Урок алгебры 11 класс
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

             Тема урока:

Методы решения тригонометрических уравнений.

    Цели: Отработка навыков решения тригонометрических уравнений различными способами. Развивать монологическую речь в ходе обоснования выполняемых действий. Развивать интерес к предмету. Продолжать развивать навыки групповой работы. Воспитание самостоятельности и ответственности за качество своих знаний.

             Эпиграф: «Начни,  и дело будет                                                                                      сделано». Гёте.                                               Учитель: Сегодня мы повторим и отработаем методы решения тригонометрических уравнений.                                                                             Мы знаем, что правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы быстро решить то или иное уравнение на экзамене в форме ЕГЭ.

Оборудование: таблица с методами решения тригонометрических уравнений

Методы:

1) Разложение на множители                                                            

2) Сведение к квадратному уравнению

3) Универсальная подстановка  

Sin x=

Cos x=

4)Введение вспомогательного угла

5) Метод деления левой и правой части на sin или cos в степени равной степени уравнения (однородные уравнения)

6) Использование условия равенства тригонометрических функций

7) Использование свойств ограниченности функций (метод оценки левой и правой части)

8) Понижение степени с помощью формул:    

Sin2x=

Cos2x=

9) Графический метод

                    План урока:

        1.Актуализация знаний  с помощью  таблицы методов решения тригонометрических уравнений.

        2.Индивидуальная работа по решению заданий группы С, В.

        3. Работа в группах.

        4. Защита решений групп у доски.

        5. Итог урока.

        6. Домашнее задание.

                          ХОД  УРОКА:

1.Актуализация знаний.

 Выбрать способ решения уравнения:

1) cos2x - 5cos x + 4=0

2) 5sin x - 2cos x=0

3) Sin2x -sin x=0

4) =1

5) Tg x=(cos4 - sin4)

6) sin2x – 2sin x cos x – 3cos2x=0

7) Cos x + sin x =1

8) Cos2x=cos x

9)2cos4x + 5sin4x= -2

10) Sin2 2x + sin23x + sin26x=0

11) Sin - cos6x=2

12) 2sin(x - ) + 1|=a            [-2π;2π]

Учащиеся  проговаривают способ  решения уравнения №12   (график, которого высвечивается на

компьютере ).

Сколько корней имеет уравнение?

Если а<0

Если а=0

Если 0<а<1

Если а=1

Если 1<а<3

Если а=3

2. Индивидуальная работа  (решение задач из ЕГЭ).

Решение задач из группы С  (работают 2 ученика у доски, остальные на местах).

1 уравнение.

 + =8

Решение:                                                              + =8                               =|x| , то имеем: |sin0,5x-3|+|2sin0,5x-5|=8

Ограничение:  sin0,5x € [-1;1]

                            Sin 0,5x € [-4;-2]

                          2sin0,5x € [-2;2]

                          2sin0,5x-5 € [-7;-3]

         |x|=         x, если x>0

                           x, если x<0

-sin 0,5 x+3-2sin0,5x+5=8

    -3sin0,5x=0             

-sin0,5x=0

0,5x=πn            x=2πn, n€z

2 уравнение.

sin22z + sin23z + sin24z + sin25z=2

Решение:

 +  +  + =2

cos4z+cos6z+cos8z+cos10z=0

2cos5z×cos z + 2cos9z ×cos z=0

2cosz (cos5z + cos9z) =0

    2cos z × cos7z × cos2z=0

cos z=0                 cos7z=0                              cos2z=0

z1=+πn, n€z                 7z=+πn                                              2z=+πn

                                                z2=+, nz                    z3=+,n€z

        - 2 ученика выполняют задания из группы В

В1. Сколько корней имеет уравнение

(2cos2 - 1)=0

Произведение равно 0, когда один из множителей равен 0, а другой при этом не теряет смысла:

2cos2 - 1=0

25 – 4x2≥0

B2. Метод ограниченности левой и правой части

Cos x = x2+1

Левая cos x € [-1;1]

Правая x2+1 € [1;∞)

Общее у обеих частей 1

X2+1=1; x=0      Делаем проверку.   Ответ: 0.

Учитель: Древнегреческий поэт Нивей утверждал, что математику нельзя изучать, наблюдая, как делает сосед. Поэтому сегодня будем не наблюдать, а отрабатывать методы решения тригонометрических уравнений.

3. Групповая работа (класс разбит на 3 группы). Каждая группа  решает уравнение своим способом.

Итак, уравнение               sin x + cos x=1

1группа.  Метод  решения: введение вспомогательного угла.

 sin x +  cos x=               

sin(x + )=

x+=(-1)n  +πn

x=(-1)n  -+πn,n€z

 2группа. Метод решения: универсальная подстановка.

+=1

2tg+1-tg2=1+tg2 

2tg-2tg2 =0

2tg(1-tg)=0

tg=0                    tg=1

=πn                                  =+πn

x=2n                             x=+2πn, n€z

3группа. Метод решения: сведение к однородному уравнению.

2sincos+cos2-sin2-sin2-cos2=0

2sincos-2sin2=0             (:cos2)

2tg-2tg2=0                      tg

2tg (1-tg)=0                    =πn

1-tg=0                              x1=2πn

tg=1                                 x2=+2πn,n€z

4.  Работа с шаблоном.

Учитель: Вспомни м  графический   метод решения уравнения у доски:

sin x + cos x=1  

           Sin x + cos x=1

Sin x=-cos+1

y=sin x             y=-cos x + 1 (смещение на оси 1 вверх по оси ОУ) 

Ответ:

X1=2πn 

X= +2πn   

5. Итог урока:

-Что нового мы узнали на уроке?

- Достигли  ли мы поставленных целей?

- Какие способы решения тригонометрических                       уравнений вам больше нравятся?

-Что вызывает затруднения?

- Обогатился ли ваш запас знаний?

6. Домашнее задание:

Задача из ЕГЭ: Сколько корней имеет уравнение на     [-2π;2π]

|2sin(x-) +1|=a