a =  2 или a = 2.

Ответ:  2; 2.

Критерии оценивания: