Конспект урока по алгебре и началам анализа по теме "Решение уравнений высших степеней"
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Решение уравнений высших степеней

Цели урока:

• Образовательные:

- привести в систему знания учащихся по теме «Решение уравнений третьей и четвёртой степеней»;
- повторить теорию решения уравнений;, выработать умение определять вид уравнения; выбирать наиболее рациональные способы решения данного уравнения.

• Развивающие:

- развитие аналитического мышления, умения производить классификацию фактов;

• Воспитательные:

- воспитание потребности в знаниях и  воспитание культуры общения.

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний.

Ход урока

I. Орг.момент(постановка перед учащимися целей урока, сообщение плана урока)

II. Актуализация опорных знаний

а) Повторение теории решения уравнений:

- что называется уравнением?
- что значит решить уравнение?
- что называется корнем уравнения?
- какие виды уравнений вы знаете?
- способы решения уравнений?

«Классификация уравнений».)

- Какие уравнения относятся к целым, дробным, иррациональным?
- А уравнения с модулем, параметром к каким уравнениям можно отнести?

б) Повторение методов решения уравнений.

Аналитический.

Приёмы: 1) простейшие(приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок, приведение дробей к общему знаменателю, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, решение квадратных уравнений по формуле, умножение (деление) обеих частей уравнения на одно и то же не равное нулю число).

Пример 1.х(х-6)=х

Решение:

х(х-6)=х | : х≠0
х-6=1
х=7

Обосновать ошибку. Что произошло? Решить уравнение правильно.

2) разложение на множители (формулы сокращённого умножения, группировка, теорема Безу).

3) введение вспомогательной переменной (следует помнить об ОДЗ самого уравнения и ОДЗ новой переменной).

4) Нетрадиционные приёмы решения:

• функционально-графический;
• смешанный.

в) Устная работа

Задание: классифицировать уравнения по виду и по способу решения.

1. =             2. у2-5у+6=0       3. (х-2)2-2(х-2)-4=0    4. +1=6      5. =х

6. Указать количество корней уравнения 2+|х|=а

7. х3+3х2-4х=0

8. (х-1)2-х2=4-3х

III. Решение уравнений 3 и 4 степени, т.е. решение уравнений вида

а0 х4+а1х3+а2х2+а3 х+а4=0
а0 х3+а1х2+а2х+а3 =0

Решение уравнений

№ 1.

х3-9х+х2–9=0

Способ решения данного уравнения - разложение на множители способом группировки.

(х3+х2)-(9х+9)=0
х2(х+1)-9(х+1)=0
(х+1)(х2-9)=0
(х+1)(х-3)(х+3)=0 Ответ: -3; -1; 3.

№ 2. х3-6х2+11х-6=0

Способ решения данного уравнения – разложение на множители с помощью теоремы Безу.

Один корень найдём подбором. Их следует искать среди делителей свободного члена данного многочлена ±1, ±2, ±3, ±6. Но т.к. сумма коэффициентов многочлена равна 0, то его корнем является 1.По теореме Безу (остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (х-а)равен Р(а). Если а- корень многочлена Р(х), то многочлен делится на (х-а)без остатка). Разделим многочлен 3 степени на двучлен (х-1).

х3-6х2+11х-6=(х-1)(х2-5х+6)
(х-1)(х2-5х+6)=0

Ответ: 1, 2, 3.

№ 3. х4 +5х3+6х2+5х+1=0

(Возвратное или симметричное уравнение – это уравнение, в котором коэффициенты, равностоящие от концов равны.)

Способ решения данного уравнения – деление правой и левой частей уравнения на х2.

Вопрос - почему это можно сделать? Не происходит ли потеря корня?

х2+5х+6++ = 0

(х2 +)+5(х+) = 0

х+=у (ОДЗ для вспомогательной переменной?)

х2 +=(х+)2-2 = у2-2

у2-2+5у+6=0

у1=-4; у2=-1

х+=-4, х=-2

х +=-1, корней нет.

Ответ: -2 -; -2+.

№ 4. х5+6х4+11х3+11х2+6х+1=0

Возвратное уравнение нечётной степени имеет корень х=-1 (применим теорему Безу), после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения на двучлен (х+1) приводится к возвратному уравнению чётной степени. Решение можно заранее подготовить (на доске, показать через проектор) и в целях экономии времени не решать.

(х+1)(х4+5х3+6х2+5х+1)=0 (см. предыдущий пример)

№ 5. (х+1)(х+2)(х+4)(х+5)=40

Уравнение сводится к квадратному, если сумма чисел любых двух скобок равна сумме чисел двух других скобок.

(х2+6х+5)(х2+6х+8)=40

ух2+6х

(у+5)(у+8)=40

у2+13у=0

х2+6х=0 х2+6х=-13, корней нет, т.к. D<0

Ответ: -6, 0.

IV. Домашнее задание

2х3+8х-х2-4=0
2х3-12х2+22х-12=0
6х4-35х3+62х2-35х+6=0
(х+1)(х+2)(х+4)(х+3)=15

V. Подведение итогов урока