Открытый урок в 10 классе по теме: «Решение тригонометрических уравнений»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме

Открытый урок в 10 классе по теме: «Решение тригонометрических уравнений»

Тема: «Решение тригонометрических уравнений»

Цели урока:

1. Образовательные - обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы; создать условия контроля (самоконтроля) усвоения знаний и умений; восполнить знание учащихся, которые пропустили материал.
2. Развивающие – способствовать формированию умений, применять приемы  сравнения, обобщения, выделения главного, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
3. Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике, активности, умения общаться, общей культуре, формировать общетрудовые умения.

Ход урока:

1. Организационный момент

Сегодня у нас заключительный урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения   тригонометрических уравнений. Перед вами стоит задача - показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.

1. Проверка домашней работы

Необходимо сдать домашние зачетные работы по группам вместе с аннотацией.

Домашняя работа состояла в то, что все учащиеся класса были разбиты по группам (4 уровня сложности: минимальный уровень, легкий уровень, средний уровень и усложненный уровень). Задания учащиеся получили за 7 дней до урока и оцениваются самими учащимися по системе:

«5»- задание выполнено верно и самостоятельно

«4»- задание выполнено верно и полностью, но часть задания выполнена с помощью одноклассников

«3»-интересовался решением и все решил с помощью одноклассников.

Каждый ученик сам оценивает свои знания и знания оценивает группа. Оценку выставляет старший по группе.

Задания минимального  уровня.

Решите уравнения:

1. sin (x+ π/4)=1
2. cos 2x/2- sin2 x/2=-1/2
3. cos 2x+3 sin x cos x=0
4. (tg x  -2) (tg x  +2)=1
5. Сколько корней имеет уравнение 2sin x/2 cos x/2=√2/2 на отрезке [0; 2π]
6. Покажите, что уравнение cos 3x+4 sin 5x=6 не имеет корней
7. Найдите абсциссы общих точек графиков функций у= 1-sin 2x и у= sin 2x

Задания легкого уровня.

Решите уравнения:

1. cos (x/2-π/3)=1/2
2. 2sin2 x-5sin x+2=0
3. (2 tg x/2) / (1- tg 2x/2)=2 cos π/6
4. cos 4x/4- sin4 x/4=-1
5. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций у= sin x и   у= cos x
6. Сколько корней имеет уравнение sin x+ sin 3x=0 на отрезке [0; π]
7. Покажите, что уравнение sin x/ sin 5x=0 не имеет корней

Задания среднего уровня.

Решите уравнения:

1. √3cos (x-π/3)=3/2
2. cos (x+π/4)= cos (2x-π/3)
3. 2sin2 x+ 3cos x=3
4. 2sin x+ 3cos x=3
5. Сколько корней имеет уравнение 2cos x*cos 2x=cos 3x на отрезке [-π/2; 5π/2]
6. Найдите ординаты общих точек графиков функций у= 2tg x  и   у= 1+сtg x  
7. Покажите, что уравнение 3cos 3x+5 cos 3x=9 не имеет корней

Задания усложненного уровня.

1. Решите уравнение sin x+ cos x=1 шестью-семью способами
2. Найдите наименьший по абсолютной величине корень уравнения                                         4cos 2x+3 sin x cos x-2sin2 x =2
3. Сколько корней имеет уравнение sin x/8 * cos x/8* cos x/4 *cos x/2=1/16                            на отрезке [π/6; 13π/6]
4. Найдите ординаты общих точек графиков функций у= sin 3x и  у= 5sin x
5. Покажите, что уравнение cos 2x- tg2 x/3= π/3 не имеет корней

1. Повторение изученного материала устно

А) Ответьте на вопросы:

1) каково будет решение уравнения cos x=a при |a | > 1 ?  [Нет решения]

2) при каком значении а уравнения sin x =a ,  cos x=a  имеют решения?  [Если |a | ≤ 1]

3) какой формулой выражаются решения уравнений sin x =a ,

                                                                                           cos x=a ? при условии      |a | ≤ 1  

4) назовите частные случаи решения уравнений sin x =a ,

                                                                                   cos x=a  , если      a  = -1; 0; 1

5) чему равен  arсcos(-a) ?       [π- arсcos a]

6) в каком промежутке находится  arctg a  ?  [-π/2; π/2]

7) какой формулой выражается решение уравнения tg x= a?

8) в каком промежутке находится arcсtg a ?    (0;π)

9) какой формулой выражается решение уравнений ctg x =a ? (x= arcctg a +πn, n  Z)

10) чему равен arcctg(- a) ? ( π- arcctg a)

Б) В каждом из приведенных примеров сделаны ошибки. Назовите верный ответ и подумайте о причине ошибки.

1. Самостоятельная работа программированного контроля через копировку (с самопроверкой)

Среди приведенных чисел укажите те,  которые являются корнями данных уравнений.

Работа проводится в 2 вариантах.

Ребята сами проверяют свои ответы при помощи переносной доски по готовым решениям. Один экземпляр сдают учителю.

Оценки выставляют сами себе в лист учета знаний.

Критерии оценок:

«5» - выполнил все задания

«4» - 7-6 верных ответов (5 верных ответов)

«3» - 4-5 верных ответов (4-3 верных ответа)

«2» - 1-3 верных ответа  (1-2 верных ответа)

Учитель опрашивает учеников, кто как выполнил работу.

1. Систематизация теоретического материала. Классификация тригонометрических уравнений.

На доске написаны уравнения разных типов. Учащиеся должны определить тип и методы решения уравнений.

1. Решить уравнение 2 sin x+ cos x=2, используя нужные методы

sin x=2 sin x/2 cos x/2

cos x= cos2 x/2- sin2 x/2

2=2*1=2 *(sin2 x/2+ cos 2x/2)

4 sin x/2 cos x/2+ cos 2x/2- sin2 x/2=2 sin2 x/2+2 cos 2x/2

4 sin x/2 cos x/2+ cos 2x/2- sin2 x/2-2 sin2 x/2-2 cos 2x/2=0

4 sin x/2 cos x/2- cos 2x/2-3 sin2 x/2=0

  Если cos x/2=0 , то должно выполняться равенство sin2 x/2=0, а синус и косинус одновременно быть равными нулю не могут. Поэтому можно обе части уравнения разделить на cos 2x/2  и получить уравнение, равносильное данному

3tg 2x/2-4 tg x/2+1=0

Пусть tg x/2=у, получим квадратное уравнение

3у2-4у+1=0

Д=16-12=4, Д>0, уравнение имеет два различных корня

у1=1; у2=1/3

Итак, tg x/2=1                            или       tg x/2=1/3

           x/2= arctg1 +πn, n Z                  x/2= arctg1/3 +πк, к Z  

            x/2= π/4 +πn, n Z                       x= 2arctg1/3 +2πк, к Z  

           x= π/2 +2πn, n Z                      

 Ответ:  x= π/2 +2πn, n Z , x= 2arctg1/3 +2πк, к Z  

Вопрос: Какие методы были использованы при решении уравнения (тригонометрические тождества, однородное уравнение,  введение новой переменной)  

1. Дифференцированная самостоятельная работа через копирку (взаимопроверка)    

Критерии оценок:

«5» - решено все верно и полностью

«4» - допущены небольшие ошибки

«3» - решено одно уравнение

1. Домашняя работа

Решить уравнения, выбирая наиболее рациональный способ решения.

1. √3 cos 2 x+ sin 2x=2
2. cos x/2- sin x/2=√6/2
3. 2 cos x+5 sin x+2=0
4. 2 cos x+3 sin x=3

1. Итог работы

1. Итак, сегодня у нас был обобщающий урок по теме: «Тригонометрические уравнения»

Вопросы:

- Что такое тригонометрические уравнения? (Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, содержащие переменную под знаком тригонометрических функций)

- какие типы и методы  решения тригонометрических уравнений вы знаете?

2. Что понравилось и что не понравилось на уроке?

3. Дается оценка работы класса.