контрольные и внеклассные работы
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре по теме

        Раздается для проверки правильности выполнения вариант построения графиков функции тем и другим способом.

1) у = х2                              у = (х – 3)2                                у = (х – 3)2  - 4

2) у = - 2 х 2                   у = - 2 х 2  + 5                         у = -2 (х – 1)2 + 5

3) у = - 1/х                        у = - 1/ (х + 2)                        у = - 1/ (х + 2) – 2

5. Рефлексия учебной деятельности учащихся – поднимают сигнальные карточки по цветам:

Зеленая        - тема интересная , и все у меня получилось,

Синяя        - тема интересная, трудно, но справлюсь,

Красная        - тема интересная, мне не интересно, но постараюсь!

На следующем уроке идет закрепление материала, повторяется правило выделения полного квадрата двучлена, продолжается серия заданий и упражнений на развитие у учащихся умений строить графики различных функций и решать уравнения графическим способом. При этом применяются задачи по готовым чертежам типа: графики каких функций изображены на чертеже:

а)                                        б)                                в)

Рассматриваются упражнения ( опора  к восприятию материала следующего урока).

1. заменить звездочки цифрами, чтобы равенства стали верными:

а) а2 – 2а· * + в2 = ( а - *)2

б) 4u2  - 8 u v + * = (2u - *)2

в) х2 + 6х + * = (х + *)2

г) 9 – 2у* + * = (3 – х)2

2) выделить полный квадрат из трехчлена:

        а) х2 – 8х + 14 = (х2  - 2 · 4 ·х + 16) – 2 = (х – 4)2 – 2

          б) х2 + 6х + 10 = (х + 3)2 +1.

Рассматривается вопрос о построении графика функции у = х2 – 6х + 8.

1 ученик  вспоминает преобразования по выделению полного квадрата из

                 трехчлена: у =  х2 – 6х + 8 = х2 – 2 · 3х + 9 + 8 – 9 = (х -3)2 – 1.

2 ученик  строит график функции  у = (х -3)2 – 1. (может использовать любой алгоритм: сдвиг или вспомогательную систему координат).

Делается вывод:  Для построения графика функции у = ах2 + вх + с нужно сначала выделить полный квадрат , а затем построить график.

Решается коллективно пример из задачника, разноуровневые упражнения, проводится самостоятельная работа с последующей проверкой на листах ответов.

Вариант 1                                                Вариант 2

1) у = 2х2 – 1                                        1) у = 1/х + 2

2) у = - 1/ (х-1)                                        2) у = 0,5 (х + 2)2

3) у = 1/ (х+3)   - 4                                3) у = - (х-3)2 + 6

4) у = х2 – 2х – 1                                        4) у = х2 + 2х + 2

Лист ответа (вариант 1)

Лист ответа (вариант 2)

Рефлексия учебной деятельности проверяется с помощью сигнальных карточек после сверки с листом ответов.

Зеленая        - тема интересная , и все у меня получилось,

Синяя        - тема интересная, трудно, но справлюсь,

Красная        - тема интересная, мне не интересно, но постараюсь!

Тема «Квадратичная функция» рассматривается  еще на трех занятиях, затем  проводится контрольная работа. Интересным при этом является уравнение  с параметром – интрига для учеников, хорошо усвоивших тему. Результат самого задания не будет влиять  на оценку за работу, в случае успешного выполнения – задание оценивается отдельно, дополнительно.

1. При каком значении  Р уравнение х2 – 4х + 5 = Р имеет один корень?

Интрига в том, что учащиеся не могут решить данное уравнение через дискриминант, еще не изучали. Решают графически. На одном графике строят и у = х2 – 4х + 5, и у = Р.

у = х2 – 4х + 5 = х2 – 4х + 4 + 1 = (х – 2)2 + 1

        уравнение имеет один корень, если прямая

        у = Р будет касаться графика функции

        у = (х – 2)2 + 1, т.е. при Р = 1.

Ответ: Р = 1.

1. При каком значении Р уравнение х2 + 4х – 1 = Р не будет иметь корней?

Строим на одном графике  графики функций у = х2 + 4х – 1 и у = Р.

у = х2 + 4х + 4 – 5

у = (х + 2)2 – 5

Уравнение не будет иметь корней, если графики не будут иметь общих точек. Это возможно, если Р < 5.

Контрольная работа

Цели: проверить знания учеников по теме «Квадратичная функция. Функция

          вида у = к/х».

ХОД УРОКА.

1. Организационный момент.
2. контрольная работа.

Вариант 1.

1. Построить график функции у = 2/х  + 1 и описать её свойства.

2. Решить систему уравнений графическим способом

                               У = 0,5 (х-1)2 + 1

                        У = - 3/ х.

3. Дана функция у = f (х), где

                   х2 – 4х + 3 , 0 ≤ х ≤ 3

f (х) =      

                - 2х + 6      , 3 < х ≤ 5.

    Вычислите f (2), f (4). Постройте график данной функции.

4. Решить графически уравнение – х2 – 2х + 3 = 0.

5*. При каком значении Р уравнение  х2 – 4х + 5 = Р имеет один корень.

Вариант 1.

1. Построить график функции у = ½ · (х – 1)2  и описать её свойства.

2. Решить систему уравнений графическим способом

                               У = -2 (х+1)2 + 1

                        У = -2/ х.

3. Дана функция у = f (х), где

                   - х2 – 2х - 3,  -3 ≤ х ≤ 0

f (х) =      

                 3х - 3        , 0 < х ≤ 2.

    Вычислите f (-1), f (2). Постройте график данной функции.

4. Решить графически уравнение  х2 + 4х + 3 = 0.

5*. При каком значении Р уравнение  х2 + 4х - 1 = Р имеет один корень.

        Уроки геометрии 8-А и 9-В классах  ориентированы на организацию работы по технологии дифференцированного обучения, позволяющей проводить уроки в классах разного уровня подготовки. Практически в каждом сценарии урока  присутствуют задачи  на готовых чертежах, что помогает учителю наиболее рационально использовать время на уроке, активизировать работу всех учеников. Эти задачи, как правило, решаются устно, но по мере необходимости могу рекомендовать  записать краткое решение задачи в тетрадь.

        Используется самостоятельная и контрольные работы в трех уровнях сложности ( третий уровень сложности получают пока 2-3 ученика из класса). Применяю также тестовые задания, дополнительные задания, развивающие логическое мышление учащихся. Все это различного уровня сложности. Практикую дачу заданий на перспективу (защита через неделю) , задания по уровням сложности или в группах, где есть хотя бы один сильный ученик. Работы сдаются на проверку, докладчик делает сообщение, класс слушает сообщенное решение, соглашается, вносит коррективы, задает вопросы.  За оппонирование также получают оценки.

        На уроках используются опорные таблицы, являющиеся небольшим справочным материалом, позволяющий систематизировать  базовый уровень теоретических знаний у учащихся.

        Аналогичные таблицы  использую в качестве  раздаточного материала на обобщающих уроках, на уроках подготовки к контрольной работе, при проведении работы над ошибками.

        Решение поставленной проблемы «Активизация  познавательной деятельности учащихся на уроках математики и во внеурочное время , на мой взгляд, невозможно , без применения учебно – исследовательской  деятельности  учащихся.

        В процессе обучения математике на уроке и во внеурочной работе использую монопредметное исследование, а знания, полученные учениками на уроках математики  уже используются  в других видах исследований (межпредметные, подпредметные). Причем, исследовательскую деятельность организую на уроках, на кружках по выбору (элективные курсы), во внеурочной деятельности (факультативные занятия, в работе с одаренными детьми).

        Формы и задания,  которые применяю при исследовательском методе обучения, применяю различные: это  задания, поддающиеся быстрому решению  в классе одного или группы учащихся; или  домашние задания на определенный срок.

        По-возможности применяю проведение нетрадиционных уроков, предполагающих выполнение учениками учебного исследования:

Это: урок – лабораторная («Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями и дробей  с одинаковыми числителями»); урок – творческий отчет ( группы рассказывают  о возможных вариантах решения тех или иных задач); урок – рассказ об ученых( в основном практикую  последний урок четверти или,  если деятельность учеников касается  непосредственно рассматриваемой  на уроке темы,  привлекаются учащиеся; урок – защита исследовательских проектов (тема: «Решение неравенств», группа учащихся  при повторении материала в Х1 классе;  «Функции, содержащие неизвестные под знаком модуля» - 1Х класс, факультативное занятий).

        При решении поисковых, геометрических , текстовых задач, тригонометрических, задач с параметрами и других ставится вопрос о другом способе решения, если это возможно. Любое решение (пусть даже иногда несуразное) принимается к обсуждению. Учащиеся, если выбирают рациональный способ решения, делают вывод. Результаты усвоения материала просматриваю через различного рода  самостоятельных работ (обучающегося,  проверочного или  контролирующего характера, в форме тестирования или по вариантам, в группах, парах или  индивидуального задания, в зависимости  от целей и задач поставленной работы).

        Обязательное условие: варианты решения просматриваются сразу же  на уроке или  внеурочном занятии после проведения творческой работы. Это  на доске со всем классом или по карточкам контроля ( с  вариантом «возможного» решения – раздается каждому ученику или группе учеников).

Будущий математик, как и всякий человек,

 учится при помощи практики и подражания…

Ему следует решать задачи, выбирая те,

 которые соответствуют по интересам,

размышлять над их решениями

и изобретать новые задачи.

Д. Пойа.

Внеклассная работа

        Активизация познавательной деятельности во внеклассной работе по математике призвана не только возбуждать и поддерживать у учеников интерес к предмету, но и заниматься ею дополнительно.

        Конкурсы – одна из форм внеурочной работы, обладающие большим эмоциональным воздействием на учащихся: «Математика вокруг нас», математические викторины : «Что? Где? Почему?», математическая неделя «Знай и умей», математический КВН, математическая эстафета, математический бой, математическая олимпиада, занятия семинары «Преобразование фигур на координатной плоскости», «Площадь треугольника»; занятия – практикумы «Преобразования графиков функций и уравнений». Это лишь неполный перечень работ, применяемых мною во внеклассной деятельности.

        По словам московского педагога, видного деятеля «кружка московских исследователей» Н.Н.Аменицкого «человек разумный» есть  в первую очередь «человек играющий», поэтому обучать даже очень серьёзным вещам следует по возможности играя». Мысль об этом приходила в голову выдающимся педагогам на протяжении всей истории человечества. Но, разумеется, свое открытие относительно «человека играющего»  каждый педагог реализует в меру  способностей, знаний и традиций.

        На сегодняшний день существуют различные формы проведения внеклассной работы с учащимися. Вот те из них, которые я  использую или пользуюсь в  настоящее время для приобщения учащихся к миру математики. Для активизации познавательной деятельности в математические кружки, школьный математический вечер, математическая игра, математические рефераты, математические конференции, математическая олимпиада и математический бой, участие в различных региональных и других уровней математических фестивалях и соревнованиях.

        Конечно же, формы проведения внеклассных мероприятий и приемы, используемые на этих занятиях, должны существенно отличаться от форм проведения уроков и других обязательных мероприятий.

        Прежде всего, это принцип добровольности, проводиться внеклассная работа должна до или после уроков. Формы проведения самих внеклассных занятий должны быть разнообразными, чтобы поддерживать интерес  учеников, постоянно их удивлять, стимулировать на активную деятельность.

        Внеклассная работа должна привлекать   и проводиться не только для интересующихся математикой или тем более одаренных школьников, но и для  школьников, не проявляющих особого интереса к предмету. Возможно, они станут больше внимания уделять математике.

        И, конечно же, формы внеклассных занятий должны выбираться с учетом возрастных особенностей детей.

        Существует, как я уже отмечала,  несколько видов внеурочных работ по математике: работа с отстающими по математике; работа с учениками, интересующимися математикой; с одаренными детьми; работа по развитию познавательного интереса к математике.

        Среди всех форм внеклассной  работы по математике можно выделить математическую игру, как наиболее яркую и любимую  для большинства школьников. Тем более, что математическая игра как форма внеклассной работы играет огромную роль в развитии познавательной деятельности к математике.

        Активность и интерес к деятельности зависит от характера деятельности и её организации. Поэтому на внеурочных занятиях я ставлю вопросы и проблемы, требующие самостоятельного решения , в процессе которых рождаются положительные эмоции (радость успеха, удивление, вера в свои силы, чувство взаимоуважения, поддержки и др.)

        При подготовке внеклассного занятия я ставлю следующие цели:

- развитие мышления,

- организация  ученического свободного времени;

- общение со сверстниками;

- воспитание сотрудничества и коллективизма.

1. Настольные игры (математическое лото).

Каждый из учеников берет карту, на которой написаны ответы.

Ведущий игры берет пачку карточек, на которых написаны задания, и вытаскивает одну из них. Читает задание, показывает всем участникам игры.

Участники решают задания  устно или письменно, получают ответ, находят его в своей карточке игральной. Закрывают этот ответ фишкой (можно обычной мелкой монетой). Выигрывает тот, кто первый закроет карточку.

Проверка правильности закрытия обязательна. Она является не только контролирующим моментом,, но и обучающим (перед началом игры - опоры:  правила, формулы, знания, необходимые для проведения игры)

2. Игры со спичками.

Эти игры проводятся в различной форме, но суть их одна: учащиеся получают задания, в которых нужно построить фигуру из спичек путем перемещения одной или нескольких спичек получить другую фигуру.

Задача 1. а) из 16 спичек составить 4 квадрата. Как из тех же 16 спичек составить 5 таких же квадратов.

б)  Переложить три спички так, чтобы получить три квадрата.

в) очень нравятся детям игры – головоломки.

        В них нужно расположить особым образом определенные фигуры или числа в таблице. Или: из различной формы кусочков бумаги собрать фигуру, да еще  попытаться найти другие варианты сбора.

г) настольные игры – поединки   между двумя участниками. «Крестики – нолики» в различных вариациях, игры на шахматной доске, игры с  использованием спичек и многое другое. В этих играх необходимо выбрать нужную выигрышную стратегию. ( часто применяем в летней математической школе, в конкурсах капитанов или на переменах и разминках во внеурочное время).

Примером может быть такая игра. На стол кладутся спички в ряд. Играют  двое игроков. Они по очереди берут одну, две или три спички. Выигрывает тот, кто берет последнюю спичку.

3. Математические мини – игры,  более подвижные, чем настольные игры, и потому могут быть включены в «большие» математические игры, как часть внеклассного задания.

Это, например, « математическая рыбалка» (игра на скорость выполнения задания). Сначала ученик производит  какое – либо игровое действие (вылавливает рыбку из пруда, кидает дротики в мишень,  бросает игровые кости и т.п.). Ученику выдается задача, которую он должен решить. Решив эту задачу, ученик получает свои баллы и право  получить новую задачу. Пока он решает, игрок следующий совершает действия, получает задачу, решает … Кто больше набрал очков, тот выигрывает.

В «математическом казино» ученик после решения задачи бросает кости, тем самым набирает очки, определяет свои выигрышные баллы.

Игра по теме  «Системы уравнений. Графический метод решения»

Позднее эта тема  должна была изучаться на уроках алгебры. Следует заметить, что графический способ решения системы уравнений учащимся был уже известен. Поэтому рассматриваемый материал на внеклассном занятии не являлся для учащихся новым.

        На внеклассном занятии для учащихся проводилась математическая игра «Лабиринт». Суть её заключается в том, что учащимся раздаются карточки, на которых изображена схема лабиринта и задания, которые надо решить, чтобы пройти лабиринт. Учащиеся должны , решая системы уравнений и получая на них ответы, двигаться в соответствующем направлении по лабиринту (соответствующем номеру ответа). Путь должен отмечаться на схеме лабиринта. В конце игры проверяется маршрут, по которому ученик двигался в лабиринте, и ответ, полученный при выходе из лабиринта.

        После проведения игры и подведения итогов был проведен опрос, в котором спрашивалось о том, понравилась ли игра ученикам и почему. Большинство ребят ответили, что игра им понравилась. В основном школьники отметили то, что проведенная игра была полезна для них: они повторили графический способ решения систем уравнений, а это им пригодится на уроках.  Также дети отметили, что такая форма занятий необычна и увлекательна. Все стремились выиграть, это заставило их думать. Большинство учеников испытывали радость и удовлетворение от того, что смогли правильно решить задания и правильно пройти лабиринт. Те дети, которые не успели пройти лабиринт или прошли его неправильно, пожелали взять с собой карточки домой и попытаться еще раз пройти его, найти допущенные ошибки.

«Системы уравнений. Графический метод решений» !Х класс

Схема лабиринта :        

К результатам проведения этой игры можно отнести то, что дети стали с большей охотой посещать внеклассные мероприятия по математике. На игре, в виде зрителей, присутствовали дети из других классов. Им так понравилась игра, что они попросили и у них в классе провести такую  игру.

        Итак, как показывает мой личный опыт, математическая игра в значительной степени способствует развитию у школьников познавательного интереса к математике.

        ВЫВОД: Как практика учителей со стажем, так и мой личный опыт, подтверждают выдвинутую гипотезу: использование математической  игры во внеклассной работе по математике способствует развитию познавательного интереса у учащихся к математике. На это указывают и мнения самих учащихся, и повышение успеваемости, активности на уроках математики после проведения математических игр.