Деление многочлена на двучлен
презентация к уроку по алгебре (11 класс) по теме

Тема: « Деление многочлена на двучлен»

Цель: выучить теорему Безу, схему Горнера, уметь применять их при нахождении неполного частного, остатка;

продолжать помогать учащимся развивать логическое мышление,

 овладевать языком математики в письменной и устной форме,  математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественнонаучных дисциплин, продолжения образования в ВУЗе,

формировать представления об идеях и методах математики.

Оформление доски: тема, условия двух заданий для индивидуальной работы, домашнее задание.

Оборудование: компьютер, проектор, экран.

Ход урока:

1. Проверяем домашнее задание.

Индивидуальную работу получают двое учащихся:

1. При каких значениях а многочлен 3х4 – 2х3 + 14х2 + ах + 6 делится на многочлен х + 1 без остатка?
2. Найдите все значения а, при которых выражение

Является многочленом второй степени относительно х.

Решение

1. 3х4 – 2х3 + 14х2 + ах + 6      х + 1

    3х4 + 3х3                                3х4 – 5х2 + 19х + 6

            -5х3 + 14х2 + ах + 6

             5х3 – 5х2                      

                         (а – 19)х + 6

                                    6х + 6

                          (а – 25)х + 0

                               а – 25 = 0

                                      а = 25.

2. Будем искать многочлен второй степени в виде х2 + bх + с. Тогда должно выполняться тождество (х2 + bх + с)2 =  х4 + ах3 + 15х2 – 18х + 9. Отсюда,

х4 + b2х2 + c2 + 2bх3 + 2cx2 +2bcx = х4 + ах3 + 15х2 – 18х + 9.

И, х4 +2bх3 + (b2 + 2с)х2 + +2bcx+ c2 = х4 + ах3 + 15х2 – 18х + 9.

Равенство будет тождеством, если

2b = a,

b2 + 2с = 15,

2bc = -18,

c2 = 9.

Решая систему уравнений, получим  а = -6.

Третий ученик записывает решение домашней задачи

«При каких значениях а один из корней многочлена А(х) равен , если А(х) = 6х3 + 2(а – 9)х2 – 3(2а – 1)х + а»?

Решение.

А() = 6 · ()3 + 2(а – 9) · ()2 – 3(2а – 1)· () + а =  + а – 2 – 2а + 1 + а = -а -

Так как х =  - корень многочлена, то А() = 0 и -а - = 0,  -а = ,

а = -1.

 Ответ: а = -1.

Классу предлагается ответить на вопросы:

1. Всегда ли можно выполнить деление многочлена на многочлен?

2. Сформулируйте теорему о делении с остатком многочлена А(х) на многочлен В(х).

3. Как называются многочлены А(х), В(х), Q(x), R(x)?

4. Какие ограничения накладываются на многочлен В(х)?

5. Что вы можете сказать о степени многочлена R(х)?

6. Какие вы знаете способы деления многочлена на многочлен?

7. Какое число называют корнем многочлена А(х)?

8. Сформулируйте теорему, позволяющую находить рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами.

Устно:

• Является ли число 4 корнем многочлена х3 - 6х2 + 6х + 8? Какова степень многочлена?
• Найдите корни многочлена  2х2 - 7х + 5.

Проверяется  индивидуальная работа  учащихся. Первому и второму  ученикам задается дополнительный вопрос: какой метод деления многочлена на многочлен использовался и в чем его суть?

Изучение нового материала.

Вступление. 

Мы знаем, что чтобы найти неполное частное, остаток от деления многочлена А(х) на В(х), надо воспользоваться либо делением уголком, либо методом неопределенных коэффициентов. Но есть два замечательных утверждения, что помогают значительно упростить процесс нахождения Q(x), R(x) при делении многочлена на двучлен. Именно изучением этих фактов мы и займемся сегодня на уроке.

Итак, тема урока: «Деление многочлена на двучлен х - ». 

Цель: изучить теорему Безу, схему Горнера, позволяющих находить остаток от деления многочлена на двучлен, неполное частное, уметь применять эти факты при решении.

Изучение теоремы Безу идет в форме беседы, с привлечением  к обсуждению учащихся.

Детям задаются наводящие вопросы, ответы на которые помогают самостоятельно сформулировать теорему Безу:

• Проанализируйте условие теоремы.

(Имеем деление многочлена А(х) на двучлен х - . Неизвестно выполняется ли деление нацело или с остатком).

• Чем можно воспользоваться в данной ситуации?

 (Теоремой о делении многочлена на многочлен с остатком)

• Какова степень делителя,  остатка?

(Степень делителя равна 1, следовательно, степень остатка равна 0, т.е. остаток число).

• Какие значения может принимать переменная х?

(Х принимает любые значения во множестве действительных чисел)

• Какое значение надо положить для х, чтобы можно было найти остаток r?

 ( х = r, тогда (х - )Q(x) = 0, а A() = r).

• Сделайте вывод.

(Остаток от деления многочлена А(х) на двучлен х -  равен A(), т.е. равен значению многочлена при х = ).

Доказательство теоремы и ее формулировка проецируются на экран, чтобы учащиеся могли еще раз закрепить доказанное утверждение.

Рассказ учителя: это утверждение называют теоремой Безу, в честь французского математика Этьенна Безу, жившего в 18 веке, члена Парижской академии наук. Основные его труды по высшей алгебре. Далеко за пределами Франции были известны его шесть томов курса математики.

Рассмотрим примеры применения теоремы Безу.

Устно:

• Найдите остаток от деления многочлена А(х) = х4 – 6х3 + 8 на х +2.

 Решение:  r = A(-2) = 16 + 48 + 8 = 72.

• Доказать, что многочлен  А(х) = х4 – 6х3 + 7х + 18 делится без остатка на х – 2.

 Решение: r = A(2) = 16 – 48 + 14 + 18 = 0.

Задание №3 «Многочлен А(х) при делении на х – 1 дает остаток 3, а при делении на х – 2 дает остаток 5. Найдите остаток от деления А(х) на

х2 – 3х + 2» учащийся решает у доски.

Решение.

 По теореме о делении многочлена на многочлен с остатком, имеем,

А(х) = (х2 – 3х + 2) Q(x) + (ax + b).

А(1) = 3, следовательно, 3 = (12 – 3 ∙ 1 + 2) Q(1) + (a ٠ 1 + b), т.е. a + b = 3.

А(2) = 5, следовательно, 3 = (22 – 3 ∙ 2 + 2) Q(2) + (a ٠ 2 + b), т.е. 2a + b = 5.

а + b = 3

2a + b = 5.

Решая систему, получим a = 2, b = 1.

Ответ:  R(x) = 2x + 1.

Объяснение учителя.

Для вывода второго факта, помогающего найти коэффициенты неполного частного и остаток от деления А(х) на х -  воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. (Рассказ сопровождается записями, которые  проецируются на экран).

A(x)= a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an 

A(x) = Q(x)(x – α) + bn ,где bn – остаток, а неполное частное

Q(x)=b0xn-1 + b1xn-2 + … + bn-1.

    A0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an = (b0xn-1 + b1xn-2 +…+ bn-1)·(x – α) + bn =

b0xn + b1xn-1 +…+ bn-1 x – α b0xn-1 – α b1xn-2 - … - α bn-1 +  bn =

b0xn + (b1 – α b0)xn-1 + (b2 – α b1)xn-2 + … + (bn – α bn-1).  

    Сравним коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа.

     Получим, a0 = b0 и  ak = bk – α bk-1 .

     Отсюда,    bk = ak + α bk-1,        (1 ≤  к   ≤ n) .

Полученные результаты удобно оформить в виде схемы:

Эта схема названа в честь английского ученого математика Вильямса Джорджа Горнера (18 век). Внес существенный вклад в развитие  высшей алгебры. Нашел способ приближенного вычисления вещественных корней многочлена (способ Руффини-Горнера).

Учащиеся сами пытаются сформулировать

Правило отыскания коэффициентов неполного частного  и остатка.

• Старший коэффициент частного равен старшему коэффициенту делимого.
• Чтобы найти остальные коэффициенты надо к стоящему  над ячейкой числу первой строки прибавить произведение α и предыдущего элемента второй строки.
• В последней ячейке 2 строки под свободным членом делимого получается остаток от деления.

Примеры применения схемы Горнера для нахождения Q(x), R(x).

Задание 1. Найдите неполное частное, остаток от деления многочлена

                                                          А(х) = х3 – 2х2  + 2х – 1 на двучлен х - 1.

Это задание решает учитель, привлекая к обсуждению решения ребят.

Решение.

Ответ:    Q(x) = х2 – х + 1 ,   R(x) = 0.

Задание 2 «Вычислите значение многочлена А(х) при х = -1, если

А(х) = х3  - 2х – 1» у доски решает учащийся.

Решение.

Ответ:    А(-1) = 0.

Задание 3 «Вычислите значение многочлена А(х) при х = 3, неполное частное и  остаток, где А(х) = 4х5 – 7х4 + 5х3 – 2х + 1» ребята решают самостоятельно, один из учащихся проверяет решение у доски.

Решение.

Ответ: R(x) = A(3) = 535,  Q(x) = 4х4 + 5х3 + 20х2 + 60х +178.

Итог урока:

1. Сформулируйте теорему, что мы изучили сегодня на уроке.
2. Где можно применять эту теорему? В честь кого ее так назвали?
3. Сформулируйте правило отыскания коэффициентов неполного частного  и остатка по схеме Горнера.
4. Оценки за урок.