Методическая разработка урока "Формула сокращенного умножения" для 7 класса
методическая разработка по алгебре (7 класс) по теме

Рекомендации к изучению темы

"Формулы сокращенного умножения"

Целью преподавания математики в средней школе является сообщение учащимся фактических знаний в области математики и воспитание у них необходимых навыков и умений для применения полученных знаний в различных практических вопросах. Одновременно преподавание математики служит образовательным и воспитательным целям.

Успешное понимание того, что объясняется на уроках, во многом зависит от того, как подготовлены учащиеся к восприятию нового материала.

Умелая подготовка учащихся к восприятию нового учебного материала во многом обеспечивает успех учебного процесса, поэтому каждый урок должен строиться так, чтобы на нем не только закреплялся и углублялся пройденный материал и на его базе изучался новый, но и создавалась база для успешного изучения материала будущих уроков.

Часто учащиеся 7 класса плохо решают примеры на вычисление с помощью формул сокращенного умножения. Некоторые семиклассники с трудом возводят в квадрат такой двучлен: 5а2 в + 4с4 , хотя словесную формулировку квадрата суммы двух чисел они дают четко и правильно. В чем причина такого расхождения теоретических знаний с практическими навыками? Мне кажется, что причиной такого разрыва является недостаточная работа учителя при изложении этой темы над подготовкой к восприятию учащимися нового материала.

Перед изучением этой темы я предлагаю учащимся ряд предварительных упражнений, способствующих более успешному усвоению ими формул сокращенного умножения. Продумывая данную тему, я решила, что для её глубокого понимания от учащихся требуется:

       1) четкое знание алгебраического выражения, понимание его математического смысла;

        2) умение представлять в алгебраической форме выражение, заданное в словесной форме (записать фразу математическими символами);

        3) умение дать словесную формулировку алгебраическому выражению, записанному с помощью математической символики;

       4) четкое знание порядка действий;

       5) знание определения подобных членов многочлена;

       6) умение свободно выполнять приведение подобных членов;

       7) знание правила умножения многочлена на многочлен.На одном из уроков была проведена беседа по этим вопросам. Эта беседа показала, что если три последних вопроса учащиеся понимают хорошо, так как встречались с ними недавно, то первые четыре вопроса вызвали затруднения у многих. Стало ясно, что излагать новый материал без предварительной подготовки нельзя.

С этой целью на предшествующих уроках необходимо учащимся предложить такие упражнения:

       1. Написать сумму чисел  а и в.

       2. Написать разность чисел  m  и   n.

       3. Написать произведение чисел a и  в.

       4. Написать частное от деления числа m на число  n.

       5. Написать удвоенное произведение чисел а и в.

        6. Написать квадрат суммы чисел x и y.

        7. Написать сумму квадратов чисел x и y.

        8. Написать квадрат разности чисел x и y.

       9. Написать разность квадратов двух чисел.

Когда повторять этот материал? Наверное, это лучше сделать в конце урока. Я сделала это так. Решая на уроке уравнения первой степени с одним неизвестным на основании определений и свойств арифметических действий, я заметила в конце урока усталость учащихся. Тогда я обратилась к ним с вопросом: "Устали?"

Зная, что за этим вопросом последует что-то особенное (часто в таких случаях я предлагала учащимся что-нибудь занимательное), они не без удовольствия утвердительно ответили на мой вопрос.

"Хотели бы вы знать, как быстро возводить в квадрат числа, близкие к 50?"-спросила я, а затем написала на доске 542  и спросила, чему равна эта степень.

Учащиеся ответили не сразу. Некоторые потянулись за карандашами.

" А ведь этот пример решается почти мгновенно,"- заметила я. "Для этого следует к 25 прибавить цифру единиц 4, приписать к полученному числу 42=16  и результат готов: 2916".

Это удивило всех. Учащиеся попросили решить другой пример. Мы возвели в квадрат 58. Затем я предложила учащимся возвести в квадрат числа 51, 56, 59. Они нашли соответствующие степени и были удивлены необычайной быстротой, с которой выполнили эти действия.

Последовал вопрос: "Почему так?"

- Этому вопросу соответствует формула сокращенного умножения: квадрат суммы двух чисел, которую мы скоро будем изучать. Формулы сокращенного умножения помогут вам воспроизводить и другие ускоренные вычисления.

Такой намек  заинтересовал учащихся, и они с нетерпением стали ждать "волшебную" тему, которая так быстро производит вычисления. Учащиеся были предупреждены, что для успешного усвоения формул сокращенного умножения надо к этой теме подготовиться. Вот тут -то и были предложены им вопросы, рассчитанные на умение представлять в алгебраической форме выражение, заданное в форме словесной.

На очередном занятии мы по-прежнему в конце урока занимались записью и чтением алгебраических выражений. На этот раз учащиеся должны были прочесть следующие выражения: a+b; x-y; (m+n)2; (c-d)2; 2xy; a2; a2+2ab+b2.

Последнее выражение учащиеся читали так: квадрат числа а плюс удвоенное произведение числа а на число в и плюс квадрат числа в. Затем я назвала число а первым числом, а число в - вторым и попросила учащихся прочитать выражение а2+2ав+в2 по-другому.

На этом же уроке было повторено правило порядка действий. Это было сделано с той целью, чтобы учащиеся помнили о порядке действий при чтении алгебраических выражений.

Не секрет, что некоторые учащиеся путают выражения (а-в)2 и а2-в2. Часто на просьбу написать разность квадратов двух чисел m и n ученик пишет (m - n)2. На это необходимо обратить внимание при подготовке к изучению формул сокращенного умножения. С этой целью, написав выражение (а - в)2, целесообразно попросить учащихся указать порядок действий в данном алгебраическом выражении. Когда учащиеся заметят, что первым является действие вычитания, а вторым - возведение в квадрат, необходимо сказать учащимся: "Всякий раз, когда вы читаете алгебраическое выражение, начинайте чтение с последнего действия, а затем называйте предшествующее. Вот почему (а - в)2 читаем: квадрат (последнее действие) разности двух чисел".

Учащимся предлагается прочесть выражения:

c2 - d2; (а - в)2; m3 - n3; (a - b)2; (m+n)3 (a+b)2.

Казалось бы, на этом подготовительную работу можно бы и закончить. В практике своей работы мы обычно так и поступаем, тем более, что учащиеся после всего этого почти самостоятельно выводили формулу. Учителю оставалось только вызывать учащихся к доске и задавать им вопросы:

"Написать квадрат суммы чисел а и в".

Ученик пишет: (а + в)2.

"Можно ли это выражение представить в виде произведения двух множителей?"

Следует ответ: (а + в)2 =(а + в)(а + в).

Учитель предлагает произвести умножение двух одинаковых двучленов:

(а + в)(а + в)

Один ученик на доске, а другие в тетрадях без затруднения выполняют требование учителя: (а+в)(а+в)=а2+ав+ав+в2=а2+2ав+в2.

Напомнить, что (а+в)2=(а+в)(а+в).

После этого на доске появляется запись: (а +в)2 = а2 +2ав + в2.

Учитель просит выразить выведенное равенство словесно, называя а первым числом, в - вторым. Ученик читает: "Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа".

Формула получена, причем при её выводе класс не был пассивен. и все же не следует так быстро переходить к заключительной формулировке. Дело в том, что вначале все подготовительные этапы подчиняются единственной цели - выводу формулы. Однако перед нами стоит более сложная задача: раскрыть смысл этой формулы, её прикладное значение, которые сами по себе требуют её вывода.

Выведя формулу, мы обычно ставим перед собой вопрос: "Что делать дальше?" Обычно все считают, что далее необходимо натренировать учащихся в применении формулы при решении задач; обратить их внимание на отдельные трудности. которые могут встретиться в процессе вычислений, выполнить упражнения, т. е. как у нас принято говорить, закреплять изложенный материал. С этой целью обычно вызываем к доске учащихся, которые должны, применяя только что выведенную формулу, вычислять: (m+n)2; (2 + а)2;  (3 + 2а)2 и т. д.

Если учащийся не сразу сообразит, как решить тот или иной пример, учитель отсылает его к формуле (она, как правило, некоторое время сохраняется на доске). Ученик, глядя на формулу, "применяет" её к решению своего примера.

Это применение часто сводится к копированию. Происходит это по той причине, что до учащихся не всегда доходит верное представление о содержании нового учебного материала.

Вот почему к выводу формулы квадрата суммы двух чисел следует подходить несколько по-другому.

В том, что подготовительная работа, проведенная на предыдущих уроках, сыграла положительную роль в усвоении формулы, нет сомнений. Семиклассникам такая работа необходима. Однако, эта работа не является достаточной, так как не приводит учащихся к ощущению необходимости формулы.

И вот здесь встает вопрос: как построить всю дальнейшую подготовительную работу, чтобы у учащихся назрела необходимость принять формулу возведения двучлена в квадрат?

С этой целью параллельно изучению темы "Умножение многочленов" следует задавать учащимся примеры такого содержания:

1. Возвести в квадрат выражения: 2а, 3а, 4а, 5а, 6в.

2. Найти удвоенное произведение двух чисел: 2а и 3в, 3а2в и 4в2, а3в и 2ав3, x и y, x4и y4.

3. Записать в виде степени произведения одинаковых двучленов: (а+в)(а+в); (2а+3в)(2а+3в); (3ав+с2)(3ав+с2); (xy+zt)(xy+zt).

4. Раскрыть в предыдущем примере скобки и упростить произведения.

5. Сформулировать словесно, чему равны найденные произведения одинаковых двучленов, если первое слагаемое двучлена будем именовать первым числом, а второе - вторым.

На дом следует предложить упражнения, аналогичные 4 и 5, причем обратить внимание учащихся на словесные формулировки всех примеров. Нельзя ли подметить в них общность? 

Урок признания целесообразности введения формулы начинается с проверки домашнего задания. Учащиеся читают примеры на умножение одинаковых двучленов и дают словесную формулировку результатов.

Затем перед учащимися ставится вопрос:"Стоит ли для нахождения произведения одинаковых двучленов всегда производить умножение двучлена на двучлен обычным путем?" Это приведет семиклассников к мысли, что лучше принять определенную формулировку, например,

(m+n)(m+n)=m2+2mn+n2.

Но так как (m+n)(m+n)=(m+n),учитель приводит их к мысли о принятии формулы квадрата суммы двух чисел.

Её вид:  (а + в) =а +2ав + в.

Её имя - формула полного квадрата.

Оно дано по виду левой части равенства.

 Её прочтение:

"Квадрат суммы двух алгебраических выражений равен квадрату первого слагаемого плюс удвоенное произведение первого слагаемого на второе плюс квадрат второго слагаемого".

Формулу квадрата суммы можно представить схематически:

Вся эта работа приводит учащихся к сознательному выводу. Мало того, они в процессе работы испытают необходимость введения формулы, так как она во многом экономит время. И учащиеся отнесутся к этой формуле разумно, и вместо того, чтобы зубрить, постараются её осмыслить, а в голове учащихся укрепится сознание полезности этой формулы.