Методическая разработка: Нахождение части от целого и целого по его части
методическая разработка (алгебра, 6 класс) на тему

Казанское  суворовское  военное  училище

Нахождение части от целого

 и целого по его части

                                                                                        Разработал

                                        преподаватель   математики

                                                                                        Гиниятуллин А.М.

КАЗАНЬ                

Рекомендации преподавателю по обучению учащихся решению текстовых задач в 5,6 классах

Обучение решению текстовых задач — одно из самых сложных направлений в работе преподавателя по математике. Традиционно наибольшие проблемы в 5,6 классах представляют задачи на части. Здесь можно дать несколько советов. В первую очередь преподаватель по математике должен понять, какие проблемы мешают школьнику работать с задачами: банальное невнимание или недостаточный объем памяти, неспособность представить себе реальную ситуацию или отсутствие вычислительных навыков, медлительность или банальное непонимания смысла фраз в текстах.

Распространенная причина сложностей с текстовыми задачами заключена в резком увеличении объема информации, участвующей в решении. Преподавателю нужно искать способы уменьшить ее влияние.

1) Первый совет — обязательно используйте краткие записи (ведению которых нужно отдельно учить). Их цель не только показать структуру задачи, но и задержать внимание ученика на ее условии. В процессе перевода текста в схемы ребенок вынужден перечитывать задачу по нескольку раз. Тем самым она запоминается. Перед составлением кратких записей можно выделять в тексте задачи важные части подчеркиванием. Обычно это величины.

2) Второй совет– применяйте рисунки там, где это возможно. Однако не стоит рассматривать их в качестве основного средства. Рисунки хороши в дополнении к кратким записям, ибо, во-первых, не каждый ребенок имеет талант художника, а во-вторых, не к каждой задаче удается корректно этот рисунок сделать. Как вы изобразите потраченное время? В виде отрезка? В виде прямоугольника? Ребенок в 5,6 классах еще не способен уходить от реальности к таким неточным моделям.

Попытки преподавателя использовать их в своих объяснениях часто усложняют описания. Трудно обращаться к элементам рисунка короткими фразами и приходится напоминать, что именно показывает один отрезок, а что другой. Это отвлекает от главного – размышлений над задачей. На этапе создания математической модели, вместо того чтобы запоминать сюжет задачи и взаимосвязи между величинами, ученик будет думать, как их нарисовать. Если методика рисунков применяется, то преподаватель должен их делать самостоятельно.

Еще один голос не в пользу рисунка — трудно указать результаты сравнений, привязки дробей и частей к их целым величинам. Рисунок не позволяет переносить на него все, что по ходу решения получается и поэтому его можно делать только к базовым и легким задачам.

3) Третий совет: не перегружайте большим количеством действий предлагаемые ученику задачи. В первую очередь исключите из своих планов те из них, которые имеют длинные тексты и длинные решения, скрытые величины, двусмысленные фразы и взаимосвязи, не участвующие в решении. Преподавателю нужно следить за своей речью и помнить, что любая изложенная им мысль требует времени на осмысление. Поэтому очень важно соответствие темпа объяснений скорости их усвоения для каждого конкретного ученика. Для выделения в комментариях главных моментов можно пропускать какие-то слова, например: время равно путь разделить…...скорость равна путь разделить…...путь равен время умножить…...Смешно звучит, но лучше запоминается.

Лишняя информация может вытеснять из памяти ценное и полезное. Поэтому рассеянному ученику необходима «чистка» условия. Из большинства задач можно удалить 15-20% необязательных слов. Если преподаватель хочет выделить что-то очень важное – лучше всего это выполнить на похожих задачах с одними и теми же числами и величинами, но с отличиями, которые для выбора плана решения являются определяющими. Сравните, например:

1) В магазин привезли 400 кг картофеля. В первый день продали  всего картофеля, а во второй –  того, что было продано в первый день. Сколько килограммов картофеля продали во второй день?

2) В магазин привезли 400 кг картофеля. В первый день продали  всего картофеля, а во второй ––  от остатка. Сколько килограммов картофеля было продано во второй день?

Ребенку не нужно запоминать, что участвует в задаче и с какими значениями. Он сам найдет отличие и задумается, каким образом оно повлияет на решение.

4) Четвертый совет. Преподавателю нужно подумать о том, как обеспечить высокую плотность решенных задач.

5) Пятый совет. Прежде чем взяться за текстовые задачи преподавателю нужно сформировать у школьника хорошую арифметическую базу. Часто из головы ученика вылетают данные условия задачи. Происходить это может из-за того, что ребенок неуверенно выполняет базовые преобразовании и вычисления. Без доводки определенных операций до автоматизма ребенок будет вынужден отключаться от задачи и вспоминать, как ему, например, сложить дроби.

6) Шестой совет. Если ученик слабый — разберите отдельно основные типы простейших задач и «посидите» на них какое-то время. Если не хватает времени – просите дополнительные часы. Частота занятий должна быть достаточной для слабого ученика. Только так можно компенсировать низкую скорость его работы.

8) Седьмой совет: объясняйте правила только на примерах с числами. Никаких переменных и доказательств. Тип мышления пятиклассника, шестиклассника — от частного к общему, а не наоборот, как у старшеклассников. Любые обобщения и формировки правил возможны только на проверке их справедливости — на реальных объектах.

9) Восьмой совет. Опирайтесь на ранее изученные операции. Так при нахождении части от целого числа в 6 классе лучше вспомнить 5 класс (способ решения аналогичной задачи через деление на знаменатель и умножение на числитель). Объяснение соответствующей темы в 6 классе опирается на поэтапное нахождение части от целого.

Решение задач на нахождение части числа и числа по части

Для подготовки к решению данных задач проводится работа по усвоению понятия дроби. При устном счете нужно добиться, чтобы каждый учащийся знал:

1. какое действие обозначает дробная черта;
2. что обозначает дробь.

Дробная черта обозначает действие деления, а дробь  обозначает, что данное разделили на 4 равных части и взяли 3. Для этого хорошо использовать конверты. В конверты вложены круги: целые, разрезанные пополам, на 3 равные части, на 4; 6; 8 частей. Каждые доли одного круга имеют одинаковый цвет. Используя этот материал, учащиеся наглядно видят, как получаются дроби.

Например. Выложить фигуру, изображающую дробь . Зная цвета долей, преподаватель видит ошибки, допускаемые учащимися, и разбирает задание. При ответе ученик говорит, что круг разделили на 6 равных частей и взяли 5 таких частей.

Наличие подобных конвертов дает возможность наглядного представления о сложении дробей с одинаковыми знаменателями и о вычитании из единицы дроби. Так как к работе привлечены все учащиеся и сложение видно наглядно, после двух примеров учащиеся сами формулируют правило сложении дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим вычитание.

Из 1 вычтем . Учащиеся кладут на стол круг, но замечают, что из него пока убрать ничего не возможно. Тогда они предлагают круг разрезать на 4 равные части и убрать одну. Делаем вывод, что 1 надо заменить дробью . После 2-3 примеров учащиеся сами делают вывод.

С использованием этого материала дается понятие об основном свойстве дроби, когда на дробь  они выкладывают  и т.д. Отработав этот материал, приступаем к решению задач.

Пример №1. В саду 120 деревьев. Березы составляют  всех деревьев, а остальные сосны. Сколько было сосен?

Изобразим число деревьев, начертив отрезок. Напишем данные, причем число частей ставим под отрезком, так как с этими числами нужно выполнять деление при решении задачи (см. рис.1).

Рис. 1. Графическое изображение задачи из примера №1

Вопрос: Что означает дробь  ?

Ответ: Все количество деревьев разделили на 3 равные части и березы составляют 2 части.

I способ:

120 / 3 = 40 (дер.) – составляют одну часть.

40*2 = 80 (дер.) – было берез.

120 - 80 = 40 (дер.) – было сосен.

II способ:

120 / 3 = 40 (дер.)

3 – 2 = 1 (часть) – составляют сосны.

40*1 = 40 (дер.) – составляют сосны.

Ответ: 40 сосен.

Пример №2. 10 га занято свеклой, что составляет  всего поля. Какова площадь поля?

Рис. 2. Графическое изображение задачи из примера №2

Изобразим площадь поля отрезком. Выясняем, что обозначает дробь . Замечаем, что 10 га составляют 2 части, и находим, сколько составляет 1 часть.

10 / 2 = 5 (га) – составляет одна часть.

Так как все поле составляет 5 частей, находим площадь поля.

5*5 = 25 (га) – площадь поля.

Ответ: 25 га.

Пример №3. Около дома стояло 7 машин. Из них – 2 белые. Какую часть всех машин составляют белые?

Рис. 3. Графическое изображение задачи из примера №3

Одна машина составляет  всех машин, а так как белых 2, то белые составляют .

На основе этой задачи нужно отработать такие вопросы: Какую часть составляют 15 мин. от часа? Какую часть составляют 300 г? От килограмма? - и т.д.

Пример №4. Пионерский отряд решил собрать 12 кг макулатуры, собрал  этого количества. Сколько килограммов собрал отряд?

Рис. 4. Графическое изображение задачи из примера №4

В процессе решения задач нужно отметить, что плановое задание всегда принимается за 1 и поэтому 12 кг принимаем как . Но так как учащиеся собрали , то изображенный отрезок продолжим еще на . Далее идет решение задачи обычным способом.

На основе опорных чертежей можно решать и более сложные задачи.

Пример №5. Покупатель израсходовал в первом магазине  всех денег, а во втором -  остатка. Сколько денег у него было, если во втором он израсходовал 60 рублей?

Решая эту задачу, нужно учитывать, что мы находим часть числа не от одной суммы, и поэтому чертеж следует дополнить.

Решая подобные задачи, учащиеся должны постоянно работать с чертежом.

Рис. 5. Графическое изображение задачи из примера №5

Объяснение .

Так как 60 рублей составляют  остатка, то найдем, сколько составляет 1 часть остатка.

60 / 3 = 20 (руб.) – составляет 1 часть остатка

Весь остаток составляет пять таких частей. Найдем остаток.

20*5 = 100 (руб.) – остаток после первого магазина

Полученное число 100 ставим в верхней части чертежа.

Замечаем, что 100 рублей составляет лишь 5 частей всех денег, так как по условию частей 7, а в первом магазине покупатель израсходовал 2.

7 – 2 = 5 (частей) – составляют 100 рублей.

Найдем, сколько составляет 1 часть всех денег.

100 / 5 = 20 (руб.) – составляет 1 часть всех денег.

Так как все деньги составляют 7 частей, найдем их количество.

20*7 = 140 (руб.) – было у покупателя.

При устном счете учащиеся должны уметь составлять задачи по готовым чертежам. Например (рис 6.):

а)

б)

Рис. 6. Решение задач по готовым чертежам

В пятом классе после изучения деления и умножения дробей формулируем правило, позволяющее перейти к решению задач без помощи чертежей.

1. известна часть, находим целое – действие деления;
2. известно целое, находим часть – действие умножение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, использование алгоритмов, рисунков, общих приемов дает возможность ликвидировать у большей части учащихся страх перед текстовой задачей, научить распознавать типы задач и правильно выбирать прием решения.

Нередко, некоторые ученики просто списывают задачу с доски, не пытаясь вникнуть в ее смысл. Таким ученикам можно предложить творческую работы, где они должны сами составить задачу и решить ее. При составлении задачи большое значение имеют и обратные задачи.

Составляя задачу, ученик более осознанно поймет существование зависимости между величинами, почувствует, что числа берутся не произвольно: некоторые задаются, а другие получаются на основе выбранных.

ЛИТЕРАТУРА

1. Математика. 5 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович; Под ред. И. И. Зубаревой . - 9-е изд.,стер. – М.: Мнемозина, 2009. – 270 с.: ил.
2. Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович; Под ред. И. И. Зубаревой . - 7-е изд.,испр. – М.: Мнемозина, 2008. – 264 с.: ил.
3. Болтянский, В. Г. Как устроена теорема? [Текст] / В. Г. Болтянский // Математика в школе. – 1987. – № 1. – С. 41-49.
4. Тоом А.Л. Между детством и математикой: Текстовые задачи в математическом образовании/ Математика, 2005, № 14
5. Шевкин А.В. Материалы курса «Текстовые задачи в школьном курсе математики»: Лекции 1-4. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. 88 с.
6. Шевкин А.В. Материалы курса «Текстовые задачи в школьном курсе математики»: Лекции 5-8. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. 80 с.
7. Методика преподавания математики [Текст]: учебник для вузов / Е. С. Канин, А. Я. Блох [и др.]; под ред. Р. С. Черкасова. – М.: Просвещение, 1985. – 268 с.